《高等数学同济五》讲稿WORD第05章 定积分.docx

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1、高等数学同济五讲稿WORD第05章 定积分高等数学教案 第五章 定积分 第五章 定积分 教学目的： 1、 理解定积分的概念。 2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。 4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿莱布尼茨公式。 教学难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形

2、的面积 曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间a, b中任意插入若干个分点 a=x0 x1 x2 xn-1 xn =b, 把a, b分成n个小区间 x0, x1, x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 它们的长度依次为Dx1= x1-x0

3、 , Dx2= x2-x1 , , Dxn = xn -xn-1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. 在每个小区间 xi-1, xi 上任取一点x i , 以xi-1, xi 为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2, , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即 Af (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+ + f (x n )Dxn=f(xi)Dxi. i=1n 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯1 高

4、等数学教案 第五章 定积分 形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记 l=maxDx1, Dx2, , Dxn , 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l0. 所以曲边梯形的面积为 nA=liml0i=1f(xi)Dxi. 2. 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1, T 2上t的连续函数, 且v(t)0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程: 我们把时间间隔T 1, T 2分成n 个小的时间间隔Dti , 在每个小的时间间隔Dti内,

5、物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点x i的速度v(t i), 物体在时间间隔Dti内 运动的距离近似为DSi= v(t i) Dti . 把物体在每一小的时间间隔Dti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 , T 2内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔T 1 , T 2内任意插入若干个分点 T 1=t 0 t 1 t 2 t n-1 t n=T 2, 把T 1 , T 2分成n个小段 t 0, t 1, t 1, t 2, , t n-1, t n , 各小段时间的长依次为 Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1, , Dt

6、n =t n -t n-1. 相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为 DS 1, DS 2, , DS n. 在时间间隔t i-1, t i上任取一个时刻t i (t i-1t i t i), 以t i时刻的速度v(t i)来代替t i-1, t i上各个时刻的速度, 得到部分路程DS i的近似值, 即 DS i= v(t i) Dt i (i=1, 2, , n). 于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即 nSv(ti)Dtii=1; 求精确值: 记l = maxDt 1, Dt 2, , Dt n, 当l0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路

7、程 nS=liml0v(ti)Dti. i=1 设函数y=f(x)在区间a, b上非负、连续. 求直线x=a、x=b、y=0 及曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积. (1)用分点a=x0x1x2 xn-1xn =b把区间a, b分成n个小区间: x0, x1, x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 记Dxi=xi-xi-1 (i=1, 2, , n). (2)任取x ixi-1, xi, 以xi-1, xi为底的小曲边梯形的面积可近似为 2 高等数学教案 第五章 定积分 f(xi)Dxi (i=1, 2, , n); 所求曲边梯形面积A的近似值为 n Af(xi)Dx

8、i. i=1 (3)记l=maxDx1, Dx2, , Dxn , 所以曲边梯形面积的精确值为 n A=lim l0i=1f(xi)Dxi. 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1, T 2上t的连续函数, 且v(t)0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . (1)用分点T1=t0t1t2 t n-1tn=T2把时间间隔T 1 , T 2分成n个小时间 段: t0, t1, t1, t2, , tn-1, tn , 记Dti =ti-ti-1 (i=1, 2, , n). (2)任取titi-1, ti, 在时间段ti-1, ti内物体所经过的路程可近似为v(ti)Dti

9、 (i=1, 2, , n); 所求路程S 的近似值为 n Sv(ti)Dti. i=1 (3)记l=maxDt1, Dt2, , Dtn, 所求路程的精确值为 n S=lim 二、定积分定义 l0v(t)Dtii=1i. 抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 在a, b中任意插入若干个分点 a =x0 x1 x2 xn-1 xn=b, 把区间a, b分成n个小区间 x0, x1, x1, x2, , xn-1, xn , 各小段区间的长依次为 Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1, ,

10、 Dxn =xn -xn-1. 在每个小区间xi-1, xi上任取一个点x i (xi-1 x i xi), 作函数值f (x i)与小区间长度Dxi的乘积 3 高等数学教案 第五章 定积分 f (x i) Dxi (i=1, 2, , n) , 并作出和 nS=f(xi)Dxii=1. 记l = maxDx1, Dx2, , Dxn, 如果不论对a, b怎样分法, 也不论在小区间xi-1, xi上点x i 怎样取法, 只要当l0时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间a, b上的定积分, 记作f(x)dx, a即 af(x)dx=limf(xi)Dxi.

