GCT数学部分概念公式总结.docx

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1、GCT数学部分概念公式总结代数 一、数和代数式 内容综述 1实数的运算 四则运算及其运算律 乘方与开方 aa=axyx+yax,y=ax-y,(ab)x=axbx,(ax)y=axy aa,a0绝对值a=0,a=0,a+ba+b,-aaa -a,a02复数 基本概念 i=-1,z=a+bi,z=a-bi，z=a2+b2,tana2b=a0,2p a基本形式 z=a+bi, z=z(cosa+isina), z=zeia 复数的运算及其几何意义 z1=a1+ib1,z2=a2+ib2,z1+z2=(a1+a2)+i(b1+b2)； z=a+bi，lz=la+lbi； z1=z1(cosa1+is

2、ina1) z2=z2(cosa2+isina2) z1z2=z1z2(cos(a1+a2)+isin(a1+a2) z1z1(cos(a1-a2)+isin(a1-a2) =z2z2z-z0=1 3代数式 几个常用公式 (ab)2=a22ab+b2； (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3； a2-b2=(a+b)(a-b)； a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2); (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3； a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 1+2+3+L+n=1n(n+1) 2二、集合、映射和函数 内容综述 1集合 概念 F,A=x0xb,k0kakb;ab,

3、k0kab,cda+cb+d,a-db-c 基本不等式：1(a+b)ab，a+ba+b 22几种常见不等式的解法 绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数不等式等 五、数列、 内容综述 1数列的概念 a1,a2,L,an,L，anSn=a1+a2+L+an=k=1ak n2等差数列 概念；简单性质：中项公式、平均值 1an,an+1-an=d,an=a1+(n-1)d,Sn=na1+n(n-1)d,2 a+a+LL+an1an-k+an+k=2an,12=(a1+an)n23等比数列 概念；简单性质：中项公式 an+11-qnn-12an,an0,=q,an=a1q,Sn=a

4、1,an-kan+k=an an1-q4数学归纳法 六、排列、组合、二项式定理 内容综述 1加法原理与乘法原理 2排列与排列数 m定义；公式P)(n-2)L(n-m+1) n=n(n-1m注 阶乘Pm=m! 3组合与组合数 Pnm定义；公式；P=CP,C=m Pmmnmmnmmn基本性质 C=Cnmnn-mn,Cmn+1=C+Cmnm-1n,Ck=0nkn=2n 4二项式定理 (a+b)=nk=0kkn-k abCn七、古典概率问题 内容综述 1基本概念 样本空间、样本点、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容事件、对立事件 2概率的概念与性质 定义； 性质：0P(

5、A)1，P(F)=0，P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AIB) 3几种特殊事件发生的概率 等可能事件P(A)=m n互不相容事件 P(AUB)=P(A)+P(B)， 对立事件 P(A)+P(B)=1 相互独立事件 P(AIB)=P(A)P(B) 独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为kkn-kp，那么在n此独立重复试验中这个事件恰好 发生k次的概率为 Pn(k)=Cnp(1-p)几何 一、平面几何图形 内容综述 1三角形 三角形的各元素 11s=ah=absinC=22p(p-a)(p-b)(p-c),2p=a+b+c 三角形各元素的计算公式 几种特殊三角形c2=a2+b2 2

6、四边形 矩形；平行四边形；梯形s=注：对角线垂直的四边形面积 3圆和扇形 圆(周长、面积、圆周角、圆心角)l=2pR扇形s=1(a+b)h 2s=pR2 1Rl2l=Rq 4平面图形的相似关系 注 正多边形的内角和(n-2)p、椭圆面积pab 二、空间几何图形 内容综述 1长方体 2圆柱体 s侧=2pRh2V=pR2h 23圆锥体 s侧=pRh+R4球 s=4pR21V=pR2h 34V=pR3 3三、三角函数 内容综述 1定义 (x,y) a sina=y,cosa=x,sinacosa11 tana=,cota=,seca=,csca=cosasinacosasina2三角函数的图像和性质

