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1、1,第六章 多元函数微分学,2,偏导数与全微分,复合函数与隐函数的微分法,多元函数的连续性,隐函数存在定理,第六章 多元函数微分学,多元函数,多元函数的极限,方向导数与梯度,多元函数的微分中值定理与泰勒公式,极值问题,3,第一节、多元函数,1. 平面点集 n 维空间,一元函数,平面点集,n 维空间,实数组(x, y)的全体,即,建立了坐标系的平面称为坐标面.,坐标面,坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为,平面点集,记作,(1) 平面点集,二元有序,多元函数的基本概念,4,邻域 (Neighborhood),设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点,几何表示：,. P0,多元函数的基
2、本概念,令,有时简记为,称之为, 将邻域去掉中心, 也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界),称之为,的全体点称之为点P0邻域.,去心邻域.,5,(1) 内点,显然, E的内点属于E.,多元函数的基本概念,(2) 外点,如果存在点P的某个邻域,则称P为E的,外点.,(3) 边界点,如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.,任意一点,与任意一点集,之间,必有以下三种关系中的一种:,设E为一平面点集,若存在,称P为E的,内点.,E的边界点的全体称为E的,边界,记作,使U(P) E = ,6,聚点,多元函数的基本概念,如果对于任意给定的,点P的去心邻域,内总有E中的点
3、,则称P是E的,聚点.,例如, 设点集,(P本身可属于E,也可不,属于E ),则P为E的内点;,则P为E的边界点,也是E的聚点.,E的边界,为集合,7,说明：,1. 内点一定是聚点；,2.边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点,3. 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0) 是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,8,平面区域(重要),设D是开集.,连通的开集称区域,多元函数的基本概念,连通的.,如对D内任何两点,都可用折线连,且该折线上的点都属于D,称开集D是,或开区域.,如,都是区域.,开集,若E的任意一点都是内点,例,称E为开集.,E1为开
4、集.,结起来,9,开区域连同其边界,称为,有界区域,否则称为,多元函数的基本概念,都是闭区域 .,如,总可以被包围在一个以原点为中心、,适当大的圆内的区域,称此区域为,半径,(可伸展到无限远处的区域 ).,闭区域.,有界区域.,无界区域,10,有界开区域,有界半开半闭区域,有界闭区域,无界闭区域,多元函数的基本概念,11,n 元有序数组,的全体,n 维空间中的每一个元素,称为空间中,称为该点的第k个坐标.,n维空间中两点,的距离定义为,n 维空间中点,记作,及,的邻域为,(2) n 维空间,多元函数的基本概念,n 维空间.,称为,即,的一个点,内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,n 维空间
5、中,12,称为 E 的内点：,如果存在一个正数 使得,称为 E 的外点：,如果存在一个正数 使得,称为 E 的边界点：,如果对任意一个正数 使得,中即有E中点又有非E中点,即不是E的内点也不是E的外点,闭区域：,13,（3） 中的集合到 的映射,设D为 中的一个集合.,那么对D中每一个点,多元函数的基本概念,在 中都有一个惟一的点,与之对应，映射 相当于,个 元函数:,Function of Many Variables,14,第二节、多元函数的极限,1. 二元函数的定义,例 理想气体的状态方程是,称 p为两个变量T,V 的函数,其中,(1) 定义,如温度T、体积V都在变化, 则压强 p依赖,
6、多元函数的基本概念,(R为常数),其中p为压强,V为体积,T为温度.,于T,V 的关系是,15,按着这个关系有确定的,点集D称为该函数,称为该函数的,则称z是x, y的,定义1,若变量z与D,中的变量x, y之间有一个依赖关系,设D是xOy平面上的点集,使得在D内,每取定一个点P(x, y)时,z值与之对应,多元函数的基本概念,记为,称x, y为,的,数集,二元(点)函数.,称z为,自变量,因变量,定义域,值域.,16,二元及二元以上的函数统称为,(2) 多元函数定义域,定义域为符合实际意义的,自变量取值的全体.,记为,函数 在点 处的函数值,多元函数的基本概念,或,类似,可定义n元函数.,多
