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1、上海交通大学 线性代数教材 课后答案 习习 题 三 1.求下列矩阵的特征值与特征向量. 331-3-5-3A= 331答案 特征值为l1=1,l2=l3=-2(二重) 1-1-1,-1对应的特征向量. c1c21+c30,c2,c3为不同时为零的任意常101数. 2-125-33A= -10-2答案 特征值为l1=l2=l3=-1(三重) -1,k-1对应的特征向量. k为任意非零常数. 156-3-101A=(3) 121答案 特征值为l1=l2=l3=2(三重) -21+c0,c,c为不同时为零的任意常数. 对应的特征向量. c11212012-22-2-14A=(4) 24-1答案 特征
2、值为l1=-6,l2=l3=3(二重). 1-22+k0,k为任意非零常对应的特征向量分别为:k12,k2131-201数,k2,k3为不同时为零的任意常数。 32-2 0-10 (5) A=42-3答案 特征值为l1=1,l2=l3=-1(二重) 。 1-11,0对应的特征向量分别为. k1k22+k30,k1为任意非零常数,k2,k3102为不同时为零的任意常数。 01(6) A=0010000000-1 0-10答案 特征值为l1=l2=-1(二重) l3=l4=1(二重) 。 0-1010101对应的特征向量分别为. k1+k2,k3+k4,k1,k2为不同时为10-101010零的任
3、意常数,k3,k4为不同时为零的任意常数。 130-1(7) A=00001120235 2答案 特征值为l1=-1,l2=1, l3=l4=2(二重), -316201对应的特征向量分别为. k1,k2,k3,k1,k2,k3均为任意非零常003000数。 310-113-10(8) A=0-131 -1013答案 特征值为l1=l2=3(二重), l3=5,l4=1. 对应的特征向量分别为: 1011011-1k1+k,k,k,k,k为不同时为零的任意常数,k3 ,k4均为1203-14-11201-11任意非零常数。 2-1-11-121-1(9) A=-112-1 1-1-12答案 特
4、征值为l1=l2=l3=1,(三重) l4=5; 11-11100-1对应的特征向量分别为.k1+k2+k3,k4,k1,k2,k3为不同时010-10011为零的任意常数, k4为任意非零常数。 01010(10) A= 10nn答案 10ln=0, (n重). 对应的特征向量为. k,k为0特征值为l1=l2=任意非零常数。 2.设A为4阶方阵，且 2E+A=0,AAT=3E,A0,，求矩阵A*,A-1的一个特征值 9|A|9T=为A*.由AA=3E,|A|0知|A|=-9，且l=-2是A的一个特征值，故2l21-1的一个特征值。l=-是A的一个特征值. 2解：若A2=A,则A的特征值l应
5、满足：l(l-1)=0。因此A的特征值只能是1或0. 3. 设A为n阶方阵，且 A2=4A，证明: B=A2-5A+6E为可逆矩阵. 证明 由A2=4A，则A的特征值l满足l2=4l，得A的特征值为l=0或l=4, 故2,3不是A的特征值， 即 2E-A0,3E-A0 而 B=A2-5A+6E=A-2EA-3E=(-1)2E-A(-1)3E-A0nn因此B=A2-5A+6E为可逆矩阵. 4.设A是5阶方阵，l=-3是A的四重特征值, l=2也是A的特征值,求A的特征多项式. 设A为三阶方阵，且已知A-E=0,3A+2E=0,3E-2A=0,求3阶方阵A的全部特征值及A的行列式。 解：由于A的特
