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1、GCT数学复习资料GCT考试网 QQ群：31849306 第四部分 一元函数微积分 在25个考题里面占6个，主要考在一元微分学部分，微分学占到了23，现在微分学的题目有四个，积分学可能有两个题目。从题目的难度说，04、06两年，微积分的题目计算量是偏大的，03、05两年题目的难度不大，但也有难题。从出题目的类型说，只有一个题目没有复习，就是渐近线的问题。今年渐近线可以不管，已经考过了。微积分 一元微积分内容总结 一、有关函数进一步讨论： 二、极限；极限的概念、极限的性质和极限的四则运算、两个重要极限和无穷大量和无穷小量概念及其关系、无穷小量的比较等。掌握极限的保号性质；sinx=elim1 2
2、x0x2x0xx无穷大与无穷小的关系；理解无穷小比较； f(x)0 f(x)=o(g(x)g(x)第三章 连续函数 f(x)1f(x)c g(x)g(x)连续的定义，左右连续的定义，连续与左右连续的关系，间断点，间断点的分类，连续函数的运算性质，连续函数的性质。给出一个函数，给出一点，判断函数在这点是否存在左极限和右极限存在且相等，相等就是连续的。 给出具体函数找间断点。1.先找有定义的点；2.单独给出定义的点；sinx，x0f(x)=x 0，x=0最大值存在性和最小值的存在性； 第四章 导数和微积分的概念、导数的运算 1.概念；limDx0f(x0+Dx）-f(x0)存在； Dxf(x0+D
3、x）-f(x0)=a(x0)Dx+o(Dx）=f(x0)Dx+o(Dx） 2.性质；可导定连续；反之不成立。可导和可微是等价的；反之亦成立。 3.运算；基本初等函数的导数要记住；加减乘除的求导法则记住；复合函数的联导法则要1 记住；GCT考试网 QQ群：31849306 g(x)lny=g(x)lnf(x) y=f(g(x)y=f(g(x)gx）y=f(x)、可微、极值等 2反映函数整体性质的概念 有界性、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、最值、原函数、定积分等 二、三种运算 1极限运算 常用方法：四则运算、重要极限、等价无穷小代换、无穷大与无穷小的关系、导数定义、洛必达法则等 2求导运算 需要
4、掌握：定义、基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的链导法则、变限定积分函数的导数公式 3积分运算 不定积分运算：基本积分公式、换元积分法、分部积分法 定积分运算：定义与性质、几何意义、牛顿莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法 三、几个应用 1单调性、极值、最值问题 2凹凸性、拐点问题 3平面图形的面积问题 一元微积分中的常见问题 一、 求函数表达式的问题 1已知f(x+1)=x2+1, 求f(x)的表达式 解：令x+1=t 得 f(t)=(t-1)2+1=t2-2t+2，故f(x)=x2-2x+2 1,2已知f(x)=0,24-x,g(x)=x1,2,x1,x2, 求g(f(x) x2.x1
5、,x1.） 24-f(x),解：g(f(x)=2,3,f(x)2,=4-f2(x)=f(x)24,2 GCT考试网 QQ群：31849306 3已知f(ex)=sinx+cosx，求f(x) 解： 因为(f(ex)=f(ex)ex=(sinx+cosx)ex， 所以 f(ex)=(sinx+cosx)exdx =exsinx+C 因此 f(x)=xsin(lnx)+C 4设xf(x)dx=arctanx+C，求1dx f(x)解：因为 xf(x)dx=arctanx+C， 所以 xf(x)=11+x2 因此 111dx=x(1+x2)dx=x2+x4+C f(x)242x105已知f(x)=x