7、 y3常用的三角函数恒等式 sin2a+cos2a=1221+tana=seca 1+cot2a=csc2asin(a+b)=sinacosb+cosasinbcos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin2b=2sinbcosbcos2b=cos2b-sin2b=1-2sin2b=2cos2b-1ppsin(+b)=cosb,cos(+b)=-sinb,sin(p+b)=-sinb 224反三角函数 y=arcsinx,-y=arctanx,(-pp,;y=arccosx,0,p22,);y=arccotx,(0,p)22pp5正弦定理和余弦定理 正弦定理sinAsinBsin

8、C= abcb2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2余弦定理cosA= ,cosB=,cosC=2bc2ac2ab四、平面解析几何 内容综述 平面直线 1直线方程 y-y0=k,y=y0+k(x-x0)x-x0y=kx+bxy+=1abax+by+c=02两条直线的位置关系 l:ax+by+c=0；l1:a1x+b1y+c1=0； 平行但不重合：abcabcaa1=；重合：=；垂直：-=-1 a1b1c1a1b1c1bb1ax0+by0+ca+b223点到直线的距离 ax+by+c=0 ，(x0,y0)， d=注 直线与圆等平面图形的位置关系 圆锥曲线 1圆:到一定点距离相等的点的集合

9、 (x-x0)2+(y-y0)2=R2 2椭圆 定义：到两定点距离之和为一常数的点的集合 方程；x2a2+y2b2=1,c2=a2-b2,(-c,0)(c,0) c1 a图像；离心率；e=ba2渐近线；y=x准线 x= ac4抛物线 定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合 方程； ppy2=2px， (,0),x=-, 22图像；离心率 e=1；准线 微积分部分 第11章函数的极限与连续 11.1函数 一 函数 1定义 设x和y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个数xD，变量y按照一定的法则，总有一个确定的值与它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，数集D叫做这个函数的定义域，

10、x叫做自变量，y叫做因变量。 2 表示法 3 基本初等函数 二 特性 1函数的有界性 设函数f(x)在区间I上有定义，如果$M0，使得对xI，有f(x)M，则称f(x)在区间I上有界，否则，称f(x)在区间I上无界。 2函数的单调性 设函数f(x)在区间I上有定义,如果x1,x2I且x10，对于n有xnM，则称数列xn是有界的。 4 数列极限的性质 若数列xn是收敛的，则它的极限是唯一的。 数列xn是收敛的，则称数列xn是有界的。 5 数列极限的四则运算 设limxn=A，limyn=B nnlim(xnyn)=AB nlimxnyn=AB nlimnxnA=ynB(B0) 11.3 函数的极

11、限 1 函数极限的定义 设函数f(x)在区间a,+)上有定义，A为常数，如果当x+时，函数f(x)的值无限趋近于A，则称当x+时，f(x)以A为极限，记作limf(x)=A。 x+A为常数，设函数f(x)在区间(-,a上有定义，如果当x-时，函数f(x)的值无限趋近于A，则称当x-时，f(x)以A为极限，记作limf(x)=A。 x-设函数f(x)在区间(-,-a)(a,+)(a0)上有定义，A为常数，如果当x无限增大时，函数f(x)的值无限趋近于A，则称当x时，f(x)以A为极限，记作limf(x)=A。 x定理 limf(x)=A的充分必要条件是limf(x)=A且limf(x)=A。 x

12、x-x+当x无限趋近于x0时，函数f(x)的值无限趋近于A，则称x趋近于x0时，函数f(x)以A为极限，记作limf(x)=A。 xx0当xx0无限趋近于x0时，函数f(x)的值无限趋近于A，则称x趋近于x0时，函数f(x)的右极限为A，记作f(x0+0)=limf(x)=A。 +xx0定理 limf(x)=A的充分必要条件是f(x0-0)=limf(x)=A且-xx0xx0f(x0+0)=limf(x)=A。 +xx0设limf(x)=A，limg(x)=B x*x*若AB，则极限点附近有f(x)g(x)。 极限点附近有f(x)g(x)，则AB。 2 函数极限的性质 如果limf(x)存在，

