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1、高等数学同济五讲稿WORD第04章 不定积分高等数学教案 第四章 不定积分 教学目的： 第四章 不定积分 1、 理解原函数概念、不定积分的概念。 2、 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法与分部积分法。 3、 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。 4. 1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一xI, 都有
2、 F (x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. 例如 因为(sin x)=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x (1, +)时, 因为(x)=1, 所以x是1的原函数. 2x2x 提问: cos x和1还有其它原函数吗？ 2x 原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x I 都有 F (x)=f(x). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函
3、数, F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数. 第二, f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则 F(x)-F(x)=C (C为某个常数). 高等数学课程建设组1 高等数学教案 第四章 不定积分 定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作 f(x)dx. 其中记号称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即
4、 f(x)dx=F(x)+C. 因而不定积分f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 cosxdx=sinx+C. 因为x是1的原函数, 所以 2x 1dx=x+C. 2x1 例2. 求函数f(x)=的不定积分. x 解：当x0时, (ln x)=11, x dx=lnx+C(x0); x 当x0时, ln(-x)=111(-1)=, -xx dx=ln(-x)+C(x0时, 1a2-x2dx=1a1x1-2adx=1x1-2adxx=arcsin+C. aa 即 xdx=arcsin+C. aa2-x211111111-)dx=d
5、x-dx 例9. 22dx=(2ax-ax+a2ax-ax+ax-a111d(x-a)-d(x+a) =2ax-ax+a11x-a|+C. =ln|x-a|-ln|x+a|+C=ln|2a2ax+a11x-a|+C. 即 22dx=ln|2ax+ax-adxdlnx1= 例10. x(1+2lnx)1+2lnx21+2lnxd(1+2lnx)1 =ln|1+2lnx|+C. 2高等数学课程建设组7 高等数学教案 第四章 不定积分 例11. e3xxdx=2e3xdx=23e3xd3x =2e33x+C. 含三角函数的积分: 例12. sin3xdx=sin2xsinxdx=-(1-cos2x)
6、dcosx 1 =-dcosx+cos2xdcosx=-cosx+co3sx+C. 3 例13. sin2xcos5xdx=sin2xcos4xdsinx 22x(1-sinx)2dsinx =sin46nx-2sinx+sinx)dsinx =(si221357x-sinx+sinx+C. =1sin357 例14. cos2xdx=1+cos2xdx=1(dx+cos2xdx) 2211112x+C. =dx+cos2xd2x=x+sin24241 例15. cos4xdx=(cos2x)2dx=(1+cos2x)2dx 21 =(1+2cos2x+cos22x)dx 4131 =(+2c
7、os2x+cos4x)dx 4221312x+sin4x)+C =(x+sin4283114x+C. =x+sin2x+sin84321 例16. cos3xcos2xdx=(cosx+cos5x)dx 2115x+C. =sinx+sin2101dx= 例17. cscxdx=sinx1dx xx2sincos22高等数学课程建设组8 高等数学教案 第四章 不定积分 dx22 =dtanx2=xtancos2x2=ln|tanx|+C=ln |csc x -cot x |+C . x2tan2 即 cscxdx=ln |csc x -cot x |+C . 例18. secxdx=csc(x