6、+e2f(x)dx，求f(x)dx，f(x) 01解：因为 f(x)=x+ex10f(x)dx，所以 11011+(e-1)f(x)dx， 0301f(x)dx=x2dx+exdxf(x)dx=001因此 01f(x)dx=112ex ，f(x)=x+3(2-e)3(2-e)二、研究函数的奇偶性的问题 1f(x)=1x(e-e-x)奇函数 222f(x)=ln(x+1+x) 2解：因为对任意的x(-,+)，f(x)=ln(x+1+x)都有定义，且 f(-x)=ln(-x+1+x2)=ln-x2+(1+x2)x+1+x2-ln(x+1+x2)-f(x),2所以f(x)=ln(x+1+x)是奇函数
7、； 3 GCT考试网 QQ群：31849306 x3研究函数f(x)=ln(t+1+t2)dt的奇偶性 0解：因为对任意的x(-,+)，f(x)=0ln(t+x1+t2)dt都存在，且 f(-x)=x0-xln(t+1+t2)dt0=ln(-u+1+(-u)2)(-du)=-lnx0x01u+1+u2du=ln(u+1+u2)du=f(x)所以f(x)=0xln(t+1+t2)dt是偶函数 三、函数在一点的性质 12+exsinx1求极限lim+ 4x0x1+ex解： 11-1xxx+1sinx2+esinx2+esinx2e=lim=lim=0+1=1lim+4413|x|x0+xx0+-x
8、x0+1+ex1+exex+ex11xx2+esinx2+esinx=lim=2-1=1 lim+-44|x|x0-xx0-1+ex1+ex2指出函数f(x)=x(x-1)的间断点及其类型 2x(x-1)答案：x=0，跳跃型；x3已知函数f(x)=lim=1，可去型；x=-1，第二类 x2nx2n-1+ax2+bx+1n在(-,+)上连续，求a,b的值 1,x1,x1(a-b-1),x=-1,解：由于f(x)=2 12(a+b+1),x=1,2ax+bx,x0在x=0可导，则a,b满足 A x0a=0,b=0 a=1,b=1 a为任意常数,b=0 a为任意常数,b=1 四、有关无穷小比较的问题
9、 1若k0， lime1-cosx-1tan(xp)kx0=a0，求k与a的值 12xe-11-cosx2解：因为 lim=lim=lim=a0，所以 kkkx0tan(xp)x0xpx0xp1-cosxk=2,a=1 2px2ln(1+t)dt，则当x02已知f(x)= C A x 20时，下列函数中与f(x)是等价无穷小的是 B x 3x4 C 2 D x 4x2ln(1+t)dt12xln(1+x2)2x30解：由1=lim得k=4,a= =lim=lim2x0x0akxk-1x0akxk-1axkxt21dt=-2 3确定a,b的值，使limx0sinx-axb1+t2 5 GCT考试
10、网 QQ群：31849306 xt21dt=-2 解： 因为lim(sinx-ax)=0，limx0sinx-axb1+t2x0所以 limx0bxt21+t2dt=0，因此b=0 x1t21x20又 -2=lim， dt=lim=22x0sinx-axbx0cosx-a1-a1+t1+x所以 a=1. 4. 设f(x)=解:limxt2edt，求lim0h0f(x+h)-f(x-h) hf(x+h)-f(x-h)f(x+h)+f(x-h)=lim h1h0h0=limeh0(x+h)2+e(x-h)2=2ex2 五、有关导数概念的问题 1求极限 limh0f(x0+h)-f(x0-h) 2h
11、解： f(x0+h)-f(x0-h)f(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-h)=lim=f(x0)2h2hh0h0lim2设f(x)在x=0点某邻域内可导，且当x0时f(x)0，已知f(0)=0， 12，求极限lim(1-2f(x)sinx。 x0-2f(x)sinxf(0)=11解：lim(1-2f(x)sinx=lim(1-2f(x)-2f(x)x0x0=lim(1-2f(x)x01-2f(x)-2f(x)-f(0)x =e-4。14xsin,x0,3已知f(x)=，求f(0) xx=00,1134xsin-x2cos,x0,解：因为 f(x)= xx0,x=0, 6 GCT考