13、则极限值是唯一的。 如果limf(x)=A，则f(x)在极限点附近是有界的。 3 函数极限的运算法则 四则运算 复合函数的运算法则 设复合函数y=fj(x)在x0的某邻域内有定义，如果xx0limj(x)=u0 uu0xx0uu0且limf(u)=A，则limfj(x)=limf(u)=A。 4 重要极限 sinx=1 x0x11x lim(1+)=e或lim(1+x)x=e xx0x11.4 无穷大量与无穷小量 一1 定义如果函数f(x)当xx0时的极限为零，则称函数f(x)*lim当xx0时为无穷小量。 如果函数f(x)当xx0时f(x)无限变大，则称函数f(x)当xx0 时为无穷大量。记

14、作limf(x)=. 2 无穷大量与无穷小量的关系 在自变量的同一变化过程中，如果函数f(x)为无穷大量，则量，反之，如果函数f(x)为无穷小量且f(x)0，则1为无穷小f(x)1为无穷大量。 f(x)3无穷小量与有极限量的关系 limf(x)=Af(x)=A+a(x)，其中lima(x)=0 4 无穷小量与有界量之积为无穷小量 5无穷小量的比较 设x*时，a(x)0,b(x)0 a(x)(1)若0，则称x*时a(x)比b(x)高阶无穷小，记作a(x)=o(b(x) b(x)a(x)(2)若，则称x*时a(x)与b(x)同阶无穷小。 c(c是不等于零的常数）b(x) 特别地，当c=1时称x*时

15、a(x)与b(x)是等价无穷小，记作x*时，atxx，a(x)b(x)。当x0时，sinxx，(l1+x)x ，n，n111+x-1x，ex-1x。 1-cosxx2,22a(x)(3)若，则称x*时a(x)比b(x)低阶无穷小。 b(x)6等价无穷小替换定理 设x*时，a(x)0,b(x)0，a1(x)0,b1(x)0且a(x)a1(x)，a(x)a(x)a(x)b(x)b1(x)，lim1存在，则 lim。 =lim1x*b(x)x*b(x)x*b(x)1111.5 函数的连续性 1 连续的定义 (1) y=f(x)在点x0连续：设y=f(x)在点的某邻域有定义，如果 limDy=limf

16、(x0+Dx)-f(x0)=0或 limf(x)=f(x0)，则称y=f(x)在点Dx0Dx0xx0x0连续。 左连续，右连续 y=f(x)在(a,b)内连续 y=f(x)在a,b内连续 2 函数的间断点及分类 3 连续函数的运算法则 (1)设f(x)，g(x)在x0连续，则f(x)g(x)，f(x)g(x)，在x0连续。 (2)复合函数的连续性 设u=g(x)在x0连续，y=f(u)在u0=g(x0)连续，则复合函数y=fg(x)在x0连续。 结论：初等函数在其定义区间上是连续的。 f(x)，g(x)4连续函数在闭区间上的性质 (1)有界性 设f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上有界

17、。 (2)最值存在 设f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上存在最大值和最小值。 (3)介值定理 设f(x)在a,b上连续，f(a)f(b)，则对f(a)与f(b)之间的任何数h，必存在 c(a,b)，使得f(c)=h。 (4)零点存在定理 设f(x)在a,b上连续，f(a)f(b)0，则必存在c(a,b)，使得f(c)=0。 第12章 一元函数微分学 12.1导数的概念 一 导数的定义 1设函数y=f(x)在x0某邻域内有定义，当自变量x在点x0取得改变量Dx时，相应地函数y=f(x)也有改变量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)，如果极限 limf(x0+Dx)-f(x0)Dy=lim

18、存在，则称函数y=f(x)在x0可导，并称这个Dx0DxDx0Dx极限值 为函数y=f(x)在点x0的 导数，记作f(x0)，yx=x，02左导数，右导数 如果lim-Dx0dydfdxx=x0dxx=x0f(x0+Dx)-f(x0)Dy=lim-存在，则称此极限值为f(x)在x0处的左导DxDx0Dx数，记作f-(x0)。 如果lim+Dx0f(x0+Dx)-f(x0)Dy=lim存在，则称此极限值为f(x)在x0处的右导DxDx0+Dx数，记作f+(x0)。 3如果f(x)在(a,b)内每一点可导，则称f(x)在(a,b)内可导。 4如果f(x)在(a,b)内可导，且f-(b),f+(a)