7、元函数.,实际问题中的函数:,自变量取值的全体.,纯数学问题的函数:,定义域为使运算有意义的,17,例 求下面函数的定义域,解,无界闭区域,多元函数的基本概念,即定义域为,18,解,定义域是,有界半开半闭区域,多元函数的基本概念,19,3 求 的定义域,解,所求定义域为,20,用联立不等式表示下列平面闭区域 D .,圆弧,直线,?,解,多元函数的基本概念,及,21,2 、 二元函数 的图形,（如下页图）,研究单值函数,多元函数的基本概念,22,二元函数的图形通常是一张曲面.,23,例如,图形如右图.,例如,右图球面.,单值分支:,24,多元函数的基本概念,最后指出,从一元函数到二元函数,在内容
8、,和方法上都会出现一些实质性的差别,而多元,函数之间差异不大.,因此研究多元函数时,将以,二元函数为主.,25,3、多元函数的极限,讨论二元函数,怎样描述呢?,(1) P(x, y)趋向于P0(x0, y0)的,回忆: 一元函数的极限,路径又是多种多样的.,多元函数的基本概念,方向有任意多个,26,(2) 变点P(x,y),这样,可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.,多元函数的基本概念,总可以用,来表示极限过程:,与定点P0(x0,y0)之间的距离记为,不论,的过程多复杂,27,记作,多元函数的基本概念,定义2,有,成立.,的极限.,设二元函数,P0(x0, y0)是D的聚点.,
9、的定义,义域为D,如果存在常数 A,也记作,28,有,成立.,的极限.,P0(x0, y0)是D的聚点.,定义域为D,如果存在常数 A,定义3,设二元函数,说明：定义2与定义3等价,29,说明,(1) 定义中,(2) 二元函数的极限也叫,多元函数的基本概念,(double limit),的方式是任意的；,二重极限.,30,则当,例,证,取,有,证毕.,多元函数的基本概念,31,32,相同点,多元函数的极限与一元函数的极限的,一元函数在某点的极限存在的充要,?,定义相同.,差异为,必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋,而多元函数,于P0时,多元函数的基本概念,相同点和差异是什么,条件是左右极限
10、都存在且相等;,都有极限,且相等.,33,确定极限,关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.,多元函数的基本概念,不存在,的方法,则可断言极限不存在;,若极限值与 k 有关,(1),(2),此时也可断言,找两种不同趋近方式,但两者不相等,处极限不存在.,存在,沿直线,34,利用点函数的形式有,35,记作,多元函数的基本概念,定义,有,成立.,的极限.,设n元函数,P0(x1,., xn)是D的聚点.,的定义,义域为D,如果存在常数 A,也记作,36,设函数,讨论:,当P(x, y)沿x轴的方向,当P(x, y)沿y轴的方向,也有,证,多元函数的基本概念,函数的极限是否存在？,无限接近
11、点(0,0)时,同样,无限接近点(0,0)时,例,37,函数的极限存在且相等.,当P(x, y) 沿直线 y = kx 的方向,其值随k的不同而变化.,所以,极限不存在,多元函数的基本概念,说明函数取上面两个,无限接近,于点(0,0)时,另一方面,无限接近点(0,0)时,设函数,讨论:,函数的极限是否存在？,特殊方向,38,例 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,39,练习,取,解,当P(x,y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时,当P(x,y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,多元函数的基本概念,40,多元函数的基本概念,极限不存在.,取,41,二元函数的极限运算法