6、征多项式lE-A=(l-l1)(l-l2)(l-l5)， 因此lE-A=(l+3)4(l-2)。 此题没有给出A,故需要由已知条件 A-E=0,3A+2E=0,3E-2A=0, 求出A的特征方程的根，即A 的特征值li要满足 liE-A=0(i=1,2,3)。 利用行列式性质，由于 A-E=(-1)3E-A=0,E-A=0,故l1=1为A的一个特征值；3A+2E=(-3)-A-3E-2A=2332E=0,322-E-A=0，故l=-为A的一个特征值；233322E-A=0,E-A=0，故l3=为A的一个特征值；233因此，A的全部特征值为l1=1，l2=-，l3=422行列式A=l1l2l3=
7、1-=- 339232 35. 若A-A2=0,则0与1至少有一个是矩阵A的特征值。 证明：A-A2=00E-A1E-A=00E-A=0，或1E-A=0 因此0与1至少有一个是矩阵A的特征值 6. 设a是n阶对称矩阵A的对应于特征值l的特征向量.求矩阵(P-1AP)对应于特征值l的特征向量。 T解 (P(PT-1AP)=PATTT(P)-1T=PA(PTT)-1-1AP)TTTT-1TPa=PAPPa ()()=PT(Aa)=PT(la)=l(PTa)-1即Pa是矩阵(PAP)对应于特征值l的特征向量。 T7.设a1,a2分别是n阶方阵A的对应于不同的特征值l1与l2的特征向量, k10,k2
8、0是常数,证明:k1a1+k2a2 不是A的特征向量。 证明:反证法，若k1a1+k2a2 是A的特征向量，则有矩阵A的特征值l，使得 A(k a(ka1a1+ka2)2=l1+1k)2得 k1Aa1+k2Aa2=k1la1+k2la2 即 k1la11+k2l2a2=k1la1+k2la2 k1(l1-l)a1+k2(l2-l)a2=0 2有l1-l=0,l2-l=0l1=l2矛盾。 8.设A为4阶方阵，且1，2，3，4为矩阵A的特征值，试求行列式： 2A2+3A+E； 2A*-(2A) 解2A2+3A+E=6152845=113400 2A-(2A)*-1*11*1*195A=2A-A=
9、=2A-2A48242*-149设A为n阶方阵，且满足A2-3A-10E=0,试求A的特征值. 设A为n阶方阵，且满足AAT=E,A0.证明-1A的一个特征值。 设四阶方阵A满足3A+E=0,AAT=2E,A0，求A的伴随矩阵A*的一个特征值。 解由于方阵A满足A2-3A-10E=0 从而A的特征值l应满足： l2-3l-10=0 即 l=-2或l=5 (2)分析：为证明-1是A的特征值，只要证明A+E=0即可证明：由AAT=E得AAT=E=1,即A=1.根据A0知A=-1.又因为 A+E=A+AAT=A(E+AT)=AE+AT=-(A+E)T=-A+E2所以A+E=0,故-1是A的一个特征值
10、. 由题设条件3E+A=(-1)4-3E-A=-3E-A=0, 得A的一个特征值为l=-3，由AAT=2E,两边取行列式，得AAT=2EA=24=16 ，又A0，故A=-4。因A0，故A 可逆，于是A的伴随矩阵A*的一2个特征值为Al=-44=。 -3310. 在下列各题中已知矩阵A与B相似，试求常数x,y，且求可逆矩阵P，使得P-1AP=B成立 -200-1,B=2x22A=311, y1-11200 A=24-2,B=020 -3-3x00y解(1) x=0,y=-2; 00-1-1，可使P-1AP=。 -2102取可逆阵P=111-2 (2)x=5,y=6, 1112-1-10-2PAP
11、=2取可逆阵P=，可使 013611第一题中哪些矩阵能相似于对角矩阵，对于能相似于对角矩阵的矩阵，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。. 解1题的、能相似于对角矩阵，其中 1-1-11,P-1AP=-110-2P=； 101-21-22-6,P-1AP=2103P=； -20131-11P=0201,P-1AP=-1； 101-10-101P=01010-1,P-1AP=-110-1； 1010110111P=011-13310-1-1,P-1AP=； 01-115111-11P=100-1010-11,P-1AP=11； 0011512设A为n阶方阵，证明: 若AB,则ATBT； 若A可
