多元函数微分学及其应用归纳总结.doc

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1、第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集,平面点集的内点、外点、边界点、聚点,多元函数的定义等概念2、多元函数的极限 (或)的定义 掌握判定多元函数极限不存在的方法:(1)令沿趋向,若极限值与k有关,则可断言函数极限不存在;(2)找两种不同趋近方式,若存在,但两者不相等,此时也可断言极限不存在。 多元函数的极限的运算法则(包括和差积商,连续函数的和差积商,等价无穷小替换,夹逼法则等)与一元类似:例1用定义证明例2(03年期末考试 三、1,5分)当时,函数的极限是否存在?证明你的结论。例3 设,讨论是否存在?例4(07年期末考试 一、2,3分)设,讨论是否存在?例5求3、

2、多元函数的连续性 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1 讨论函数在(0,0)处的连续性。例2 (06年期末考试 十一,4分)试证在点(0,0)不连续,但存在一阶偏导数。例3求 例44、了解闭区域上商连续函数的性质:有界性,最值定理,介值定理二、多元函数的偏导数1、 二元函数关于的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)如果极限存在,则有(相当于把y看成常数!所以求偏导数本质是求一元函数的导数。)如果极限存在,则有对于分段函数,在分界点的偏导数要用定义求。例1(08年期末考试 一、3,4分)已知,则 例2

3、(06年期末考试 十一,4分)试证在点(0,0)不连续,但存在一阶偏导数。例3 设,求。例4 设,求。 例5(03年期末考试,一、2,3分) 设,则在(1,2)的值为( )。2、 二元函数关于的高阶偏导数(二元以上类似定义), 定理:若两个混合二阶偏导数在区域D内连续,则有。例1设,其中为常数,求:。例2设,求。3、在点偏导数存在在点连续(07年,04年,02年等)4、偏导数的几何意义:表示曲线在点处的切线与x轴正向的夹角。三、全微分1、在点可微分的判定方法若,则可判定在点可微分。其中例1(08年期末考试 十二、6分)证明函数在(0,0)处可微,但偏导数在(0,0)处不连续。例2 (07年期末

4、考试 七、6分),证明:(1)函数在(0,0)处偏导数存在;(2)函数在(0,0)处不可微。2、全微分的计算方法若在可微,则有其中的求法可以结合复合函数或者隐函数求导。例1(08年期末考试,一,1,4分) 设,则 例2(07,04年期末考试,二,1,3分)设求。例3 (06年期末考试,二、2,3分)设,则 例4 (03年期末考试,二、2,3分)函数在点(1,0,1)处的全微分为 例5设,求函数:对变量的全微分。3、多元函数的全微分与连续,可偏导之间的关系(07年,04年,02年等) 一阶偏导数在连续在可微 在连续在有极限 在可微在的一阶偏导数存在 在可微在的方向导数存在四、多元复合函数求导法则

5、1、链式求导法则:变量树状图 法则(1) (2) zuxyxy(3) 例1 (08年期末考试,七,7分)设,具有连续二阶偏导数,求。例2 (08年期末考试,十一,6分)设是由方程所确定的函数,其中可导,求。例3 (07年期末考试,八,7分)设,具有连续二阶偏导数,求。例4 (06年期末考试,一、1,3分)设,可导,则( )。例5 (04年期末考试,三、1,8分)设可微,方程,其中确定了是的二元可微隐函数,试证明。例6 (03年期末考试,三、2,5分)设具有连续偏导数,证明方程所确定的函数满足。例7 记,具有连续二阶偏导数,求,。例8 设,而,求和。例9 设,而,则。例10 设,又具有连续的二阶

6、偏导数,求。2一阶全微分形式不变性:设,则不管是自变量还是中间变量,都有 通过全微分求所有的一阶偏导数,有时比链式求导法则显得灵活。 当复合函数中复合的层次较多,结构较为复杂时,用一阶全微分形式不变性求出一阶偏导数或者全导数比较方便。例1设其中都可微,求。五、隐函数的求导法则1、,求 方法1(直接代公式):,其中:,相当于把F看成自变量x,y的函数而对x求偏导数。 方法2:直接对方程两边同时关于x求偏导(记住):2,求方法1(直接代公式):方法2:直接对方程两边同时关于x(y)求偏导(记住):,3建议采用直接推导法:即方程两边同时关于x求偏导,通过解关于未知数的二元方程组,得到。同理可求得。例

7、1设,其中是由确定的隐函数,求。例2设有隐函数,其中F的偏导数连续,求。例3(04年期末考试,三、1,8分)设可微,方程,其中确定了是的二元可微隐函数,试证明六、多元函数微分学的几何应用1、空间曲线的切线与法平面方程(三种形式)参数形式,两柱面交线,两曲面交线切线向量切线向量 切线向量3、 曲面的切平面与法线方程(两种形式)隐函数,显示函数法线向量法线向量,规定法向量的方向是向上的,即使得它与z轴的正向所成的角是锐角,在法向量的方向余弦为:例1(08年期末考试,一、2,4分)曲线在点(a,0,0)的切线方程 例2(08年期末考试,十、7分)在曲面上求出切平面,使得切平面与平面平行。例3(07年

8、期末考试,二、5,3分)曲面在点(1,2,0)处的法线方程。例4(07年期末考试,十、8分)在第一卦限内作椭圆的切平面,使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小,求切点的坐标。例5(06年期末考试,二、3,3分)曲面在点(0,a,-a)处的切平面方程。例6(04年期末考试,三、3,7分)在球面上求一点,使得过该点的切平面与已知平面平行。例7. 在曲线,上求点,使该点处曲线的切线平行平面。例8设具有一阶连续偏导数,且,对任意实数有,试证明曲面上任意一点处的法线与直线相垂直。例9 由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,)处指向外侧的单位法向量,七、方向导数与梯度1、方向导数的概念和计算公

9、式在沿方向的方向导数为: 设为上一点,则 设的方向余弦为:,则可微方向导数存在,但方向导数存在与偏导数存在之间没有确定的关系2、梯度的概念和计算公式 在沿什么方向的方向导数最大?沿梯度方向的方向导数最大,最大值为梯度的模例1求函数在点沿曲线在点 处的切线方向的方向导数。例2求函数在点(2,1)沿方向的方向导数例3设函数,(1)求出f在点P(2,0)处沿P到Q(1/2,2)方向的变化率;(2)f在P(2,0)沿什么方向具有最大的增长率,最大增长率为多少? 例4 (08年期末考试,一、4,4分)函数在点处沿从到点方向的方向导数。例5(07年期末考试,二、4,3分)函数在点处沿方向的方向导数。例6(

10、06年期末考试,四、7分)函数在点处的梯度及沿梯度方向的方向导数。八、多元函数的极值及其求法1、掌握极值的必要条件、充分条件2、掌握求极值的一般步骤3、掌握求条件极值的一般方法拉格朗日乘数法例1求函数的极值。例2(04年期末考试,三、3,6分)设长方体过同一顶点的三条棱长之和为3a,问这三条棱长各取什么值时,长方体的表面积最大?例3 求旋转抛物面与平面之间的最短距离。例4 (08年期末考试,六、7分)求在约束下的最大值和最小值。例5(07年期末考试,十、8分)在第一卦限内作椭球的切平面,使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小,求切点的坐标。例6(06年期末考试,五、8分)做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶,问尺寸应如何,才能使用料最省?例7(03年期末考试,八、10分)求曲线上距原点最近和最远的点。

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