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1、91 多元函数的基本概念第九章 多元函数微分法及其应用 第1节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容： 一、 平面点集 讨论一元函数时，经常用到邻域和区间的概念。由于讨论多元函数的需要，我们首先把邻域和区间概念加以推广，同时还要涉及其它一些概念。 1 邻域 设p0(x0,y0)是xoy平面上的一个点，d是某一正数。与点p0(x0
2、,y0)距离小于d的点p(x,y)的全体，称为点P0的d邻域，记为U(P0,d)，即 U(P0,d)=PPP0d， 也就是 U(P0,d)= (x,y)(x-x0)+(y-y0)220为半径的圆的内部的点P(x,y)的全体。 2 区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域U(P)E，则称P为E的内点。显然，E的内点属于E。 如果E的点都是内点，则称E为开集。例如，点集E1=(x,y)1x+y0及(x,y)1x+y0是无界开区域。 3 n维空间 我们知道，数轴上的点与实数有一一对应关系，从而实数全体表示数轴上一切点的集合，即直线。在平面上引入直角坐标系后，平面上的点
3、与二元数组(x,y)一一对应，从而二元数组(x,y)全体表示平面上一切点的集合，即平面。在空间引入直角坐标系后，空间的点与三元数组一一对应，从而三元数组全体表示空间一切点的集合，即空间。一般地，设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组(x1,x2,L,xn)称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标。n维空间记为Rn。 n维空间中两点P(x1,x2,L,xn)及Q(x1,x2,L,xn)间的距离规定为 PQ=(y1-x1)+(y2-x2)+L+(yn-xn)。 22222容易验知，当n=1，2，3时，由上式便得解析几何中关于直线，平面，空间内两点的距离。
4、前面就平面点集来陈述的一系列概念，可推广到n维空间中去。例如，设P0R，dn是某一正数，则n维空间内的点集 U(P0,d)=PPP00,h0内取定一对值(r,h)时，V的对应值就随之确定。 例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 p=RTVn， 其中R为常数。这里，当V、T在集合(V,T)V0,T0时，p的对应值就随之确定。 例3 设R是电阻R1、R2并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系 R=对应值就随之确定。 上面三个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质，抽象出这些共性就可得出以下二元函数的定义。 定义一 设D是平面上的一个点集。如果对于每个点P(x
5、,y)D，变量z按照一定法则总有确定的值和它对应，则称z是变量x、y的二元函数，记为 z=f(x,y)。 点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z也称为因变量。数集 zz=f(x,y),(x,y)D R1R2R1+R2称为该函数的值域。 z是x,y的函数也可记为 z=z(x,y)， z=F(x,y)等等。 类似地可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数。一般的，把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集D，则可类似地可以定义n元函数u=f(x1,x2,L,xn)。n元函数也可简记为u=f(P)，这里点P(x1,x2,L,xn)D。当n=1时，n元函数就是一元函数。当n2时，
6、n元函数就统称为多元函数。 关于多元函数定义域，与一元函数类似，我们作如下约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数u=f(P)时，就以使这个算式有确定值u的自变量所确定的点集为这个函数的定义域。例如，函数z=ln(x+y)的定义域为 (x+y)x+y0 ，就是一个无界开区域。又如，函数z=arcsin(x2+y2)的定义域为 (x+y)x+y221 ，这是一个闭区域。 图 8-3 图 8-4 x+y=0 设函数z=f(x,y)的定义域为D。对于任意取定的点P(x,y)D，对应的函数值为z=f(x,y)。这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z=f(x,y)为竖坐标在空间就确定一点 M(x,y,z)。当
7、(x,y)遍取D上的一切点时，得到一个空间点集 (x,y,z)z=f(x,y),(x,y)D， 这个点集称为二元函数z=f(x,y)的图形。通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。 例如，由空间解析几何知道，线形函数 z=ax+by+c 的图形是一张平面；由方程 x+y+z222=a所确定的函数z=f(x,y)的图形是球心在圆点、半径的为a球面，它的2222定义域是圆形闭区域D=(x,y)x+ya。 在D的内部任一点(x,y)处，这函数有两个对应值，一个为a-x-y，另一个为a-x-y。因此，这是多值函数。我们把它分成两个单值函数： z=a-x-y222222222及z=-a-x-y222，前者
8、表示上半球面，后者表示下半球面。以后除了对多元函数另做声明外，总假定所讨论的函数是单值的；如果遇到多值函数，可以把它拆成几个单值函数后再分别加以讨论。 三、多元函数的极限 我们先讨论二元函数z=f(x,y)当 xx0，yy0，即P(x,y)P0(x0,y0)时的极限。 这里PP0 表示点P以任何方式趋于点P0，也就是点P与点P0间的距离趋于零，即 PP0=(x-x0)+(y-y0)220。 与一元函数的极限概念类似，如果在P(x,y)P0(x0,y0)的过程中，对应的函数值f(x,y)无限接近一个确定的常数A，我们就说A是函数xx0，yy0时的极限。下面用“e-d”语言描述这个极限概念。 定义
9、2 设函数f(x,y)在开区域D内有定义，P0(x0,y0)是D的聚点。如果对于任意给定的正数e，总存在正数d，使得对于适合不等式 0PP0=(x-x0)+(y-y0)22d 的一切点P(x,y)D，都有f(x,y)-A0，取d=22e，则当 01x+y22(x-0)+(y-0)22d时，总有 (x+y)sin所以 limf(x,y)=0 xx0-0e 成立 我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P(x,y)以任何方式趋于P0(x,y)时，函数都无限接近于A。因此，如果P(x,y)以某一种特殊方式，例如沿着一条直线或定曲线趋于P0(x,y)时，即使函数无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数