12、逆，则ABBA。 证明若AB,则存在可逆阵P,使得P-1AP=(P-1AP)T=BTPTAT(P-1)T=BT因此ATBT 若A可逆，则有A-1(AB)A=BA,因此ABBA 13.若P-1A1P=B-11，PA2P=B2，则 (1)A1+A2B1+B2, (2)A1A2B1B2。 证明 (1)若P-1A1P=B1，P-1A2P=B2, 则P-1(A+A1-112)P=P-AP1+PA2P=B1+B2 故A1+A2B1+B2 (2)由于B111B2=(P-1A1P)(P-A2P)=P-A1A2P，因此A1A2B1B2 ZE B，14.设n阶方阵A=(aij)nn，且 r(A)=1，证明: A的
13、n个特征值为l1=a11+a22+证明 由于 lE-A+ann,l2=l3=0. =l-(a11+a22+n+ann)ln-1+(-1)Anr(A)=1，则A的二阶以上子式全为零，从而有 lE-A=ln-(a11+a22+ann)ln-1 故A的n个特征值为 l1=a11+a22+ann,l2=l3=ln=0. 15. 设A为2阶方阵，且A2,，证明A相似于对角矩阵。 a22证明: 由于A为2阶方阵，设A的特征值为l1,l2,则A=l1l22, 22故lE-A的判别式D=(a11+a22)-4A=(a11+a22)-40,因此A有两个不同的特征值，从而可相似于对角矩阵 16.若A可相似于对角矩
14、阵，则其非零特征值的个数等于A的秩r(A) 证明 若A可相似于对角矩阵，则存在可逆矩阵P ,使得 l1l2-1PAP= ln其中l1,l2,L,ln为n阶方阵A=(aij)nn的n个特征值， l1l2-1显然 r(A)=r(PAP)=r=A的非零特征值的个数ln17.设A与B都是n阶对角矩阵,证明A与B相似的充分必要条件是A与B对角线元素除了排列次序外是完全相同的. 证明 设A与B是对角线元素除了排列次序外是完全相同的n阶对角矩阵,则我们可以用一系列行的调换(第二类变换)与同类型的的调换把A化成B,即对应的,存在一系列具有性质Pi=Pi-1的初等方阵P1,P2,Ps,使得 P2PAPP112P
15、s=B, 2 Ps-1即 Ps-1P2-1P1APP1Ps=B 令 P=PP1218 已知矩阵 Ps，则P为可逆阵,于是有P-1AP=B,故A与B相似. 1121A= ，。 M=0132求(M-1AM),其中n为正整数. n解 (M-1AM)=M-1AnMn4n 2-11n211+6n=-320132-9n1-6n19.求A100,A101,其中 01-10-11,(2) A=102, (1) A=-202-110-1-20解 -1-12,101A100=-202A=A;-2-13-2-2-2,10150A100=(-6)49-2-51A=(-6)A-21-5(1)(2)20.设矩阵 02-1
16、 A=-25-2, -48-3求 求A的特征值； 问A能能否相似于对角矩阵，若相似，求可逆阵P，使得P-1AP为对角矩阵。 求An,其中n为正整数. 解解得 A的特征值为l1=0,l2=1,l3=3 01由于A有三个不同的特征值，故A能相似于对角矩阵L= 31A的特征值l1=0,l2=1,l3=3对应的特征向量分别是2,4-10,112 11-11，则P-1AP=L 202取P=41102-1=A -25-2An=-48-321.设l1,l2,l3是三阶方阵A的特征值, 对应的特征向量分别是 11,1T01,100 1求(An),其中n为正整数 解 由于三阶方阵A的特征值l1,l2,l3对应的
17、特征向量 11,101,100是线性无关的，故A能相似于对角矩阵 1100l1,L=110l2因此,取P=111 l3则 (A)=(PLP)nT-1T=100 -110nl30-11T100l1n110111l1n=l2nl1n-l2nl1n-l2nl2nl2n-l3nl3n22. 已知三阶方阵A的特征值分别为l1=1,l2=0,l3=-1,对应的特征向量分别是 12,2-2-1,22-2 1试求矩阵A. 解:由于A有三个不同的特征值l1=1,l2=0,l3=-1，故A能相似于对角矩阵 1-311-22P-1=2,则A=P02-1-2取P=3221-102302302 3131a23.设4阶方
