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1、三角函数的求值三角函数的求值 一、教学目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值 二、教学重点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用 三、教学过程： 主要知识： 三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形 三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 “给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 “给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 “给式求值”：给出一些较
2、复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形 重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论 主要方法： 1寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； 2正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等 例题分析： 例1、计算sin400(tan100-3)的值。 将切函数化成弦函数，3转化成特殊角的三角函数，再利用两角和与差的三角函数即可求解。 sin100sin600-sin5000-) =sin40 解
3、：原式=sin40( 0000cos10cos60cos10cos600sin800=-1 =-2cos100cos600点评 “给角求值” 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系 注意特殊值象1、3等，有时需将其转化成某个角的三角函数，这种技巧在化简求值中经常用到。 练习:tan20+4sin20 sin200+2sin4002sin300cos100+sin400sin800+sin400解：tan20+4sin20= cos200cos200cos2002sin600cos200=3 =0cos20例2、(上海高考)已知tan(45+)=3,求sin2-2cos的值 解：法一：由已知
4、21+tanq1=3,tanq= 1-tanq24sin2q-2cos2q2tanq-2=-sin2-2cos= 2225sinq+cosq1+tanq2法二：sin2-2cos=sin2-cos2-1=-cos(2p2+2q)-sin(p2+2q)-1 2tan(+q)444 =-1=- pp51+tan2(+q)1+tan2(+q)44点评 “给值求值” 法一,由tan的值，利用齐次式求值。法二，由角度之间关系求解 练习:已知tan1-tan2(p+q)pa2=1p,求sin(a+) 26解：43+3 105p，0x，求134例3、已知sin(p4-x)=cos2xcos(+x)4pppp
5、p(-x)+(+x)=，cos(+x)=sin(-x) 44244pppp 又cos2x=sin(-2x)=sin2(-x)=2sin(-x)cos(-x) 2444pcos2x24 =2 cos(-x)=212=p4cos(+x)13134cos2x=cosx-sinx=(cosx+sinx)(cosx-sinx) 2sin(x+22p的值。 p4)cos(x+p4) cos2xcos(+x)4p2sin(x+)cos(x+)44=2sin(p+x) =p4cos(+x)4pp下同解法1。 点评：分析:角之间的关系：(的三角函数的关系便可求之。 p4-x)+(p4+x)=p2 及p2-2x=
6、2(p4-x) ，利用余角间练习：设cos(-b2)=-1a2，sin(-b)=,且pp，求cos(+) ap,0b92322解：cos(a+b2)=cos(-b2)-(a2-b)=75 27cos(+)= 2cos2a+b2-1=-239 对角的范围要讨论 729例4、若a,b(0,p)，cosa=-71,tanb=-，求+2。 350解：a,b(0,p)，cosa=-750tana=-a,b(1313(-,0),tanb=-(-,0), 73335p5p,p)，+2(,3p), 62又tan2=tana+tan2b2tanb3tan(a+2b)=-1, ,=-21-tanatan2b41-
7、tanb+2=11p 4点评 “给值求角”：求角的大小，常分两步完成：第一步，先求出此角的某一三角函数值；第二步，再根据此角的范围求出此角。在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否则易产生增解。 练习:已知，为锐角，tan=1/7 sin=10,求2+的值 10解：由已知02+3pp2, 求得cos(2+)=或tan(2+)=1.得2+= 242例5、已知sin(a+b)=11,sin(a-b)=，求tan:tan的值。 23解：由已知，sincos+cossin=1/2(1), sincos-cossin=1/3(2) (1)+(2)得tan:tan=5:1 (1)-(2)点评 “给式
8、求值”:注意到公式中的特点用解方程组的方法得到。 练习: 已知sin+sin= m已知cos+cos= n(mn0). 求cos(-);sin(+);tan(+) 22 解：两式平方相加得：2+2(coscos+sinsin)=m+n m2+n2-1. cos(a-b)=2sina+sinb=cosa+cosb22=tana+b=m. a+ba-b2n2coscos2222sina+bcosa-bm2mnn由万能公式：sin(+)= =222n+mm1+nm2mnn=tan(+)= 222n-mm1-n2巩固练习： 1若cos130=a，则tan50= D ） oo (A)2 (B)4 (C)
9、8 (D)16 四、小结： 三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用, 掌握公式的逆用和变形 三角函数式的求值的类型一般可分为: (1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角 “给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解 “给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。 “给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之 三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次 注意点：灵活角的变形和公式的变形，重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论 五、作业：