10、的极限存在。但是反过来，如果当P(x,y)以不同方式趋于P0(x,y)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。下面用例子来说明这种情形。 考察函数 xy,2 f(x,y)=x+y20,x+yx+y2220,=0,2显然，当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时，limf(x,0)=lim0=0；又当点P(x,y)x0x0沿y轴趋于点(0,0)时，limf(0,y)=lim0=0。 y0y0 虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式(沿x轴或沿y轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但是limf(x,y)并不存在.这是因为当点P(x,y)沿着直线y=kx趋于点(0,0) x0y0时,
11、有 limxyx+y22x0y=kx0=limkx2222x0x+ky=k1+k2， 显然它是随着k的值的不同而改变的. 以上关于二元函数的极限概念,可相应的推广到n元函数u=f(P)即u=f(x1,x2,L,xn)上去。 关于多元函数极限的运算,有与一元函数类似的运算法则. 例5 求 limsin(xy)xx0y2. sin(xy)x解： 这里f(x,y)=在区域D1=(x,y)x0内都有定义，P0(0,2)同时为D1及D2的边界点。但无论在D1内还是在D2内考虑，下列运算都是正确的： limsin(xy)x=limsin(xy)xylimy=12=2。 y2x0y2xy0四、多元函数的连续
12、性 明白了函数极限的概念，就不难说明多元函数的连续性， 定义3 设函数f(x,y)在开区域D内有定义，P0(x0,y0)是D的聚点且P0D。如果 limf(x,y)=f(x0,y0), xx0yy0则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。 D内的每一点连续，如果函数f(x,y)在开区域那么就称函数f(x,y)在D内连续，或者称f(x,y)是D内的连续函数。 以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到n元函数f(P)上去。 若函数f(x,y)在点聚点P0(x0,y0)不连续，则称P0为函数f(x,y)的间断点。这里顺便指出：如果在开区域D内某些孤立点，或者沿D内某些曲线，函数f(x,y
13、)没有定义，但在D内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点，都是函数f(x,y)的不连续点，即间断点。 前面已经讨论过的函数 xy,22 f(x,y)x+y0,x+yx+y2220,=0,2当xx0，yy0时的极限不存在，所以点(0,0)是该函数的一个间断点。二元函数的间断点可以形成一条曲线，例如函数 z=sin1x+y-122在圆周x2+y2=1上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点。 与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。 性质1 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。这就是说，在D上至少有一点P1及一点P2，使得f(
14、P1)为最大值而f(P2)为最小值，即对于一切PD, 有 f(P2)f(P)f(P1). 性质2 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。特殊地，如果m是函数在D上的最小值m和最大值M之间的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=m。 一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用；根据极限运算法则， 可以证明多元连续函数的和、差、积均为连续函数；在分母不为零处，连续函数的商是连续函数。多元连续函数的复合函数也是连续函数。 与一元的初等函数相类似，多元初等函数是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元多项式
15、及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的。例如， x+x-y1+x222是两个多项式之商，它是多元初等函数。又例如sin(x+y)是由基本初等函数sinm与多项式m=x+y复合而成的，它也是多元初等函数。 根据上面指出的连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合的连续性，再考虑到多元多项式及基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论： 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P0处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则极限值就是函数在该点的函数值，即 limf(P)=f(P0).
16、PP0例6 求limx+yxyx1y2. 解 函数 f(x,y)=x+yxy是初等函数，它的定义域为D=(x,y)x0,y0。 因D不是连通的，故D不是区域。但D1=(x,y)x0,y0是区域，且D1D ，所以D是函数f(x,y)的一个定义区域。因P0(1,2)D1, 故 limx+yxy=f(1,2)=32x1y2. 如果这里不引进区域D1，也可用下述方法判定函数f(x,y)在点P0(1,2) 处是连续的：因P0是f(x,y)的定义域D的内点，故存在P0的某一邻域U(P0)D，而任何邻域都是区域，所以U(P0)是f(x,y)的一个定义区域，又由于f(x,y)是初等函数，因此f(x,y)在点P0处连续。 一般地，求limf(P)，如果f(P)是初等函数，且P0是f(P)的定义域的内点，则f(P) PP0在点P0处连续，于是limf(P)=f(P0)。 PP0例7 求limxy+1-1xy。 x0y0解 limxy+1-1xyx0y0=limxy+1-1xy(xy+1+1)x0y0=lim1xy+1+1x0y0=12。 小结：本节在一元函数的基础上，讨论多元函数的基本概念。讨论中我们以二元函数为主，针对二元函数的极限及连续予以重点介绍。从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推。 作业：P62习题9-1 5、6