11、l0i=1bnb其中f (x)叫做被积函数, f (x)dx叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, a, b叫做积分区间. 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 用分点a=x0x1x2 xn-1b时, f(x)dx=-f(x)dx. ab 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx. aaa 证明:f(x)g(x)dx=limf(xi)g(xi)Dxi al0i=1ni=1ni=1bbabbbbn =limf(xi)Dxilimg(xi)Dxi l0l0 =f(x)dxg(x)dx. aa

12、性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 kf(x)dx=kf(x)dx. aa 这是因为akf(x)dx=limkf(xi)Dxi=klimf(xi)Dxi=kaf(x)dx. l0l0i=1i=1bnnbbbbb 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即 af(x)dx=af(x)dx+cf(x)dx. 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c的相对位置如何总有等式 af(x)dx=af(x)dx+cf(x)dx 成立. 例如, 当abc时, 由于 af(x)dx=af(x)dx+bf(x)dx, 于

13、是有 af(x)dx=af(x)dx-bf(x)dx=af(x)dx+cf(x)dx. 6 bcccbcbcbcbbcb高等数学教案 第五章 定积分 性质4 如果在区间a b上f (x)1 则 1dx=dx=b-a. aa 性质5 如果在区间a, b上 f (x)0, 则 f(x)dx0(ab). a 推论1 如果在区间a, b上 f (x) g(x) 则 f(x)dxg(x)dx(ab). aa 这是因为g (x)-f (x)0, 从而 g(x)dx-f(x)dx=g(x)-f(x)dx0, aaa所以 f(x)dxg(x)dx. aa 推论2 |f(x)dx|f(x)|dx(ab). aa

14、 这是因为-|f (x)| f (x) |f (x)|, 所以 -|f(x)|dxf(x)dx|f(x)|dx, aaa即 |f(x)dx|f(x)|dx| . aa 性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值, 则 m(b-a)af(x)dxM(b-a)(ab). 证明 因为 m f (x) M , 所以 amdxaf(x)dxaMdx, 从而 m(b-a)af(x)dxM(b-a). 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点x , 使下式成立: af(x)dx=f(x)(b-a). 这个公式叫做积

15、分中值公式. 证明 由性质6 m(b-a)af(x)dxM(b-a), 7 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb高等数学教案 第五章 定积分 各项除以b-a 得 b m1f(x)dxM, b-aa再由连续函数的介值定理, 在a, b上至少存在一点x , 使 b f(x)=1f(x)dx, b-aa于是两端乘以b-a得中值公式 f(x)dx=f(x)(b-a). a 积分中值公式的几何解释: 应注意: 不论ab, 积分中值公式都成立. 8 b高等数学教案 第五章 定积分 5. 2 微积分基本公式 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻

16、所经过的路程为S(t), 速度为v=v(t)=S(t)(v(t)0), 则在时间间隔T1, T2内物体所经过的路程S可表示为 S(T2)-S(T1)及Tv(t)dt, 1T2即 Tv(t)dt=S(T2)-S(T1). 1T2 上式表明, 速度函数v(t)在区间T1, T2上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间T1, T2上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间a, b上连续, 并且设x为a, b上的一点. 我们把函数f(x)在部分区间a, x上的定积分 f(x)dx a称为积分上限的函数. 它是区间a, b上的函数, 记为

17、 F(x)=f(x)dx, 或F(x)=f(t)dt. aa 定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数 F(x)=f(x)dx a在a, b上具有导数, 并且它的导数为 F(x)=ddxxxxxaf(t)dt=xf(x)(ax0, 则同理可证F+(x)= f(a); 若x=b , 取Dx0. 证明函数F(x)=在(0, +)内为单调增加函数. 证明: ddxx00tf(t)dt0xxf(t)dt0x tf(t)dt=xf(x), xddx0f(t)dt=xxf(x). 故 F(x)=xf(x)f(t)dt-f(x)tf(t)dt0(f(t)dt)0x=f(x)(x-t)f(t)d

18、t(f(t)dt)00x22. 11 高等数学教案 第五章 定积分 按假设, 当0t0, (x-t)f (t) 0 , 所以 0xf(t)dt0, 0(x-t)f(t)dt0, x从而F (x)0 (x0), 这就证明了F (x) 在(0, +)内为单调增加函数. 例7. 求limx0cosxe1-t2dtx2. 解: 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则, limcosxx1e-tdtx22limx0-cosx1e-tdt22x0xsinxe-cos=limx02xcosx2x=12e. 提示: 设F(x)=e-tdt, 则F(cosx)=11ddx2e-tdt. 21cosxe-tdt=

