《微积分》内容提要复习题原.docx

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1、微积分内容提要复习题原微积分 内容提要、基本要求及补充习题 五、定 积 分 、内容提要 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 变上限定积分定义的函数及其导数 牛顿莱布尼兹公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 广义积分 定积分的应用 、基本要求 1 了解定积分的的概念和基本性质，了解定积分中值定理； 2 理解变上限定积分定义的函数并会求它的导数，掌握牛顿莱布尼兹公式，以及定积分的换元积分法与分部积分法。 3会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解简单的经济应用问题。 3 了解广义积分的概念，会计算广义积分。 、补充习题 一、填空题 1、(034)积分(x+x)e

2、-11-xdx= 。2(1-2e) sinxx-12、(993)设f(x)有一个原函数+x，则pxf(x)dx= 。2p4p-1 3、(003)积分dx2-xe+e4e11ln2- 4、(963)曲线y=x+,x=2及y=2所围图形面积为 。x21= 。p5、设f(x)连续，则 ddxx0tf(x-t)dt 。xf(x) 2221 6、dxdx02sin(x-t)dt= 。sinx 2x2xe7、(043)设f(x)=-12x-x12,1212，则1f(x-1)dx 。-22128、 二、选择题： 1x211exdx= 。 s1、 (871)设f(x)为已知连续函数，I=ttf(tx)dx 其

3、中t0,s0，则I之值(0)。D A) 依赖于s和t ；B) 依赖于s、t、x; C) 依赖于t、x，不依赖于s； D) 依赖于s，不依赖于t。 2、 (953)曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围图形之面积为 21()C 21A)-x(x-1)(2-x)dx B) -x(x-1)(2-x)dx-x(x-1)(2-x)dx 00C) -x(x-1)(2-x)dx+0121x(x-1)(2-x)dx D) 20x(x-1)(2-x)dx x01x=03、 (023)设f(x)=0且F(x)=-1x0x0f(t)dt，则B A)F(x)在x=0处不连续 ；B)F(x)在(-,+)连续，但在x=

4、0处不可导； C) F(x)在(-,+)可导,且F(x)=f(x) D) F(x)在(-,+)可导,但不一定F(x)=f(x) 4、 (963)设f(x)、g(x)在a,b上连续，且g(x)f(x)m(m为常数），则曲线及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体y=g(x),y=f(x),x=a之体积为：B A) bap2m-f+gf-gdx B) bap2m-f-gf-gdx 2 C) bapm-f+gf-gdx D) bapm-f-gf-gdx 5、(064)设函数f(x)与g(x)在0,1上连续，且f(x)g(x)，则对任何c(0,1)( ) A) C) 三、解答题 1、 (963

5、)计算2、 (923)计算ln2c12f(t)dtc12g(t)dt B) c12f(t)dtc12g(t)dt 1cf(t)dt1cg(t)dt D) 1cf(t)dt1cg(t)dt 01-e-2xdx -32+ln(2+3) p01-sinxdx 4(2-1) x1+cos2xxe-x-xp3、 (933)计算40dx p8-ln244、 (964)计算5、 (004)计算+0(1+e)2dx ln2 +dxe1+x1+e3-xx0 S 为x轴与曲线y=F(x)之间的面积，对t0,S1(t为矩形：)-txt,0yF(t)之面积，求S(t)=S-S1(t)之表达式，并求S(t)之最小值。

6、S(t)=1-2te-2t;1-e-1 14、(013)已知抛物线y=px2+qx(p0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S，问p和q为何值时，S达到最大值？求此最大值。 答案：p=-45,q=3;S=2253215、(933)设平面图形A由x2+y22x与yx所确定，求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体之体积。 答案：p22-2p316、(023)设D1由抛物线y=2x2和直线x=a,x=2及y=0所围成的平面区域， D2由抛物线y=2x和直线x=a,y=0所围成的平面区域。(0a0, I=a,0x1f(x)=g(x)=，而D表示全平面，则 0,其它

