《高等数学同济五》讲稿WORD第08章 多元函数微分学及其应用.docx

《《高等数学同济五》讲稿WORD第08章 多元函数微分学及其应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学同济五》讲稿WORD第08章 多元函数微分学及其应用.docx（101页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、高等数学同济五讲稿WORD第08章 多元函数微分学及其应用高等数学教案 8 多元函数微分法及其应用 第八章 多元函数微分法及其应用 教学目的： 1、 理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4、 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、 掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、 会求隐函数的偏导数。 7、 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、 了解二元函数的二阶泰勒

2、公式。 9、 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 7、多元函数极值和条件极值的求法。 教学难点： 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数

3、的偏导数； 6、拉格郎日乘数法； 7、多元函数的最大值和最小值。 高等数学课程建设组 高等数学教案 8 多元函数微分法及其应用 8. 1 多元函数的基本概念 一、平面点集n维空间 1平面点集 由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P与有序二元实数组(x, y)之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x, y)与平面上的点P视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面. 二元的序实数组(x, y)的全体, 即R2=RR=(x, y)|x, yR就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质P的点的集合, 称为平面点集, 记作 E=(x, y)| (x,

4、y)具有性质P. 例如, 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C=(x, y)| x2+y2r2. 如果我们以点P表示(x, y), 以|OP|表示点P到原点O的距离, 那么集合C可表成 C=P| |OP|r. 邻域: 设P0(x0, y0)是xOy平面上的一个点, d是某一正数. 与点P0(x0, y0)距离小于d的点P (x, y)的全体, 称为点P0的d邻域, 记为U (P0, d), 即 U(P0,d)=P| |PP0|d或U(P0,d)=(x, y)| (x-x0)2+(y-y0)20为半径的圆的内部的点P (x, y)的全体. o 点P0的去心d邻域, 记作U(P0,

5、 d), 即 o U(P0, d)=P| 0|P0P|0, 点P的去心邻域U(P,d)内总有E中的点, 则称P是E的聚点. 由聚点的定义可知, 点集E的聚点P本身, 可以属于E, 也可能不属于E . 例如, 设平面点集 E=(x, y)|1x2+y22. 2222满足1x+y2的一切点(x, y)都是E的内点; 满足x+y=1的一切点(x, y)都是E的边界点, 它们22都不属于E; 满足x+y=2的一切点(x, y)也是E的边界点, 它们都属于E; 点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点. 开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E为开集. 闭集: 如果点集的余集E c为开集, 则称E为

6、闭集. 开集的例子: E=(x, y)|1x2+y22. 闭集的例子: E=(x, y)|1x2+y22. 集合(x, y)|1x2+y22既非开集, 也非闭集. 连通性: 如果点集E内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E, 则称E为连通集. 区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E=(x, y)|1x2+y21是无界开区域; 集合(x, y)| x+y1是无界闭区域. 2. n维空间 设n为取定的一个自然数, 我们用Rn表示n元有序数组(x1, x2, , xn)的全体所构成的集合, 即 Rn=RR R=(x1, x2, , xn)| xiR, i=1,

7、2, , n. Rn中的元素(x1, x2, , xn)有时也用单个字母x来表示, 即x=(x1, x2, , xn). 当所有的xi (i=1, 2, , n)都为零时, 称这样的元素为R中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R2(或R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而Rn中的元素x=(x1, x2, , xn)也称为Rn中的一个点或一个n维向量, xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量. 特别地, Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量. 为了在集合Rn中的元素之间建立联系, 在Rn中定义线性运算如下: 设x=(x1,

8、x2, , xn), y=(y1, y2, , yn)为Rn中任意两个元素, lR, 规定 x+y=(x1+ y1, x2+ y2, , xn+ yn), lx=(lx1, lx2, , lxn). 这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间. n R中点x=(x1, x2, , xn)和点 y=(y1, y2, , yn)间的距离, 记作r(x, y), 规定 r(x,y)=(x1-y1)2+(x2-y2)2+ +(xn-yn)2. 高等数学课程建设组 no高等数学教案 8 多元函数微分法及其应用 显然, n=1, 2, 3时, 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至. R

9、n中元素x=(x1, x2, , xn)与零元0之间的距离r(x, 0)记作|x|(在R1、R2、R3中, 通常将|x|记作|x|), 即 |x|=22. x12+x2+ xn采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得 |x-y|=(x1-y1)2+(x2-y2)2+ +(xn-yn)2=r(x,y). 在n维空间Rn中定义了距离以后, 就可以定义Rn中变元的极限: 设x=(x1, x2, , xn), a=(a1, a2, , an)R. 如果 |x-a|0, 则称变元x在Rn中趋于固定元a, 记作xa . 显然, xa x1a1, x2a2, , xnan . 在Rn中线性运算和距离的引入