18、阵A=2201b3002c00，问a,b,c取何值时，A能相似于对角02矩阵？求出它的相似对角矩阵。 解:由于A的特征值为l1=l2=1,l3=l4=2.A能相似于对角矩阵的充要条件 4-r(E-A)=2,4-r(2E-A)=2即 000-a004-r-2-b-1-2-3-c001-a104-r-2-b0-2-3-c00-a0=2r-20-1-201-a0=2r-200-200-b-301-b-3000=2a=0-10-c-10000=2c=000-c0011 因此a=0,c=0,b任意时，A能相似于对角矩阵L=2211,a=0是三阶方阵A的对应于特征值l=2的特224. 设向量a1=201-
19、1,求2征向量,若向量b=Ab -2-111=2-20=a-2a0，故也为A的对应于特征2解 因为b=b12-201-2。 4值l=2的特征向量,因此Ab=2b=-425.三阶方阵A的特征值为,B与A相似，试求行列式 1112231D=(B2)-1+12B*-E 2其中B*为B的伴随矩阵 解：由于方阵的行列式等于该方阵的所有特征值的乘积，故要1求行列式D的值，只要求方阵(B2)-1+12B*-E的全部特征值即21111可由于相似方阵有相同的行列式.,故B=A=,故 223121B*=BB-1=B-1.12于是有11(B2)-1+12B*-E=2(B-1)2+12(B-1)-E212=2(B-1
20、)2+B-1-E=f(B-1)其中，多项式f(x)=2x2+x-1.由于相似矩阵有相同的特征值，故B的全部特征值为111 ,.223可知B-1的全部特征值为2,2,3，f(B-1)的全部特征值为f(2)=9,f(2)=9,f(3)=20所以，所求行列式的值为D=f(B-1)=9920=162021126.已知向量a=(1,k,1)T是矩阵A=121的逆矩阵A-1的一个特征 112向量.试求常数k的值及a所对应的A-1的特征值l.解法一：由题设条件，有A-1a=la,故l0，且有Aa=12+k+1=l21111121k=1k,或1+2k+1=kll1121111+k+2=l1la,即1由此解得k
21、=-2,l=1;或k=1,l=.4解法二：因为a为A-1的特征向量，知a亦是A的特征向量由lE-A=(l-1)2(l-4)=0,得A的全部特征值为1,1,4.故A-1的全部1特征值为1,1,.由Aa=a,解得k=-2,此时A-1的特征值为1，1；41由Aa=4a,解得k=1,此时A-1的特征值为.427.已知向量a1=(1,2,2)T,a2=(0,-1,1)T,a3=(0,0,1)T,方阵A满足Aa1=a1,Aa2=0,Aa3=-a3.求A及An(n=2,3,).解：有题设条件知3阶方阵A有3个互不相同的特征值1,0,-1,对应的特征向量分别为a1,a2,a3,由特征值与特征向量的性质知a1,
22、a2,a3线性无关，故A相似于对角矩阵100100令矩阵P=a1,a2,a3=2-10,对角矩阵L=00021100-1则有P-1AP=L,故100100100100A=PDP-1=2-100002-10=20021100-1-4116-1-1An=(PLP-1)(PLP-1)(PLP-1)=PLnP-1100100100=2-100002-1012100(-1)n -411100=2002+4(-1)n+1(-1)n(-1)n28.试求x,y及可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵。 32-2A=-x-1x 42-3 A=1-11x4y，且A有三个线性无关的特征向量，-3-35的二重特征值。
