《D81多元函数的基本概念.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D81多元函数的基本概念.ppt（24页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、,第八章,山东交通学院高等数学教研室,第一节 多元函数的基本概念,一、平面点集、n维空间,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,一、平面点集、n维空间,1 平面点集:,点集,称为,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),注:,点 P0 的去心邻域记为,平面上具有某种性质的点的集合.,点 P0 的 邻域.,若不需要强调邻域半径,也可写成,(1)内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P:,若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含 E内的点也含 E,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外
2、点;,则称 P 为 E 的边界点.,外的点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的,边界点可能属于 E,也可能不属于 E.,2 点与点集的关系,(2)聚点,若对任意给定的正数,内总有E 中的点,则,称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E,也可以不属于 E,(因为聚点可以为,所有聚点所成的点集成为 E 的导集.,E 的边界点),(3)开区域及闭区域,若点集 E 的点都是内点,若点集 E E,若点集 E 中任意两点都可用一完全属于 E 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 E 是连通集;,连通的开集称为开区域,.,E 的边界点的全体称为 E 的边界,对点集
3、E,则称 E 为有界集,否则称为无界集.,简称区域;,则称 E 为开集;,记作E;,则称 E 为闭集;,若存在正数 r,使得E U(O,r),例如，在平面上,开区域,闭区域,整个平面,点集,是开集，,是最大的区域,也是最大的闭域;,但非区域.,3 n 维空间,n 元有序数组,的全体所构成的集合记作,即,中的每一个元素用单个粗体字母 x 等表示,称为点或,n 维向量.,即,定义:,线性运算,xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量.,称为 n 维空间.,定义了线性运算的点集,的距离定义为,或,中两点,中点 a 的 邻域为,则称 x,显然,趋于a,时通常记作,与零元 0 的距离为,特别
4、地,二、多元函数的概念,引例:,圆柱体的体积,一定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,定义1,点集 D 称为该函数的定义域;,数集,称为函数 f 的值域.,类似地,映射,称为定义,在 D 上的 二 元函数,称为自变量，,或,当 时,可定义n元函数,设非空点集,可定义三元函数,记作,例如,二元函数,定义域为,圆域,注:,二元函数 z=f(x,y),(x,y)D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形为空间曲面.,例1,的定义域.,解:,定义域为,求函数,三、多元函数的极限,定义2,则称 A 为函数,(2)二元函数的极限也称为二 重极限.,注:,的极限可写作：,若存在常数 A,对任意,记作,都有
5、,对任意正数,的定义域是D,在正数,设 二 元函数,当,是 D 的聚点.,时的极限,或,(1)若记,二元函数,总存,例2,求证:,证明:,故,总有,要证,设,(3),于不同的极限,则可以断定函数极限,以不同方式趋于,不存在.,函数趋,注:,(1),以任何 方式趋于,都无限接近于,(2),若 以某一特殊方式趋于 时,即使无限接近于某一确定值,也不能断定函数的极限存在.,时,若当点,二重极限存在是指:,或有的极限不存在,设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则有,k 值不同极限不同!,在(0,0)点极限不存在.,显然,例3 讨论函数,那么,？,解:,仅知其中
6、一个存在,不能推出其他二者存在.,注:二重极限,不同.,如果它们都存在,如,显然,与二次极限,但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.,则三者相等.,四、多元函数的连续性,定义3,的定义域为 D,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此,如果,否则称为不连续,此时,称为间断点.,则称 二 元函数,函数在 D 上连续.,连续；,聚点,即,在点,不连续的意义？,设 二 元函数,如函数,在点(0,0)极限不存在,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:一切多元初等函数在其定义区域内连续.,多元初等函数：,由常数及不同自变量的一元基本初等函数,经过有限次的四则运算和复合运算,式子表示
7、的多元函数.,并且可以用一个,例4 证明:,在全平面连续.,证明:,显然连续.,又,故函数在全平面连续.,由夹逼准则得,定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;,(3)对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),闭区域上多元连续函数有与闭区间上一元连续函数,使,解:,例5 求,原式,有类似的性质:,内容小结,1 区域,邻域:,区域,连通的开集,2 多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形为空间曲面),三元函数,有,3 多元函数的极限,4 多元函数的连续性,(1)函数,(2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,(3)一切多元初等函数在定义区域内连续,极限随k值不同而不同,令,极限不存在,练习:,证明极限 不存在,证明:,求极限,(2),(1),解:,