12、试网 QQ群：31849306 所以f(0)=lim六、 f(x)-f(0)=limxx0x04x3sin11-x2cosxx=0 x求简单复合函数、简单隐函数、幂指函数的导数和微分的问题 1y=ln(arctanx)11 2arctanx1+x 方 2已知函数y=y(x)由ey-e-x+xy=0确定，求曲线y=y(x)在x=0处的切线程与法线方程 解：由 ey-e-x+xy=0 得 eyy+e-x+y+xy=0， 当 x=0 时，得 y(0)=0,y(0)=-1，所以要求的切线与法线方程分别为y=-x,y=x 七、 3y=1xxln1-lnxlnx11-lnxy=，y=，y=xx 22xyx
13、x1研究函数单调性、求函数极值的问题 1单调性、极值问题 例如：求函数y=2x1+x2的单调区间和极值点 解：y=2(1-x2)(1+x)22，由y=0得x1=-1,x2=1 单增区间为(-1,1)，单减区间为(-,-1)和(1,+) x1=-1是极小值点，x2=1是极大值点 2最值问题， 3证明不等式问题， 证明：xx2+2x+2arctan(x+1)-p40) 2证明：因为 arctan(x+1)-p4=x1+x2(1x1+x)， 7 GCT考试网 QQ群：31849306 所以 xx2+2x+2arctan(x+1)-p40). 2证明：abba证明：令f(x)=(eab) lnx1-l
14、nx，则f(x)=e，所以当eab时， 2xxlnblnababaf(b)f(a)，即 (eab) 证明：1-(ln3)2lnx2-ln2x1(1x3e) 证明：令f(x)=lnx2-ln2x，由f(x)=22lnx-=0得x=e，由于 xxf(1)=0,f(e)=1,f(3e)=1-ln23，所以函数f(x)在区间1,3e上的最大、最小值 分别为1和1-ln23，从而有 1-(ln3)2lnx2-ln2x1(1x3e) 4证明等式问题 例如：设函数f(x)在0,a上可导、单增且f(0)=0，证明 af(a)-1f(x)dx+f(y)dy=af(a) 00证明：令F(u)=0uf(x)dx+f
15、(u)0f-1(y)dy-uf(u)，u0,a， 则 F(u)=f(u)+f(u)f-1(f(u)-f(u)-uf(u)=0,又 F(0)=0， 所以 F(u)=0,故 u0,a， u0,a， f(a)0af(x)dx+0f-1(y)dy=af(a) 证法2：因为 y=f(x)f(a)-1a-1f(y)dy=f(f(x)f(x)dx00， aaa=xf(x)dx=xf(x)0-f(x)dx00af(a)-1所以f(x)dx+f(y)dy=af(a) 00注：也可用定积分的几何意义证明 5研究方程根的问题 例如：讨论方程x-3x+A=0实根的情况 8 3GCT考试网 QQ群：31849306 解
16、：令 f(x)=x3-3x+A，由f(x)=3x2-3=0 得 x1=-1,x2=1，从而 (-1,1)是函数的单减区间，(-,-1)和(1,+)是函数的单增区间，极大值为 f(-1)=A+2，极小值为f(1)=A-2 由于 limf(x)=+,limf(x)=-，所以： x+x-当A+20,A-20时，原方程只有一个实根，位于(-,-1)内 八、研究函数的凹凸性、求函数拐点的问题 1.当a,b为何值时，点(1,3)可能为y=ax3+bx2的拐点，此时函数的凹凸性如何？ 解:由点(1,3)在曲线上和拐点处的二阶导数为零，得 a+b=3, 6a+2b=0,解得 a=-39,b= 22由于 y=9
17、(1-x)，所以(-,1)为函数的下凸区间，(1,+)为函数的上凸区间，点(1,3)是y=ax3+bx2的拐点 2. 设函数f(x)在-1,1上二阶连续可导，且f(0)=0，limxx01-cosxf(x)=1，试判断x=0是否为f(x)的极值点？是否为f(x)的拐点？ 解：因为 limf(x)0， f(x)=10，所以在x=0附近1-cosxx01-cosx从而f(x)0，因此x=0不是f(x)的拐点 由于f(x)0，所以f(x)单增，又f(0)=0，从而易知x=0是f(x)的极小值点 9 xxGCT考试网 QQ群：31849306 九、不定积分 1已知f(x)的一个原函数为e解： x2，求