19、222ddduF(cosx)=F(u)=e-u(-sinx)=-sinxe-cosx. dxdudx12 高等数学教案 第五章 定积分 5. 3 定积分的换元法和分部积分法 一、换元积分法 定理 假设函数f(x)在区间a, b上连续, 函数x=j(t)满足条件: (1)j(a )=a , j(b)=b; (2)j(t)在a, b(或b, a)上具有连续导数, 且其值域不越出a, b, 则有 abf(x)dx=fj(t)j(t)dt. ab 这个公式叫做定积分的换元公式. 证明 由假设知, f(x)在区间a, b上是连续, 因而是可积的; f j(t)j(t)在区间a, b(或b, a)上也是连

20、续的, 因而是可积的. 假设F(x)是f (x)的一个原函数, 则 baf(x)dx=F(b)-F(a). 另一方面, 因为Fj(t)=F j(t)j(t)= f j(t)j(t), 所以Fj(t)是f j(t)j(t)的一个原函数, 从而 babfj(t)j(t)dt=Fj(b )-Fj(a )=F(b)-F(a). 因此 f(x)dx=fj(t)j(t)dt. aa 例1 计算a2-x2dx(a0). 0 解 a-xdx 022a令x=asintab 2acostacostdt 0pa22(1+costdt=2t)dt =a202cos02p2pa211 =t+sin2t02=pa2. 2

21、24p提示: a2-x2=a2-a2sin2t=acost, dx=a cos t . p当x=0时t=0, 当x=a时t=p2. 例2 计算02cos5xsinxdx. 解 令t=cos x, 则 cosxsinxdx=-02cos5xdcosx 205pp令coxs=t01111 -t5dt=t5dt=t6=. 10606提示: 当x=0时t=1, 当x=p2时t=0. 13 高等数学教案 第五章 定积分 或 cosxsinxdx=-2cos5xdcosx 0205pp1p11 =-1co6sx2=-co6s+co6s0=. 066266p 例3 计算sin3x-sin5xdx. 0 解

22、sin3x-sin5xdx=sin2x|cosx|dx 00 =2sin2xcosxdx-psin2xcosxdx 02ppp3p3p3 =si20p32nxdsinx-si2pp32nxdsinx =2sin2x2-2sin2xp=2-(-2)=4. 0p5p5552555提示: sinx-sinx=sinx(1-sinx)=sin353232x|cosx|. pp 在0, 上|cos x|=cos x, 在, p上|cos x|=-cos x. 224 例4 计算0x+2dx. 2x+14令 解 x+2dx 02x+1=t2x+1 31t2-1+212tdt=t21(t332+3)dt 1

23、1127122 =t3+3t1=(+9)-(+3)=. 323233t2-1提示: x=, dx=tdt; 当x=0时t=1, 当x=4时t=3. 2 例5 证明: 若f (x)在-a, a上连续且为偶函数, 则 -af(x)dx=20f(x)dx. 证明 因为-af(x)dx=-af(x)dx+0f(x)dx, 而 -af(x)dx a0令x=-ta0aaa -f(-t)dt=aa0a0f(-t)dt=f(-x)dx, 0a所以 -af(x)dx=0f(-x)dx+0f(x)dx =0f(-x)+f(x)dx=-a2f(x)dx=20f(x)dx. 讨论: 14 aaaa高等数学教案 第五章

24、 定积分 若f(x)在-a, a上连续且为奇函数, 问f(x)dx=？ -a 提示: 若f (x)为奇函数, 则f (-x)+f (x) =0, 从而 f(x)dx=f(-x)+f(x)dx=0. -a0 例6 若f (x)在0, 1上连续, 证明 (1)2f(sinx)dx=2f(cosx)dx; 00 (2)xf(sinx)dx= pf(sinx)dx. 020ppaaapp 证明 (1)令x=p-t, 则 20 02f(sinx)dx=-pfsin(p-t)dt 22px)dx. =fsin(-t)dt=02f(cos2 (2)令x=p-t, 则 20ppp xf(sinx)dx=-(p-t)fsin(p-t)dt 0p =(p-t)fsin(p-t)dt=(p-t)f(sint)dt 00 =pf(sint)dt-tf(sint)dt 00 =p0f(sinx)dx-xf(sinx)dx, 0 p所以