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1、410 三角函数的积分模块基本信息 一级模块名称 三级模块名称 先行知识 积分学 三角函数的积分 凑微分法 知识内容 二级模块名称 模块编号 计算模块 4-10 模块编号 4-9 教学要求 掌握程度 掌握求三角函数积分的熟练掌握 三角函数积分的方法 方法 1.培养学生的知识迁移能力 能力目标 2.培养学生的计算能力 时间分配 60分 编撰 尧克刚 校对 熊文婷 审核 危子青 修订人 张云霞 二审 危子青 一、正文编写思路及特点 思路：在复习凑微分法的基础上，总结三角函数积分法，按照由易到难的顺序讲解例题、安排习题，使学生能够灵活运用三角函数积分法求函数的积分。 特点：通过例题及练习，巩固学生的
2、计算能力。 二、授课部分 (一)复习回顾 不定积分与定积分的凑微分法 (二）新课讲授 1、不定积分例题 sinx1dx=-dcosx=-ln|cos x|+C.例1tanxdx= cosxcosx即tanxdx=-ln|cosx|+C. 类似地可得cotxdx=ln|sinx|+C. 例2：secxdx=1cosxdsinxdx=dx=1-sin2x cosxcos2x=dsinx11+sinx=ln+C 21-sinx21-sinx1(1+sinx)2=ln+C=lnsecx+tanx+C 221-sinx方法二：secxdx=secx(tanx+secx)dx tanx+secx=d(se
3、cx+tanx)=lnsecx+tanx+C secx+tanx即secxdx=lnsecx+tanx+C. 类似地可得公式 cscxdx=lncscx-cotx+C 这样，我们得到四个积分公式： tanxdx=-ln|cosx|+C. cotxdx=ln|sinx|+C secxdx=lnsecx+tanx+C cscxdx=lncscx-cotx+C 一般地，在计算一些简单的三角函数有理式的不定积分，如计算形如 sinmxcosnxdx 的积分时，可以用下列方法： (1)当m=2k+1为奇数，可以分离一个sinx出来凑微分，即 sinmxcosnxdx=sin2kxcosnxsinxdx=
4、-sin2kxcosnxdcosx =-(1-cos2x)kcosnxdcosx 当n=2l+1为奇数，可以分离一个cosx出来凑微分，即 sinmxcosnxdx=sinmxcos2lxcosxdx=sinmxcos2lxdsinx =sinmx(1-sin2x)dsinx 从而将它们转化为cosx或sinx的多项式来计算. 例3 求sin3xdx 解：sin3xdx=sin2xsinxdx=-(1-cos2x)dcosx1=-dcosx+cos2xdcosx=-cosx+cos3x+C.3 例4 求sin2xcos5xdx 解：sin2xcos5xdx=sin2xcos4xdsinx=si
5、n2x(1-sin2x)2dsinx 121=(sin2x-2sin4x+sin6x)dsinx=sin3x-sin5x+sin7x+C. 357 (2)当m,n均为偶数时，可以利用半角公式 sin2x=1-cos2x1+cos2x，cos2x= 降次化简后再计算. 22例5 求cos2xdx 解：cos2xdx=1+cos2xdx=1(dx+cos2xdx) 22=1dx+1cos2xd2x=1x+1sin2x+C 2424例6 求cos3xcos2xdx 1(cosx+cos5x)dx=1sinx+1sin5x+C. 2102注：这里我们用到了三角函数的积化和差公式：1cosacosb=c
6、os(a+b)+cos(a-b) 2除此之外，另两个积化和差公式也常常用到1sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b) 21sinasinb=-cos(a+b)-cos(a-b) 22、定积分例题 解：cos3xcos2xdx=例7 求sin3xdx 0p解：sin3xdx=sin2xsinxdx=-(1-cos2x)dcosx 000ppp=-dcosx+cos2xdcosx 00ppp=-cosxp201+cos3x3p20=2 3例8 求2(sinx-sin3x)dx 0p30p20p0解：2(sinx-sinx)dx=2sinxcosxdx=-2cos2xdcosx 1=-cos3x3p20=1 3注：定积分的凑微分与不定积分的凑微分法大致相同，只是多了一步代入上下限求值而已. 三、能力反馈部分 (1)cos3xdx(2)cos4xdx (3)sin3xcos4xdx(4)sin2xcos3xdx (5)2sin3xcosxdx 0p