23、解 (1) 先求A的特征值 由于 l=2是Al-3lE-A=x-411-2l+1-2-2-22l-1-2-xC3+C10l+12-xl+32l-1-210l+3-202-x l+1=(l-1)0l+1 =(l+1)2(l-1)=0-x-r1+r3(l-1)0l+1l+3得A的特征值为 l1=l2=-1,l3=1。 由于A只有一个重特征值1(二重）知，A 可相似于对角阵属于2重特征值l1=l2=-1的线性无关特征向量正好有2个齐次线性方程组，Ta2T对应于l3=1的特征向量为a3。故所求的可逆矩阵为P=a1a2111a3=-200021-1.它使得P-1AP=-11因为A有三个线性无关的特征向量
24、，l=2是A的二重特征值，所以A的对应于l=2的线性无关的特征向量有2个，故r(2E-A)=1 而 1-11-111行变换2E-A=-x-2-y0x-2-x-y 3-300301-11于是，解得x=2,y=-2 ，A=24-2， -3-35l-11-12=(l-2)2(l-6)， l-5其特征多项式lE-A=-23l-43A的特征值为l1=l2=2，l3=6 A的特征值l1=l2=2，其对应的特征向量为 -11,a=0a1=12 01A的特征值l3=6对应的特征向量为 1,a3=-2 3-11120010-2对角阵L=020,则P-1AP=L. 令可逆阵P=a1,a2,a3=013006-58
25、x的秩数0x+1829.已知3阶方阵A=且3阶方阵Br(A)3，03x+325的三个特征值1,-1,0对应的特征向量依次为: 1xx-2,b=x+3,b=-1, b1=2x23-1x+2x+1试求x及3阶方阵B。 -1ca*5b3,A设矩阵A=且A的伴随矩阵有一个特征A=-1,1-c0-a-1*-1A值为l0，a=是伴随矩阵的对应于特征值l0的一个特征向量，1求常数a,b,c,l0的值。 x-58解 由r(A)1，A的对应于l=0的线性无关的特征向量个数为n-r(A)n-1n，即A没有n个线性无关的特征向量，因此A不相似于对角阵。 方法2 用反证法 假定Ak=O时，A可相似于对角阵 ，即存在可
26、逆阵P，使得 l1P-1AP=l2l1kk-1-1k=L,则PAP=PAP=Oln()l2k Okln由于Ak=O，所以(P-1AP)=0li=0(i=1,2,.,n)。 kl1从而P-1AP=l2=0得A=O，与条件相矛盾，故A 不能相Oln似于对角阵； 由于A 的全部特征值均为零li=0，故A+E的特征值全部为1+mi=li+1=1， 因此 E+A=m1m2Lmn=1 分两种情况证明： 当B可逆时，欲证的等式为 A+B=BB-1A+B=1B-1A+E=1, 利用本题的结果，只要证明B-1A为幂零矩阵，故有B-1A+E=1，从而问题得证。由已知，AB=BA，将两端左乘B-1，得B-1AB=A
27、,再将两端右乘B-1，B-1A=AB-1，即B-1与A可交换，此时，由Am=O，得到 (BA)=(BA)(BA)L(BA)=(B)-1m-1-1-1-1mAm=O 因此B-1A为幂零矩阵，故有B-1A+E=1。 当B不可逆时，既有B=0,此时欲证的等式为 A+B=BA+B=0 由于B=0,故B有特征值0，即存在非零列向量a，使得Ba=0a=0,故对任意正整数k，有Bka=0,由于A，B可交换，故有 m(m-1)m-22mm-1(A+B)ma=AB+L+BmaA+mAB+2!=Ama+mAm-1Ba+m(m-1)m-22ABa+L+Bma=02! 即齐次方程组(A+B)mx=0有非零解x=a，
28、故该方程组的系数行列式为零， 既有(A+B)m=A+B=0， m所以A+B=0，故当B不可逆时，结论也成立。 综上所述有 A+B=B。 (5) 可以证明Ak=E时，A有n个不同的特征值。 事实上，设A的特征值为l1,l2,.,则Ak的特征值为l1k,l2k,.,ln，lnk，又Ak=E故Ak特征值均为1，即lik=1，故l1,l2,.l,n是多项式ln两两f(x)=xn-1的n个根，由于此多项式无重根，因此，l1,l2,.,互异，从而A可相似于对角阵。 32.设A=(aij)nn为n阶方阵，若任意n维非零列向量都是A的特征向量，证明为数量矩阵，即存在常数k，使得 A=kEn 证由题设条件，n维