12、则和,基本性质与一元函数类似。,多元函数的基本概念,42,定理1：二元函数极限的四则运算法则,定理2：若,且,则,即,且,则,也有极限且,定理3：若,43,二元函数的几种复合函数的形式：,(i),其中,其中,(ii),其中,(iii),44,定理4：设函数,有,则,定理5：设对函数,有,则,且对,有,见P270 例4-5,45,第三节、多元函数的连续性,设二元函数,则称函数,定义,P0(x0, y0)为D的聚点, 且 P0D.,如果,连续.,如果函数 f (x, y) 在开区域(闭区域)D内的,每一点连续,则称函数,在D内连续,或称函数,是 D内的连续函数.,的定义域为D,46,定义,有,成立
13、，,设二元函数,P0(x0, y0)是D的聚点.,的定义,义域为D,如果存在常数 A,则称函数,在点P0连续,47,的不连续点,多元函数的基本概念,若函数 在点 P0(x0, y0)不连续,称P0为函数,间断点.,若在D内某些孤立点,没有定义,或沿D内某些曲线,但在D内其余部分,都有定义,则在这些孤立点或这些曲线,上,即间断点.,函数,都是函数,则,48,在单位圆,处处是间断点.,多元函数的基本概念,函数,(0,0)点是该函数的间断点.,函数,49,解,取,50,故函数在(0,0)处连续.,当 时,51,称为多元初等函数,多元函数的基本概念,积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.,同一元函数一
14、样,多元函数的和、差、,每个自变量的基本初等函数经有限次四则,运算和有限次复合,由一个式子表达的函数,处均连续.,在它们的定义域的内点,P275 定理1-3,52,例,解,53,映射的连续性,映射 在 点连续是指：,对于任意给定的,存在一个,使得当 时,这里的前一个 d表示 Rn中的两点距离,后一个d表示Rm中的距离.,f在P0连续的充分必要条件每一个分量f i在P0也连续,54,有界闭区域上连续的多元函数的性质,(1) 有界闭区间边界上的连续性,我们称 在 的边界点 处是连续的：,如果对任意的,都存在一个,使得当,时,便有,即,55,有界闭区域上连续的多元函数的性质,至少取得它的最大值和最小
15、值各一次,介于这两值之间的任何值至少一次,(2) 最大值和最小值定理,(3) 介值定理,多元函数的基本概念,在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上,在有界闭区域D上的多元连续函数,如果,在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得,P277 定理4-6,56,多元函数的极限的基本问题有三类,(1) 研究二元函数极限的存在性.,常研究,若其依赖于k,则,欲证明极限存在,*,特别对于,*,不存在.,多元函数的基本概念,常用定义或夹逼定理.,欲证明极限不存在,(通过观察、猜测),常选择两条不同路径,求出不同的极限值.,(2) 求极限值.,常按一元函数极限的求法求之.,(3) 研究全面极限与累次极限(二
16、次极限)间的关系.,(罗必达法则除外),57,提示,解,多元函数的基本概念,是否把极限,理解为:,先求,?,的极限,再求,的极限;,或者,先求,的极限,再求,的极限,思考,研究,有,有,58,(2) 同理:,(3)再来分析当点(x, y)沿过原点的直线,因此,不存在.,多元函数的基本概念,对任意的,有,趋向于,有,时,59,可证明当 f( x, y)在P0(x0, y0)的一个邻域上,第二,一般也是不相同的;,第三,由此看出:,第一,不能理解为,多元函数的基本概念,连续时,上述三个极限均相等.,或,60,求,答: 0,答:不存在.,答:不存在.,累次极限都不存在时,但全面极限也可能,多元函数的
17、基本概念,练习,存在.,累次极限与全面极限有本质的区别.,61,例 求极限,解,其中,多元函数的基本概念,62,多元函数的基本概念,例 求极限,解,将分母有理化,得,63,想一想,如何证明 f( x, y)在,?,证,多元函数的基本概念,xOy面上处处连续?,是初等函数，,处处连续.,64,又,于是,即证明了f(x, y)在,多元函数的基本概念,由于,xOy面上处处连续.,证明 f( x, y)在,xOy面上处处连续?,65,小结,多元函数的极限,多元函数连续性,有界闭区域上连续多元函数的性质,(与一元函数的极限加以比较:注意相同点与差异),多元函数的概念,多元函数的基本概念,预备知识,(内点, 边界点, 聚点, 开集, 连通, 区域),66,思考题1,67,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,原因为若取,68,多元函数的基本概念,思考题2 (是非题),必定不存在.,是,因为对不同的k值,不同,不存在.,69,作业,多元函数的基本概念,P264 2、3、4P272 2（1）、3（2）、4（1）P277 2、4,