18、f(x)f(x)dx，xf(x)dx 22f(x)f(x)dx=212f(x)+C=2x2e2x+C 22xxxf(x)dx=xf(x)-f(x)dx=2xe-e+C 2(sinx+cosx)edx 解： x(sinx+cosx)edx=sinxedx+cosxe=exsinx-cosxexdx+cosxexdx=exsinx+C3exxxdx-x3+2lnxdx dx=xe2-x3解：e-x3+2lnx1-x31-x33dx=-ed(-x)=-e+C 3341+ex 1+ex=dxdx解：1+ex-ex1+exdx=(1-ex1+ex)dx=x-d(1+ex)1+ex 或 =x-ln(1+e
19、x)+C dx1+ex=exdxex(1+ex)=dexex-x=x-ln(1+e)+C x1+edexln(lnx)xdx ln(lnx)dx=ln(lnx)d(lnx)=lnxln(lnx)-lnx+C 解：x56sin(lnx)dx 1dx x1 =xsin(lnx)-xcos(lnx)-xsin(lnx)dx xx所以 sin(lnx)dx=(sin(lnx)-cos(lnx)+C 2解：因为sin(lnx)dx=xsin(lnx)-xcos(lnx)十、定积分求值的问题 10 GCT考试网 QQ群：31849306 1利用定积分性质 2分段函数、绝对值函数、带有根号的函数求定积分 例
20、如：kp01-sin2xdx=kp0cos2xdx=kcosxdx=2k 0p 3已知一个积分值，求另一个积分值 已知p01f(x)dx=1，求2f(cos2x)sin2xdx的值 0p2001p解： 20f(cosx)sin2xdx=-2f(cos2x)d(cos2x)=-f(u)du=1。 11etetdt 已知A=dt，求0(1+t)201+tetet解：dt=-0(1+t)21+t110ete+dt=1-+A 01+t214已知一个积分方程，求一个积分值 2x例如：已知f(x)=x+ef(x)dx，求f(x)dx，f(x) 0110解：因为 f(x)=x+e2x10f(x)dx，所以
21、1011+(e-1)f(x)dx， 0301f(x)dx=x2dx+exdxf(x)dx=0011因此 01f(x)dx=112ex ，f(x)=x+3(2-e)3(2-e)十一、有关变限定积分函数的问题 1导数运算 已知函数y=1t2解：因为 edty1t2y(x)由方程edty+sinx0cost2dt=0确定，求dy dx+sinx0dyy2costdt=0， e+cosxcos(sinx)2=0， 所以-dx2 因此 2dy=e-ycosxcos(sinx)2 dx(e0求极限 limx0xt2-1)dt 1-cosxx2解：lim0x0x(et-1)dtx21-cosxe-1x2=l
22、im=lim=0 x0sinxx0sinxF(x)=0f(xt)dt，求F(x) 11 GCT考试网 QQ群：31849306 解：F(x)=0xf(xt)dt=x2011x2f(u)du，F(x)=-20f(u)du+2f(x2) xx已知f(x)=1x2-t2edt，求xf01(x)dx 12113-x41111112dx=(-1) 解：xf(x)dx=xf(x)0-xf(x)dx=-2xe0220204e2研究奇偶性、单调性、凹凸性，求极值点和拐点 例如：求函数f(x)=20x2t(t-1)dt的单调区间和极值点 解：由 f(x)=2xx(x-1)=0，得x1=-1,x2=0,x3=1
23、当x-1时，f(x)0，f(x)单调减小， 当-1x0，f(x)单调增加，x1=-1是f(x)的一个极小值点； 当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调增加，x=1是f(x)的一个极小值点 十二、定积分的几何应用问题 1切线、法线，2. 最大、最小面积 求由y=ex,y=0,x=0及y=ex在x=1处的法线所围图形的面积及此图形绕x轴旋转所得旋转体的体积 解: y=ex在x=1处的法线方程为 1y=e-(x-1)， e此法线与x轴的交点是 (e+1,0)，所以 211e-(x-1)dx=e3+e-1； 01e221111V=pexdx+pe2e2=p(e2-1)+pe4 0323S=
