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1、上海交大大学物理5刚体力学基础习题思考题习题 5-1. 如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图 2mg-T2=2ma T1-mg=ma (T2-T1)r=Jb (T-T1)r=Jb a=rb (5) 联立 a=14g， T=118mg 5-2. 如图所示,一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为m的水平桌面上,设开始时杆以角速度w0绕过中心O且垂直与
2、桌面的轴转动，试求:作用于杆的摩擦力矩；经过多长时间杆才会停止转动。 设杆的线l=ml，在杆上取一小质元dm=ldx df=mdmg=mlgdx dM=mlgxdx 考虑对称 lM=22mlgxdx=014mmgl dw dt 根据转动定律M=Jb=J t0-Mdt=140w0Jdw 112mlw0 2 -mmglt=- 所以 t=w0l3mg5-3. 如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R ,其转动惯量为MR2试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。 /2，dvdtmg-T=ma=m TR=
3、Jb dvdt=Rb 12t整理 (m+ M)dvdt=mg v0dv=mm+12M0gdt v=mgtm+M25-4. 轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O轴的转动惯量J=MR2/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？ 解：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重 物上升的速度，系统对轴的角动量 L=M432vR-M(u-v)R+(MvR-MuRdLdtddtM4R)w2=根据角动量定理 M=34MgR=
4、(32MvR-MuR) 34MgR=32MRdvdt=32MR adudt=0 所以 a=g25-5. 计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。 证明：设球的半径为R，总重量为m，体密度r=3m4pR3， 将球体划分为许多厚度为dZ的圆盘， 则盘的体积为 p(R2-Z2)2dZ 1J=2R-R2pr(R-Z)dZ=228p2rR5=mR2 1555-6. 一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k=40N/m，当q=0o时弹簧无形变，细棒的质量m=5.0kg，求在q=0o的位置上细棒至少应具有多大的角速度w，才能转动到水平位置？ 解：机械能守恒 mg12+12Jw2
5、=12kx 2 根据几何关系 (x+0.5)2=1.52+12 w=3.28rads-1 5-7. 如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求： 盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：在虚线位置的C点设为重力势能的零点，下降过程 机械能守恒 mgR=12Jw J=212mR2+mR 2w=4g3R vc=Rw=734Rg3vA=2Rw=16Rg 3R2= Fy=mg+mwm g 方向向上 5-8. 如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动，
6、转轴O1距两端分别为l和323l轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度v0与杆下端小球m作对心碰撞，碰后以12v0的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。 解：根据角动量守衡 有 23mv0l=(2ll2212)mw+2mw-mlv0 3332 w=3v02l5-9. 一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为m)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：(1)子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；(2)经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘
7、绕通过O的竖直轴的转动惯量为12MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 12MRw+mRw 222 解角动量守恒 mvR= w=M=232mv(2m+MR)dM=12mdmgr=22R0mgrMpR22rdr=23mMgR mMgRDt=(MR+mR)w-0，Dt=2(M+2m)4mMgRw 由已得：w=2mv(M+2m)R，代入即得Dt=3mv2mMg5-10. 有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为m的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的
8、速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。 (已知棒绕O点的转动惯量J= 碰撞时角动量守恒 m2v1l=1m1l2w-m2v2l 313m1l) 2w=3m2(v1+v2)m1l细棒运动起来所受到的摩擦力矩 M=l0mm1lgxdx=12mm1gl -M=Jdwdt21t0dt=-31m1ldw2mm1gl2m2(v1+v2)t=2lw3mg=mm1g5-11. 如图所示，滑轮转动惯量为0.01kgm，半径为7cm；物体的质量为5kg，用一细绳与劲度系数k=200N/m的弹簧相连，若2绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：当绳拉直、弹簧无伸长
9、时使物体由静止而下落的最大距离。(2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 机械能守恒。 设下落最大距离为h 12kh2=mg h h=12kx22mgk+12=0.49m mv2+122Jw122=mgx x2mg- v=Jm+r2kx 若速度达最大值， x=mgkdvdx=0 =0.245(m) 2mgx-kx2v=Jm+r2259.80.245-2000.2452=0.015+(710-2)212=1.31m/s 125-12. 设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度w成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速度
10、；电扇稳定转动时的转速为多大？电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？ dw解：通电时根据转动定律有 M-Mr=J dt M=Pw Mr=kw Jwdw t 代入两边积分 t0dt=w0P-kw2 w=Pk(1-e-2kJ) 电扇稳定转动时的转速 wm= -kw=JwJkPkdwdqPk0q0-kJdq=wdw m q= 5-13. 如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为m，细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以w0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多
11、大？物体A运动后，细绳的张力多大？ 解：细绳刚绷紧时系统机械能守恒 12Jw0=212Jw2+12mv v=Rw 2v=1Rw0 3T-mmg=ma -TR=Jb T=mmg3 a=Rb 5-14. 质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度w为多少？ 解：此过程角动量守恒 0=mrv-Jw w=mRvJ5-15. 以速度v0作匀速运动的汽车上，有一质量为m，边长为l的立方形货物箱，如图所示。当汽车遇到前方障碍物急刹车停止
12、时，货物箱绕其底面A边翻转。试求：汽车刹车停止瞬时，货物箱翻转的角速度及角加速度；此时，货物箱A边所受的支反力。 解：角动量守恒 mv0根据转动定律 mgNx=mal2l2=23cn23mlw w=23v04l3g4l0mlb b=cos4502cx=ma-mactcos45 思考题 5-1. 一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端分别悬有质量m1和m2的物体 (m1m2)，如图所示.绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大？ m1g-T1=m1a T2-m2g=m2a 插入图5-29 (T1-T2)r=Jb a=rb (4) 联立方程可得 T1、T2。
13、 T2fT1 5-2. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度w按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度w怎样变化？ 答：增大 5-3. 个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的： 机械能守恒,角动量守恒;机械能守恒,角动量不守恒, 机械能不守恒,角动量守恒;机械能不守恒,角动量不守恒. 答： 5-4. 在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都是m的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：设转轴、在质点所在的
14、平面内，如图a所示；设转轴垂直于质点所在的平面，如图b所示。 以为轴转动惯量 J=9ma 以为轴转动惯量 J=3ma 以为轴转动惯量 J=7.5ma 5-5. 如图a所示，半径分别是R1和R2、转动惯量分别是J1和J2的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为w0，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大222圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。 试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最终角速度多大？ 答：角动量守恒，摩擦力的力矩为0。 J1w0=J2w w=J1w0J 25-6. 均质细棒的质量为M，长为L，开始时处于水平方位，静止于支点O上。一锤子沿竖直方向在x=d处撞击细棒，给棒的冲量为I0j。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。 答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。