19、存在，则称f(x)在a,b内可导。 二 导数的几何意义 函数f(x)在x0点的导数f(x0)等于曲线y=f(x)在点处切线的斜率。 切线方程是y-f(x0)=f(x0)(x-x0)，法线方程是y-f(x0)=-三 可导与连续的关系 可导必连续，反之不然。 四 重要结论 1f(x)在x0处可导f+(x0)=f-(x0) 2 可导偶函数的导数是奇函数； 3 可导奇函数的导数是偶函数； 4可导周期函数的导数是周期函数。 12.2 求导公式和导数运算法则 一 求导公式 1 (xa)=axa-1 2 (ax)=axlna 3 (logax)=1 4 (sinx)=cosx xlna1 (x-x0)。f(

20、x0)5 (cosx)=-sinx 6 (tanx)=sec2x 二 四则运算 如果f(x)，g(x)在点x都可导，则 f(x)g(x)=f(x)g(x) f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) f(x)f(x)g(x)-f(x)g(x) =2g(x)g(x)三 复合函数的导数 设y=fg(x)由y=f(u)和u=g(x)构成的复合函数，如果u=g(x)在点x可导，dudy=g(x)，y=f(u)在点u可导，=f(u)，则复合函数y=fg(x)在点x可dxdudydydu=f(u)g(x)=fg(x)g(x) 导，且dxdudx12.3 微分 一 定义 函数y=f(x)在x处的微

21、分 设函数y=f(x)在区间I上有定义，x0,x0+DxI，如果函数的改变量 其中A是不依赖 Dx的常数，Dy=f(x0+Dx)-f(x0)可表为Dy=ADx+o(Dx)，而o(Dx)是比Dx的高阶无穷小，则称 y=f(x)在x0是可微的，ADx叫做y=f(x)在x0相应于自变量改变量Dx的微分，记作 dy，即dy=ADx或dy=Adx。Dy=dy+o(Dx) 二 微分与导数的关系 函数y=f(x)在点x处可微的充分必要条件是它在该点处可导，此时A=f(x)即有dy=f(x)dx。Dy=f(x)Dx+o(Dx) 三 微分的几何意义 四微分的基本公式和四则运算法则 12.4中值定理 1 罗尔定理

22、 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少 $x(a,b)使得f(x)=0。 2 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少 $x(a,b)使得f(b)-f(a)=f(x)(b-a)成立。 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数。 如果函数f(x)和g(x)在区间I上的导数相等，则这两个函数在区间I上至多相差一个常数。 012.5 洛必达法则 如果f(x)和g(x)满足 0limf(x)=limg(x)=0() 在极限点附近f(x),g(x)都存在，且g(x)0 l

23、imf(x)f(x)f(x)存在或无穷大 ，则 lim =limg(x)g(x)g(x)12.6 函数的单调性与极值 1 函数的单调性的判断法 一 函数的增减性的判断 如果函数f(x)在(a,b)内可导，则f(x)在(a,b)内单调递增的充分必要条件是 x(a,b)，有f(x)0。 二 极值 1 定义 设函数f(x)，若x(x0-d,x0+d)均有f(x)f(x0)(xx0)则称x0为f(x)的极小值点，f(x0)为f(x)的极小值。 2 取得极值的必要条件 设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f(x0)=0。 3 第一充分条件 设函数f(x)在点x0一个邻域内可导，且f(x0)

24、=0如果当x取x0左侧邻近值时，f(x)0，当x取x0右侧邻近值时，f(x)0，则函数f(x)在点x0处取得极大值；如果当x取x0左侧邻近值时，f(x)0，则函数f(x)在点x0处取得极小值；如果当x取x0左右侧邻近值时，f(x)恒为正或恒为负，则函数f(x)在点x0处没有极值。 4 第二充分条件 设函数f(x)在点x0有二阶导数，且f(x0)=0，f(x0)0，则 如果当f(x0)0时, 函数f(x)在点x0处取得极小值。 12.8 曲线的凹凸、拐点及渐近线 一 曲线的凹凸、拐点 1如果曲线在其任一点切线之上，则称此曲线是凹的。凹凸的分界点称为曲线的拐点。 2设函数f(x)在区间I上二阶可导