29、单位向量ej=(0,0,1,0,0)T(j=1,2,n),n)是A的特征向量，故存在常数lj,使得 Aej=ljej (j=1,2,即a1j0ajj=lj0anj(j=1,2,n)于是aij=0,(ij,i,j=1,2,即A为对角矩阵,n),ajj=lj(j=1,2,n)，l1l2 A= ln当ij时，由题设条件知非零向量eiej也是A的特征向量，故存在常数k，使得A(eiej)=k(eiej)AeiAej=keikej由于Aej=ljej(j=1,2,n)，得lieiljej=keikej(lik)ei(lj-k)ej=0因为ei，ej线性无关，故得likljk于是得A=k(ij,i,j=1
30、,2,n)=kE，即A为数量矩阵。k33证明：三阶方阵A=(aij)33的特征多项式为 lE-A=l3-tr(A)l2+tr(A*)l-A 证明 由于A 的特征多项式 l-a11f(l)=lE-A=-a21-a31-a12-a13-a23 l-a33l-a22-a32为l的首系数为1的3次多项式，其3次项及2次项只在行列式的主对角线上三元素的乘积项中出现，且A 的特征多项式的3次项为l3，2次项为-(a11+a22+a33)l2=-tr(A)l2，常数项为f(0)=-A=(-1)3A=-A；经计算可得f(l)的1次项为： a22a23a11a13a11a12+aaaaa21a223331333
31、2=(A11+A22+A33)l=tr(A*)ll。 于是得 f(l)=lE-A=l3-tr(A)l2+tr(A*)l-A。 34设A与B都是n阶方阵，证明: (1) AB与BA具有相同的特征值; (2) tr(AB)=tr(BA) 证明 分两种情形 1）设l=0是AB的特征值, a0是AB的特征值l=0对应的特征向量, 即(AB)a=0a=0. 亦即a是齐次方程组 (AB)a=0. 的非零解向量，于是齐次方程组的系数行列式 AB=AB=BA=0 因而齐次方程组 (BA)x=0. 有非零解b，使得(BA)b=0b=0. 故l=0是BA的特征值。 2）设l0是AB的任意特征值,我们证明l也是BA
32、的特征值。 方法1：设a0是AB的非零特征值l对应的特征向量, 即ABa=la.(1) 用B左乘上式,有(BA)(Ba)=l(Ba),由于式知Ba0，因此l也是BA的特征值。 同理可证BA的特征值都是AB的特征值。因此AB与BA具有相同的特征值; 方法2 用分块矩阵的乘积性质 由于 AlE-ABO=EBElEA两端取行列式，得=lE-ABBElE再由BAE-AlEO= BlE-BAEOlElEAn再两端取行列式，得l=lnlE-ABBE所以lE-AB=lE-BAE-AlEOEB因此AB与BA具有相同的特征值 方法3 因为OEEAOElEEOBlEEO=AB E ，两端取行列式，得EABlE=l
33、EBAEEO再两端分别乘值为1的行列式EOEAE-BE与E-AlBE-1OE 得：-BEBlE=OlEEA-Al-1由行列式乘法公式有 EAOlE-BA故 =lEOBE-lAB-1lE-BA=lEE-l-1AB亦即lE-BA=lE-AB因此AB与BA具有相同的特征值 设AB与BA的特征值为 l1,l2,ln，则由公式 tr(AB)= l1+l2+tr(BA)=l1+l2+ln;+ln有tr(AB)=tr(BA)。即成立。 35. 设A与B都是n阶方阵，且AB具有n个不相等的特征值,证明AB与BA相似于同一个对角矩阵. 证明 由上题有：AB与BA具有相同的特征值, 且AB与BA有n个不相等的特征值, 因此它们相似于同一个对角矩阵. 1b236 试证明n阶方阵A=abbb1bbbb1bbbb的最大特征值是 1