7、Df(x)g(y-x)dxdy= 。(a2) yxzz= 。,)，则-yxyxy 11、设f(u,v)是二元可微函数，z=f(-y(1+x)x2f1+1+xyf2) 1222 12、设函数f(u)可微，且f(0)=dz，则z=f(4x-y)在点(1,2)处的全微分(1,2)= 。(4dx-2dy) 二、选择题： 6 1、 (034)设可微函数f(x,y)在点(x0,yo)处取得极小值，则下面结论正确的为：(A) (A)f(x0,y)在y=y0处的导数等于零; (B) f(x0,y)在y=y0处的导数大于零; (C) f(x0,y)在y=y0处的导数小于零; (D) f(x0,y)在y=y0处的

8、导数不存在。 2、 (993)设f(x,y)连续，且 f(x,y)=xy+Df(u,v)dudv， 2其中D是由y=0,y=x,x=1所围成的区域，则f(x,y)等于(C) 182(A) xy; (B) 2xy; (C) xy+3、 (053)I3=; (D) xy+1. ，I2=设I1=22Dcosx+yds2Dcos(x+y)ds22， cos(xD+y)ds，其中D=(x,y)x2+y21，则：(A) 2(A)I3I2I1; (B) I1I2I3; (C) I2I1I3; (D) I3I1I2. p4、 (964)累次积分dq20cosq0f(rcosq,rsinq)rdr可以写成(D)

9、 (A)dy01y-y20f(x,y)dx; (B) 101dy1-y20x-x2f(x,y)dx; f(x,y)dy (C) 10dyf(x,y)dx; (D) 010dx0(x,y)0， 5、(063)设f(x,y)与j(x,y)均为可微函数，且j已知(x0,y0)是f(x,y)y在约束条件j(x,y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是(D) A).若fx(x0,y0)=0, 则 fy(x0,y0)=0, B). 若fx(x0,y0)=0, 则 fy(x0,y0)0, C). 若fx(x0,y0)0, 则 fy(x0,y0)=0, D). 若fx(x0,y0)0, 则 fy(x0,y0)

10、0, 6、(074)设函数f(x,y)连续，则二次积分pdx2p1sinxf(x,y)dy等于(B) A). C). 1010dypp+arcsinyp+arcsinyf(x,y)dx B). 1010dypp-arcsinyf(x,y)dx f(x,y)dx dyp2f(x,y)dx D).dypp-arcsiny2 7 三、解答题： 1、 (024)设函数u=f(x,y,z)有连续的偏导数，且z=z(x,y)由方程xex-ye(x+1)e(z+1)e2y=zezxz所确定，求du.(fx+fz2、 (004)已知z=uv,u=lnu2v2)dx+(fy-fz2(y+1)e(z+1)eyz)

11、dy x+y,v=arctanyx，求dz. (x+y(xvu-ylnu)dx+(yvu+xlnu)dy) 3、 (013)设函数u=f(x,y,z)有连续的一阶偏导数，又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定：eyxxy-xy=2,xex=x-zsintt0dt，求dudx. (fx-fy+1-e(x-z)sin(x-z)fz) 224、 (033)设函数z=f(u,v)有二阶连续偏导数，且满足22fu2+fv2=1，又 g(x,y)=f(xy,12(x-y)，求22gx2+gy2.(x+y) 22yx5、 (053)设函数u=f(u)有二阶连续导数，且g(x,y)=f+yf，求

12、xy2xgx22-y2gy22. (2yyf) xx26、 (905)求函数z=f(x,y)=xy(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的闭区域上的极值、最大值与最小值。 (在(2,1)处取得极大值4; 在(2,1)处取得最大值4; 在(4,2)处取得最小值-64 7、 (054)求函数f(x,y)=x-y+2在D=(x,y)x+值。 (得最大值3; 在(4,2)处取得最小值-2) 1222y241上的最大值、最小8、(013)二重积分y1+xeD2(x+y)22其中D是由直线y=x,y=-1及x=1dxdy之值，8 所围成的区域。(-23) 9、(004)设x2y,1x2,0yx