10、, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n(n3)维空间中来, 例如, 设a=(a1, a2, , an)R, d是某一正数, 则n维空间内的点集 U(a, d)=x| x R, r(x, a)0, h0内取定一对值(r , h)时, V对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系 p=RT, Vnnn其中R为常数. 这里, 当V、T在集合(V ,T) | V0, T0内取定一对值(V, T)时, p的对应值就随之确定. 例3 设R 是电阻R1、R2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系 R=R1R2R1+R2. 这里,

11、 当R1、R2在集合( R1, R2) | R10, R20内取定一对值( R1 , R2)时, R的对应值就随之确定. 定义1 设D是R2的一个非空子集, 称映射f : DR为定义在D上的二元函数, 通常记为 z=f(x, y), (x, y)D (或z=f(P), PD) 高等数学课程建设组 高等数学教案 8 多元函数微分法及其应用 其中点集D称为该函数的定义域, x, y称为自变量, z称为因变量. 上述定义中, 与自变量x、y的一对值(x, y)相对应的因变量z的值, 也称为f在点(x, y)处的函数值, 记作f(x, y), 即z=f(x, y). 值域: f(D)=z| z=f(x

12、, y), (x, y)D. 函数的其它符号: z=z(x, y), z=g(x, y)等. 类似地可定义三元函数u=f(x, y, z), (x, y, z)D以及三元以上的函数. 一般地, 把定义1中的平面点集D换成n维空间R内的点集D, 映射f : DR就称为定义在D上的n元函数, 通常记为 u=f(x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)D, 或简记为 u=f(x), x=(x1, x2, , xn)D, 也可记为 u=f(P), P(x1, x2, , xn)D . 关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u=f(x)时, 就以使这个算式有意义的变元

13、x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如, 函数z=ln(x+y)的定义域为(x, y)|x+y0(无界开区域); 函数z=arcsin(x+y)的定义域为(x, y)|x+y1(有界闭区域). 二元函数的图形: 点集(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)D称为二元函数z=f(x, y)的图形, 二元函数的图形是一张曲面. 例如 z=ax+by+c是一张平面, 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面. 三. 多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似, 如果在P(x, y)P0(x0, y0)的过程中, 对应的函数值f(

14、x, y)无限接近于一个确定的常数A, 则称A是函数f(x, y)当(x, y)(x0, y0)时的极限. 定义2 设二元函数f(P)=f(x, y)的定义域为D, P0(x0, y0)是D的聚点. 如果存在常数A, 对于任意给定on2222的正数e总存在正数d, 使得当P(x,y)DU(P0,d)时, 都有 |f(P)-A|=|f(x, y)-A|0, 取d=e, 则当 0(x-0)2+(y-0)2d, o即P(x,y)DU(O,d)时, 总有 |f(x, y)-0|0, 由于sin x在x0处连续, 故$d0, 当|x-x0|d时, 有 |sin x-sin x0|e. 以上述d作P0的d

15、邻域U(P0, d), 则当P(x, y)U(P0, d)时, 显然 |f(x, y)-f(x0, y0)|=|sin x-sin x0|0, 使得对一切PD, 有|f(P)|M; 且存在P1、P 2D, 使得 f(P1)=maxf(P)|PD, f(P2)=minf(P)|PD, 性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值. 8. 2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z=f(x, y), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y固定, 这时它就是x的一元函数, 这函数对x的导数, 就称为二元函数z=f(x, y)对于x的偏导数. 定义

16、 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 当y固定在y0而x在x0处有增量Dx时, 相应地函数有增量 f(x0+Dx, y0)-f(x0, y0). 如果极限 limDx0f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)Dx存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作 zxx=x0y=y0, fxx=x0y=y0, zxx=x0y=y0, 或fx(x0,y0). 例如 fx(x0,y0)=limf(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)Dx. Dx0类似地, 函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对y 的偏导数定义为 limDy0f

17、(x0,y0+Dy)-f(x0,y0)Dy, 记作 zyx=x0y=y0, fyx=x0y=y0, zyx=x0y=y0, 或fy(x0, y0). 偏导函数: 如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x、y的函数, 它就称为函数z=f(x, y)对自变量x的偏导函数, 记作 高等数学课程建设组 高等数学教案 8 多元函数微分法及其应用 偏导函数的定义式: fx(x,y)=limfz, , zx, 或fx(x,y). xxf(x+Dx,y)-f(x,y)Dx0Dx. 类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为 fz, ,

18、 zy , 或fy(x,y). yyf(x,y+Dy)-f(x,y). Dy偏导函数的定义式: fy(x,y)=lim 求导数. fxDy0时, 只要把y暂时看作常量而对x求导数; 求fy时, 只要把x暂时看作常量而对y求 讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？ fx(x0,y0)=fx(x,y)x=x0, fy(x0,y0)=fy(x,y)x=x0. y=y0y=y0 fx(x0,y0)=ddf(x0,y)y=y. , fy(x0,y0)=f(x,y0)0x=x0dydx 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义为 f