8、+p)dx=ln|csc(x+ p)-cot(x+ p)|+C 222 =ln |sec x + tan x | + C. 即 secxdx=ln |sec x + tan x | + C. 二、第二类换元法 定理2 设x =j(t)是单调的、可导的函数, 并且j(t)0. 又设f j(t)j(t)具有原函数F(t), 则有换元公式 -1f(x)dx=fj(t)j(t)dt=F(t)=Fj-1(x)+C. 其中t=j(x)是x=j(t)的反函数. 这是因为 Fj-1(x)=F(t)dt=fj(t)j(t)1=fj(t)=f(x). dxdxdt 例19. 求a2-x2dx(a0). 解: 设x
9、=a sin t , - pt p, 那么a2-x2=a2-a2sin2t=acost, 22dx =a cos t d t , 于是 a2-x2dx=acostacostdt 11stdt=a2(t+sin2t)+C. =a2co224因为t=arcsinxaxa2-x2, sin2t=2sintcost=2, 所以 aaa2x111arcsin+xa2-x2+C. a-xdx=a(t+sin2t)+C=2a224222 解: 设x=a sin t , - pt0). 解法一: 设x=a tan t, - pt p, 那么 22x2+a2=a2+a2tan2t=a1+tan2t=a sec
10、t , dx=a sec 2t d t , 于是 因为sect=dxx2+a2=asec2tdt=sectdt= ln |sec t + tan t |+C . asectx2+a2x, tant=, 所以 aadxx+a22x= ln |sec t + tan t |+C=ln(+ax2+a2)+C=ln(x+ax2+a2)+C1, 其中C 1=C-ln a . 解法一: 设x=a tan t, - pt0). 解: 当xa 时, 设x=a sec t (0t p), 那么 2x2-a2=a2sec2t-a2=asec2t-1=a tan t , 于是 dxx2-a2因为tant=asect
11、tantdt=sectdt= ln |sec t + tan t |+C . atantx2-a2x, sect=, 所以 aadxx-a22= ln |sec t + tan t |+C =ln|x+ax2-a2|+C=ln(x+ax2-a2)+C1, 其中C 1=C-ln a . 当xa, 于是 dxx-a22=-duu-a22=-ln(u+u2-a2)+C (x+x2-a2)+C=ln-(x-x2-a2)+C1, =-ln-x-x2-a2=ln+C=ln(-x-x2-a2)+C1, 2a其中C 1=C-2ln a . 综合起来有 dxx-a22=ln|x+x2-a2|+C. 解: 当xa
12、 时, 设x=a sec t (0t p), 那么 2高等数学课程建设组11 高等数学教案 第四章 不定积分 dxx2-a2=asecttant dt=sectdtatantx2-a2)+C axt+tant|+C=ln(+ =ln|seca =ln(x+x2-a2)+C, 其中C 1=C-ln a . 当xa, 于是 dxx2-a2=-duu2-a2=-ln(u+u2-a2)+C -x-x2-a2x-a)+C=ln+C a222 =-ln(-x+ =ln-(x-x2-a2)+C1, 其中C 1=C-2ln a . 提示:x2-a2=a2sec2t-a2=asec2t-1=atant . 提示
13、:tant=x2-a2x, sect=. aa 综合起来有 dxx-a22=ln|x+x2-a2|+C. 补充公式: (16)tanxdx=-ln|cosx|+C, (17)cotxdx=ln|sinx|+C, (18)secxdx=ln|secx+tanx|+C, (19)cscxdx=ln|cscx-cotx|+C, (20)(21)(22)(23)11xdx=arctan+C, 2aaa+x211x-adx=ln|+C,22ax+ax-a21a2-x2dxx+a22dx=arcsin=ln(x+x+C, ax2+a2)+C, 高等数学课程建设组12 高等数学教案 第四章 不定积分 (24
14、) dxx-a22=ln|x+x2-a2|+C. 4. 3 分部积分法 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为 (uv)=uv+uv, 移项得 uv=(uv)-uv. 对这个等式两边求不定积分, 得 uvdx=uv-uvdx, 或udv=uv-vdu, 这个公式称为分部积分公式. 分部积分过程: uvdx=udv=uv-vdu=uv-uvdx= . 例1 xcosxdx=xdsinx=xsinx-sinxdx=x sin x-cos x+C . 例2 xexdx=xdex=xex-exdx=xex-ex+C. 例3 x2exdx=x2dex=x2ex-
15、exdx2 =x2ex-2xexdx=x2ex-2xdex=x2ex-2xex+2exdx =xe-2xe+2e+C =e(x-2x+2 )+C. 例4 xlnxdx=1lnxdx2=1x2lnx-1x21dx 222x2xxxx2 =1x2lnx-1xdx=1x2lnx-1x2+C. 2224 例5 arccosxdx=xarccosx-xdarccosx =xarccosx+x 11-x2dx 1-1=xarccoxs-(1-x2)2d(1-x2)=xarccoxs-1-x2+C. 2111dx 例6 xarctanxdx=1arctanxdx2=x2arctanx-x222221+x11