13、，而D=(x,y)x2+y22x，f(x,y)=0,其它f(x,y)dxdy. ( 7920求 D) 10、(024)设f(x,y)连续，且 22f(x,y)=1-x-y-8pDf(u,v)dudv， 43p其中D：x2+y2y,x0，求f(x,y)。 (1-x-y-11、(033)二重积分eD222(p2-23) -(x+y-p)22sin(x+y)dxdy之值，其中 22D=(x,y)x+y2p。(p2(1+e) 22p12、(043)求(x+yD22+y)dxdy，其中D是由圆x+y=4和(x+1)+y22=1所围成的区域。( 163p+329) 13、(053)计算二重积分x+y-1d

14、xdy，其中D=(x,y)0x1,0y1。 D22( 14、(063)计算二重积分Dp4-13) y-xydxdy，其中D是由直线y=x,y=1,x=0所围城的2平面区域. (12) 15、设二元函数f(x,y)=x,1x+y222x+y1;,1x+y2.计算二重积分f(x,y)dxdy，其中D=(x,y)x+y2 D ( 13+42(ln2-1) 9 七、无穷级数 、内容提要 常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p级数的收敛性 正项级数收敛性的判别法 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼兹定理 幂级数及其收敛半径、收敛区间和

15、收敛域幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 、基本要求 1了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念。 2掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件。掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。 3了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系，掌握交错级数的莱布尼兹判别法。 4会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域。 5了解幂级数在其收敛区间内的基本性质，会求简单幂级数在收敛区间内的和函数。 5 掌握ex、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)a的麦克劳林展开式，会用它们将

16、一些简单函数间接展开成幂级数 、补充习题 一、填空题 1. 设un的部分和为Sn=n=1n2n-1, 则(un+un+1+un+2)=_ (-n=116) 2. 级数n=0n+1n!n2n=_ (2e) 3. 级数n=1=_ (2) p 4. 已知 un=40tanxdx, 则n=1n1n(un+un+2)=_ (1) 10 5.(924)级数n=1(x-2)n4n2n的收敛域为_ ( (0,4) ) 二. 选择题 1. 若级数(u2n+u2n-1)收敛, 则下列结论中成立的为: (B) n=1n A) un=1必收敛; B) un=1n未必收敛; C) limun=0; D) nun=1n发

17、散. 2. 下列各项中正确的是: (A) 2n2n A) un=1, vn=1均收敛, 则(un+vn)2也收敛; n=12 B) 若unvn收敛, 则un, n=1n=1vn=12n均收敛; C) 若正项级数un发散, 则unn=11n; D) 若un收敛, 且unvn. (n=1,2L) 则vn也收敛. n=1n=13.(914) 设0un0为常数,则级数: (C) A) 发散; B) 条件收敛; C) 绝对收敛; D) 收敛性与a有关 5. 设k0, 则(-1)nn=1k+nn2 (B) A) 发散; B) 条件收敛; C) 绝对收敛; D) 收敛性与k值有关. 11 6. 已知级数(n

18、=1nan+1n, 则下述结论中不正确的为: (D) ) (a0) A) 当a1时发散; B) 当a0. (n=1,2L)若an发散, n=12n-1(-1)n=1n-1an收敛, 则有: (D) 2n A) an=1收敛, an=12n发散; B) an=1收敛, an=12n-1发散; C) (an=12n-1+a2n)收敛; D) (an=12n-1-a2n)收敛. 9. (033)设pn=an+an2, qn=an-an2, n=1,2L, 则下列命题正确的为: (B) A) 若an条件收敛, 则pn与qn均收敛; n=1n=1n=1 B) 若an绝对收敛, 则pn与qn均收敛; n=