24、edx+1xe2+1()求曲线段y=lnx,(2x6)的一条切线，使该切线与直线x=2,x=6及此曲线段所围平面图形的面积最小 解：曲线y=lnx在(x0,lnx0)处的切线方程为 12 GCT考试网 QQ群：31849306 y=lnx0+1(x-x0)， x0曲线y=lnx在(x0,lnx0)处的切线与直线x=2,x=6及此曲线段所围平面图形的面积为 S(x0)=lnx0+26116(x-x0)-lnxdx=4lnx0+-6ln6+2ln2， x0x0S(x0)=44(1-) x0x0由 S(x0)=0，得x0=4 由于当x4时，S(x)4时，S(x)0， 线方程为 y=ln4+样题与真题
25、 一、函数 设函数所以S(4)最小，故所求切1(x-4) 4f(x)的定义域是0,1，则函数 g(x)=1-xf(sinpx)+1+xf(1+cospx)的定义域是 A. x1 B. 0x1 C. x0.5 D. 0.5x1 1-x0,-1x1,1+x0,分析：考虑得0sinpx1,解得0.5x1即正确选项为D -1cospx0,0sinpx1,01+cospx1二、函数在一点的性质 12xsin，x0,1设函数f(x)=，则f(x)在点x=0处 2如果f(x)在x0处可导，Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)，则极限Df(x0)-df(x0) Dx0DxlimA等于f(x0) 注：特殊
26、值代入法。 13 B等于1 C等于0* D不存在 GCT考试网 QQ群：31849306 3设且f(x)在点x=0处可导，12f=(n=1,2,3,L),则f(0)= nnA.0 B.1 C.2 D.3 分析：因为f(x)在点x=0处可导，所以其在点x=0处连续，从而1f-f(0)12nf(0)=limf=lim=0，f(0)=lim=2即正确选项为C 1nnnnnn注：特殊值代入法。 4设f(x)0，且导数存在，则limn1f(a+)n=nln。 f(a)A. 0 B. C. lnf(a) D. 答：D f(a) f(a)分析： 根据导数定义，极限limn11f(a+)lnf(a+)-lnf
27、(a)n=n是复合函数nlnlim1f(a)nnf(a)。 f(a)y=lnf(x)在a点的导数，所以其值为注：特殊值代入法与排除法。 三、连续函数性质 甲乙两人百米赛跑成绩一样，那么 A甲乙两人每时刻的瞬时速度必定一样 B甲乙两人每时刻的瞬时速度都不一样 C甲乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样 * D甲乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样 注：排除法。 四、极限运算 14 GCT考试网 QQ群：31849306 1极限lim2limsinax= (b0) x0sinbx1x2x1+ = ex-e-x-2x3极限lim = x0x-sinx五、导数运算 1设函数y=eax，则y(n)= 2设函数y
28、=ln( 1+x2)，则y(0)= 3如图，f(x),g(x)是两个逐段线性的连续函数，设u(x)=f(g(x)，则u(1)的值为 A3* 4B-y 6 3 4 C-1 12 D1 12f(x) g(x) x 分析：由于u(1)=f(g(1)g(1)，g(1)=3,g(1)=-3,f(g(1)=f(3)=-1 2 3 4 5 6 7 8 1，所以4u(1)=3 4六、导数应用 21设f(x)=0t(t-1)dt，则f(x)的极值点的个数是 xA0 B1* 2C2 D3 2方程xA1 =xsinx+cosx的实根个数是 C3 D4 B2* 2如下不等式成立的是 15 GCT考试网 QQ群：318