25、，当xI时，f(x)0(0,a1) lna sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=sec2xdx=tanx+C 2cosx2=cscxdx=-cotx+C dx2sinx三 不定积分的性质 f(x)dx=f(x) df(x)dx=f(x)dx (3) F(x)dx=F(x)+C (4) dF(x)=F(x)+C (5) kf(x)dx=kf(x)dx (k为不等于零的常数) (6) f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx 13.2 不定积分的计算方法 1 第一类换元法 设F(u)是f(u)的原函数，且u=j(x) 可导，则Fj(x)是fj(x)j(x)的原函数

26、，即fj(x)j(x)dx=f(u)du=F(u)+C =Fj(x)+C j(t)0且F(t)是fj(t)j(t)的原函数，2第二类换元法 设x=j(t)单调可导，则 F(t)=F(j-1(x)是f(x)的原函数，即 -1f(x)dx=fj(t)j(t)dt=F(t)+C=F(j(x)+C 3分部积分法 设u(x),v(x)有连续的一阶导数,则 u(x)v(x)dx=u(x)v(x)-v(x)u(x)dx 即 u(x)dv(x)=u(x)v(x)-v(x)du(x) 13.3定积分的概念与性质 一.定积分的概念 设函数f(x)在区间a,b上有界，在a,b中任意插入若干分点 a=x0x1x2Lx

27、n-1b时，af(x)dx=-bf(x)dx 三 定积分的性质 设f(x),g(x)为可积函数，则 bbb (1)af(x)g(x)dx =af(x)dxag(x)dx bbakf(x)dx=kaf(x)dx b adx=b-a bcb af(x)dx =af(x)dx+cf(x)dx b (5) 如果在a,b上，f(x)0则af(x)dx0 bb a,b上,f(x)g(x) 则，af(x)dxag(x)dx bbf(x)dxaf(x)dx (ab) a (8)设在a,b上，mf(x)M，则 b m(b-a)af(x)dxM(b-a) (其中m,M是常数) 如果函数f(x)在区间a,b上连续，

28、则在a,b上至少有一个数x，使 f(x)dx=f(x)(b-a)成立。 ab另外，记住下面公式，常常会化简定积分的计算。 aa0,f(x)是奇函数 (1)f(x)dx= -a2f(x)dx,f(x)是偶函数0 如果函数f(x）以T为周期连续函数，a是常数，则 a+Taf(x)dx=f(x)dx 0T13.4微积分基本公式 定积分的计算 一牛顿莱布尼兹公式 1 变上限函数定义 x 设f(x)可积，F(x)=af(t)dt称为变上限定积分，它是上限变量x的函数。 x 2 定理 如果f(x)在a,b上连续，则F(x)=af(t)dt在a,b上可导，且F(x)x=f(x)；如果函数f(x)在a,b上连

29、续，g(x)可导，则 dg(x)g(x)f(t)dt=fg(x) da。 dxdx3 .牛顿莱布尼兹公式 定理 若函数f(x)在区间a,b上连续，F(x)为f(x)的一个原函数，即bF(x)=f(x)，则 af(x)dx=F(x)a=F(b)-F(a) b二 变量替换法 设函数f(x)在a,b上连续，函数f(t)满足下列条件 (1) 函数f(t)在区间a,b上有连续的导数f(t)； (2) f(a)=a，f(b)=b，且当t在区间a,b上变化时，关系式x=f(t)所确定的x的值不越出a,b的范围，若越出，但f(x)在大的区间上仍连续，则有下式成立 bb af(x)dx=aff(t)f(t)dt 注意：此公式也可以从右边向左边进行，这就是凑微分的方法。 三 分部积分法 设函数u(x)与v(x)在区间a,b上具有连续的导数u(x)与v(x)，则有 bbu(x)v(x)dx=u(x)v(x)a-av(x)u(x)dx ab13.5 定积分的应用，平面图形的面积 由直线x=a,x=b曲线y=f(x),y=g(x)所围图形的面积为 S=f(x)-g(x)dx ab