19、x(x,y,z)=limDx0f(x+Dx,y,z)-f(x,y,z), Dx其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题. 例1 求z=x+3xy+y在点(1, 2)处的偏导数. 解 zzz=3x+2y. =2x+3y, yxxx=1=21+32=8, y=222zyx=1y=2=31+22=7. 例2 求z=x2sin 2y的偏导数. 解 zz=2x2cos2y. =2xsin2y, yxxz1z+=2z. yxlnxy 例3 设z=xy(x0,x1), 求证: 证 z=yxxy-1, z=xylnx. y 高等数学课程建设组

20、 高等数学教案 8 多元函数微分法及其应用 xz1zx+=yxyxlnxyyy-1+1xylnx=xy+xy=2z. lnx 例4 求r=x2+y2+z2的偏导数. 解 r=xxx+y+z222=xr; =yryx+y+z222=yr. 例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证: pVT=-1. VTppRTRT, =-2; VVVRTVR=; V=, pTp 证 因为p= T=pVTV=; , pRR所以pVTRTRVRT=-2=-=-1. VTppRpVV 例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商. 二元函数z=f(x, y)在点(x0,

21、y0)的偏导数的几何意义: fx(x0, y0)=f(x, y0)x是截线z=f(x, y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率. fy(x0, y0) =f(x0, y)y是截线z=f(x0, y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率. 偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如 xy x 2 +y2022 f(x,y)=x+y 2 + y2=00 x在点(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 提示: f(x, 0)=0, f(0, y)=0; 高等数学课程建设组 高等数学教案 8 多元

22、函数微分法及其应用 df(0, y)=0. fx(0, 0)=df(x, 0)=0, fy(0, 0)=dxdy 当点P(x, y)沿x轴趋于点(0, 0)时, 有 lim(x,y)(0,0)f(x,y)=limf(x, 0)=lim0=0; x0x0 当点P(x, y)沿直线y=kx趋于点(0, 0)时, 有 lim(x,y)(0,0) y=kxxyx2+y2=limx0kx2k. =2222x+kx1+k因此, lim(x,y)(0,0)f(x,y)不存在, 故函数f(x, y)在(0, 0)处不连续. 类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为 fz, , zy , 或

23、fy(x,y). yyf(x,y+Dy)-f(x,y). Dy偏导函数的定义式: fy(x,y)=lim 二. 高阶偏导数 Dy0 设函数z=f(x, y)在区域D内具有偏导数 zz=fy(x,y), =fx(x,y), yx那么在D内fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z=f(x, y)的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z=f(x, y)在区域D内的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z=f(x, y)的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的 不同有下列

24、四个二阶偏导数 z2zz2z=fxy(x,y), =2=fxx(x,y), yxxyxxxz2zz2z=fyx(x,y), =2=fyy(x,y). xyyxyyyz2zz2z=fxy(x,y), =fyx(x,y)称为混合偏导数. 其中yxxyxyyx高等数学课程建设组 高等数学教案 8 多元函数微分法及其应用 z2zz2zz2zz2z, , =2, =2. yxxyxyyxyyxxxy 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 2z2z2z3z 例6 设z=xy-3xy-xy+1, 求2、3、和. yxxyxx323z=2x3y-9xy2-x; 解

25、z=3x2y2-3y3-y, xy2z3z2 =6xy, =6y2; 32xx2z2z22=6xy-9y-1, =6x2y-9y2-1. xyyx2z2z=由例6观察到的问题: yxxy2z2z 定理 如果函数z=f(x, y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续, 那么在该区yxxy域内这两个二阶混合偏导数必相等. 类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数. 例7 验证函数z=ln2z2zx+y满足方程2+2=0. xy22 证 因为z=lnx2+y2=1ln(x2+y2), 所以 2yzzx=2, , =xx+y2yx2+y222y2-x22z(x+y)-x2x , =2x2(x2+y2)2(

26、x+y2)2 高等数学课程建设组 高等数学教案 8 多元函数微分法及其应用 22x2-y22z(x+y)-y2y . =2y2(x2+y2)2(x+y2)2x2-y2y2-x22z2z因此 2+2=2+2=0. 2222xy(x+y)(x+y)2u2u2u 例8证明函数u=1满足方程2+2+2=0, rxyz其中r=x2+y2+z2. 证: u=-12r=-12x=-x3, xrxrrr2u13xr13x2=-+=-+5. 2343xxrrrr22u13z22u13y同理 =-3+5. =-3+5, z2rry2rr22u2u2u13x213y13z2因此2+2+2=(-3+5)+(-3+5)+(-3+5) xy