29、49306 A在(-3,0)区间上，ln3-xln(3+x)* C在(0,+)区间上，ln3-xln(3+x) D在0,+)区间上，ln3-x0(x-3)，又3+x3+xf(0)=0，所以在(-3,0)区间上，有f(x)ln(3+x) 3函数xxf(x)=在(-,+)上有 (x-1)(x-2)B1条垂直渐进线，2条水平渐进线 D2条垂直渐进线，2条水平渐进线 x-A1条垂直渐进线，1条水平渐进线； C 2条垂直渐进线，1条水平渐进线； x1x2分析：因为limf(x)=,limf(x)=,limf(x)=1,limf(x)=-1，所以曲线x+y=f(x)在(-,+)上有2条垂直渐进线，2条水平
30、渐进线即正确选项为D 4若f(x)的二阶导数连续，且limf(x)=1，则对任意常数a必有x+x+ limf(x+a)-f(x)=A. a B.1 C.0 D. af(a) 分析：根据微分中值定理可知，存在介于x和x+a之间的x使得f(x+a)-f(x)=f(x)ax+由于x+limf(x)=1，所以limf(x+a)-f(x)=limf(x)a=a即正确选项为A x+注：特殊值代入法。 x(x-1)2,0x1,5曲线y=在区间内有。 22(x-1)(x-2),1x2A. 2个极值点，3个拐点 B. 2个极值点，2个拐点 C. 2个极值点，1个拐点 D. 3个极值点，3个拐点 分析：根据 3(
31、x-1)2+2(x-1),0x1, y=23(x-1)-2(x-1),1x216 GCT考试网 QQ群：31849306 易知x=由于 15,x=分别是函数的极大值点和极小值点。 336(x-1)+2,0x1, y=6(x-1)-2,1x2且y在x=1不存在，易判断经过拐点。 6设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r，在正圆锥的体积最大时，=。 24,1,三点时二阶导数都变号，所以这三点都是函数的33rh12 B. 1 C. 2 D. 3 211dV1222=p(52-3h2)=0得分析：圆锥体积为 V=prh=ph(5-h)，所以由33dh32550r222h2=，从而r=5-h=，故=
32、2。 33hA. 7如右图，曲线P=f(t)表示某工厂十年期间的产值变化情况，设f(t)是可导函数，从图形上可以看出该厂产值的增长速度是。P P=f(t) 0 2 5 10 t(年) A. 前两年越来越慢，后五年越来越快 B前两年越来越快，后五年越来越慢 C前两年越来越快，后五年越来越快 D前两年越来越慢，后五年越来越慢 分析：由图可知，前两年P=f(t)的图像上凸，二阶导小于零，一阶导单减；后五年P=f(t)的图像下凸，二阶导大于零，一阶导单增。 七、积分运算 11如果函数f(x)在区间0,1上连续，且0f(x)dx=a，则011xf(x)dx= 17 GCT考试网 QQ群：31849306
33、 x2e2+lnxdx=p+C 3设I=0sin(cosx)dx，则 AI=1 BI0 C0I0，则在0，a上方程x04a2-t2dt+x14a-t22adt=0根的个数为A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 分析：记f(x)=x04a2-t2dt+x14a-ta22adt，则 f(0)=014a2-t2adt0， 所以 f(x)=0 至少有一个根。 18 GCT考试网 QQ群：31849306 又因为 f(x)=八、积分应用 4a2-x2+14a-x220，所以f(x)=0只有一个根。 1过点(p,sinp)作曲线y=sinx的切线，设该曲线与切线及y轴所围成的面积为，所以 S1，曲线与直线x=p及x轴所围成的面积为S2，则S21Alim= 3p0+S1+S2S21Blim= 2p0+S1+S2S2Dlim=1* +S+Sp01212pcosp+cosp-1 2S22Clim= 3p0+S1+S2分析：由于S1=pp0(sinp+cosp(x-p)-sinxdx=psinp-S2=sinxdx=1-cosp 0p0lim+S2=lim+S1+S2p01-cospsinp=lim+=1 p01212psinp-pcospsinp+psinp222如图，抛物线y=(2-1)x2把曲线y=x(b-x)(b0)与x轴所构成的区域面积分为SA与SB