19、1n=1n=1 C) 若an条件收敛, 则pn, n=1n=1qn=1n的敛散性不确定; D) 若an绝对收敛, 则pn, n=1n=1qn=1n的敛散性不确定. 10. 若级数(-1)n=1n-1(x-a)nn 当x0时发散,而在x=0处收敛,则a= (B) A) 1; B) -1; C) 2 ; D)-2. 3xn!nn11. 对于任意x,有limn= (A) 12 A) 0; B) 1; C) 12、(043)设有以下命题： 12 ; D) . 1)、若(a2n-1+a2n)收敛，则an收敛； n=1n=1 2)、若an收敛，则an+1000收敛； n=1n=13）、若liman+1an

20、n1，则an发散； n=14）若(an+bn)收敛，则an，bn都收敛。 n=1n=1n=1则以上命题正确的是 A).1)2) B).2)3) C).3)4) D).1)4) 13、(063)若级数an收敛，则级数 n=1n A). n=1an收敛； B) (-1)n=1an收敛, C). an=1nan+1收敛; D). n=1an+an+12 收敛 三. 解答题: 1. 求下列幂级数的收敛域及其和函数 1) n=0(n-1)n+12x (-1,1 ) n4x-3(1-x)2x(1-x)32-x4In(1-x) )2) n=1 ) n(n+1)x (-1,1n) 3) n=1(-1)n-12

21、n-1x2n-1 (-1,1 arctaxn )2. (053)求(n=112n+1p-1)x2n在区间(-1,1)内的和函数S(x). 3. (003)In=40sinxcosxdx n=0,1,L+2, 求In (In(2n=0n2 ) 13 4. (013)已知fn(x)满足 fn(x)=fn(x)+xn-1ex (n为正整数) 且fn(1)=en. 求函数项级数fn(x)之和. (-exIn(1-x) ( -1,1)n=1) 5、 (033)幂级数1+(-1)n=1nx2n2n ( x1 )的和函数f(x)及其极值. (f(x)=1+12In(1+x) x1 极大值f(0)=1 ) 2

22、三、 (063)求幂级数n=1(-1)n-1n(2n-1)x2n+1的收敛域及其和函数 四、将f(x)=In(1-x-2x2)展成x的幂级数, 并指出其收敛域. ( n=1(-1)n+1-2nnx -n11,) ) 22五、 (073)将f(x)=1x-3x-42展成x-1的幂级数, 并指出其收敛域. 六、将下列函数展开成指定点的Taylor级数: 1) f(x)=sinx在x=2) f(x)=xx-5x+62p4处 在x=5处 x8 七、 (043)设级数x424+x6246+2468+L (-x0，limf(x)=1.且满足 x+ 16 lim(h0f(x+hx)f(x)1h1x)=e 求

23、f(x). (e-1x) 14. (033)设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x)g(x)在(-,+)内满足以下条件:f(x)=g(x),g(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex (1) 求F(x)所满足的一阶微分方程; (F(x)+2F(x)=4e2x) (2) 求出F(x)的表达式. (e2x-e-2x) 15. (022)求微分方程xdy+(x-2y)dx=0的一个解y=y(x),使得由曲线y=y(x)与直线x=1,x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小. (y=x-75124x) 216.(034) 设y=f(x)是第一象限内连接点A

24、(0,1),B(1,0)的一段曲线,M(x,y)为该曲线 上任意一点,点C为M在x轴上的投影,O为坐标原点.若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为x36+13.求f(x)的表达式. (f(x)=(x-1)2) 17.连续函数f(x)满足f(x)=3x0t2x3x2xfdt+e，求f(x) (f(x)=3e-2e) 318.(973) 设f(x)在0,+上连续且 4pt2f(t)=e+22f(212x+y)dxdy 求f(x) (f(x)=(4px+1)e2224px2) x+y4t-2x19、(044)设f(u,v)具有连续偏导数，且满足fu(u,v)+fv(u,v)=uv,求y(x)=ef(x,x) 所满足的一阶微分方程，并求其通解。(y+2y=xe2-2x;y=(x3