16、1)dx =x2arctanx-(1-2221+x高等数学课程建设组13 高等数学教案 第四章 不定积分 11 =1x2arctaxn-x+arctaxn+C. 222 例7 求exsinxdx. 解 因为exsinxdx=sinxdex=exsinx-exdsinx =exsinx-excosxdx=exsinx-cosxdex =exsinx-excosx+exdcosx =exsinx-excosx+exdcosx =exsinx-excosx-exsinxdx, 1xdx=ex(sinx-cosx)+C. 所以 exsin2 例8 求sec3xdx. 解 因为 sec3xdx=secx
17、sec2xdx=secxdtanx 2xdx =secxtanx-secxtan =secxtanx-secx(sec2x-1)dx 3xdx+secxdx =secxtanx-sec3xdx, =secxtanx+ln|secx+tanx|-sec13xdx=(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C. 所以 sec2 例9 求In= 解 I1=2dx, (x2+a2)n其中n为正整数. dx1x=arctan+C; 2aax+a 当n1时，用分部积分法, 有 dxxx2 22n-1=22n-1+2(n-1)22ndx (x+a)(x+a)(x+a)高等数学课程建设组14 高等数学
18、教案 第四章 不定积分 =x1a2+2(n-1)-(x2+a2)n-1(x2+a2)ndx, (x2+a2)n-1x(x2即 In-1=+a)22n-12+2(n-1)(In-1-aIn), 于是 In=1x2+(2n-3)In-1. 2a(n-1)(x+a2)n-11aarctanxa+C以此作为递推公式, 并由I1= 例10 求exdx. 即可得In. 解 令x=t , 则 , dx=2tdt. 于 exdx=2tetdt=2et(t-1)+C=2ex(x-1)+C. exdx=exd(x)2=2xexdx =2xde =2xex 2x=2xexx-2exxdx-2e+C=2e(x-1)+
19、C. 第一换元法与分部积分法的比较: 共同点是第一步都是凑微分 令j(x)=u fj(x)j(x)dx=fj(x)dj(x)f(u)du, u(x)v(x)dx=u(x)dv(x) =u(x)v(x)-v(x)du(x). 哪些积分可以用分部积分法？ xcosxdx, xexdx, x2exdx; xlnxdx, arccosexxdx, 3xarctanxdx; sinxdx, 2sec2xdx. xx2u2xedx=edx=edu= , x2exdx=x2dex=x2ex-exdx2= . 高等数学课程建设组15 高等数学教案 第四章 不定积分 4. 4 几种特殊类型函数的积分 一、有理函
20、数的积分 有理函数的形式: 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数: P(x)Q(x)=a0xn+a1xn-1+an-1x+anb0xm+b1xm-1+bm-1x+bm, 其中m和n都是非负整数; a0, a1, a2, , an及b0, b1, b2, , bm都是实数, 并且a00, b00. 当nm时, 称这有理函数是真分式; 而当nm时, 称这有理函数是假分式. 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如 2x3+x+1x(x+1)+11. =x+222x+1x+1x+1 真分式的不定积分: 求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式
21、分解, 然后化成部分分式再积分. dx. 例1 求2x-5x+6x+365x+3dx=-)dx 解 2dx=(x-3x-2(x-2)(x-3)x-5x+665dx-dx=6ln|x-3|-5ln|x-2|+C. =x-3x-2x+3提示: (A+B)x+(-2A-3B)x+3AB=+=, (x-2)(x-3)x-3x-2(x-2)(x-3)A+B=1, -3A-2B=3, A=6, B=-5. 分母是二次质因式的真分式的不定积分: dx. 例2 求2x+2x+3x-212x+21dx=(-32)dx 解 222x+2x+3x+2x+3x+2x+312x+21dx-32dx =22x+2x+3x
22、+2x+3x-21=2d(x2+2x+3)x+2x+32-3d(x+1)(x+1)2+(2)23x+1x2+2x+3)-arctan+C. =1ln(2221(2x+2)-3x-21x-212=2-32提示: 2. 22x+2x+3x+2x+3x+2x+3x+2x+31dx. 例3 求x(x-1)2高等数学课程建设组16 高等数学教案 第四章 不定积分 1111 解 dx=-+dx xx-1(x-1)2x(x-1)2 =1dx-1dx+12dx=ln|x|-ln|x-1|-1+C. x-1xx-1(x-1) 提示: =-11-x+x11=-+22x(x-1)(x-1)2x(x-1)x(x-1)1-x+x1111. +=-+2x(x-1)(x-1)xx-1(x-1
