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1、专题三函数解析式的求法专题总结函数专题之专题三：函数解析式的求法 专题三：函数解析式的求法 一、待定系数法 方法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 设f(x)是一次函数，且ff(x)=4x+3，求f(x) 解：设f(x)=ax+b (a0)，则 ff(x)=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+ba=2a2=4a=-2 或b=3ab+b=3b=1f(x)=2x+1或f(x)=-2x+3 二、配凑法 方法：已知复合函数fg(x)的表达式，求f(x)的解析式，fg(x)的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而
2、是g(x)的值域。 已知f(x+11)=x2+2 (x0) ，求 f(x)的解析式 xx解：Qf(x+111)=(x+)2-2， x+2 xxx f(x)=x2-2 (x2) 三、换元法 方法：已知复合函数fg(x)的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 已知f(x+1)=x+2x，求f(x+1) 解：令t=x+1，则t1，x=(t-1)2 f(x+1)=x+2x f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 1 函数专题之专题三：函数解析式的求法 f(x)=x2-1 (x1) f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x (x0) 四、代入
3、法 方法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 已知：函数y=x2+x与y=g(x)的图象关于点(-2,3)对称，求g(x)的解析式 解：设M(x,y)为y=g(x)上任一点，且M(x,y)为M(x,y)关于点(-2,3)的对称点 x+x2=-2x=-x-4 则，解得： ， y+yy=6-y=32Q点M(x,y)在y=g(x)上 y=x2+x 把x=-x-4代入得： y=6-y6-y=(-x-4)2+(-x-4) 整理得y=-x-7x-6 2g(x)=-x2-7x-6 五、构造方程组法 方法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组
4、求得函数解析式。 设f(x)满足f(x)-2f=x,求f(x) 1x 解 Qf(x)-2f=x 1x显然x0,将x换成1，得： x11f-2f(x)= xx解 联立的方程组，得： 2 函数专题之专题三：函数解析式的求法 f(x)=-x2- 33x1,试求f(x)和g(x)的解析式 x-1设f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，又f(x)+g(x)=解 Qf(x)为偶函数，g(x)为奇函数， f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x) 又f(x)+g(x)=1 ， x-1用-x替换x得：f(-x)+g(-x)=-1 x+1即f(x)-g(x)=-1 x+1解 联立的方程组，得 f(x)= 11g
5、(x)=， 22x-1x-x六、赋值法 方法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 已知：f(0)=1，对于任意实数x、y，等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立，求f(x) 解对于任意实数x、y，等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)恒成立， 不妨令x=0，则有f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y(y-1)=y-y+1 再令 -y=x 得函数解析式为：f(x)=x2+x+1 2七、递推法 方法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代
6、等运算求得函数解析式。 设f(x)是定义在N+上的函数，满足f(1)=1，对任意的自然数a,b 都有f(a)+f(b)=f(a+b)-ab，求f(x) 解Q f(a)+f(b)=f(a+b)-ab，a,bN+， 不妨令a=x,b=1，得：f(x)+f(1)=f(x+1)-x， 3 函数专题之专题三：函数解析式的求法 又f(1)=1,故f(x+1)-f(x)=x+1 分别令式中的x=1,2n-1 得： f(2)-f(1)=2,f(3)-f(2)=3,f(n)-f(n-1)=n,将上述各式相加得：f(n)-f(1)=2+3+Ln， f(n)=1+2+3+Ln=n(n+1) 2f(x)=121x+x
7、,xN+ 22(1)已知fx2x，求f(x)的解析式。 (2)已知fx，求f(x)的解析式。 xx(3)已知函数f是一次函数，且满足关系式3f2f2x17，求f(x)的解析式。 分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用。即：求出f及其定义域. (1)解法一： 设tx11，则xt1，x 2f2t1 2fx1 解法二：由f(x+1)=x+2x=(x+1)2-1，f(x)=x-1(x1) f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同，本质是一样的。 求出函数解析式时，一定要注明定义域，函数定义中包括定义域这一要素。 (2)x322211121123 xxxx3x
8、2f3 xxx23fxx3x 当x0时，x112或x2 xx4 函数专题之专题三：函数解析式的求法 fx3x (3)设faxb 则3f2f3ax3a2b2a2baxb5a2x17 a2，b7 f2x7 评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法。值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域。 已知f(x+)=x+31x31，求f(x)； x3已知f(+1)=lgx，求f(x)； 已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)； 2x3x，求f(x) 已知f(x)满足2f(x)+f=1x解：f(x+)=x+1x31131=(x+)-3(x+)， x3xxf(x)=x3-3x 令2222+1=t (x1)，则x=，f(t)=lg，f(x)=lgxt-1t-1x-1 a0)， 设f(x)=ax+b(则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， a=2，b=7，f(x)=2x+7 2f(x)+f=3x， 把中的x换成1x113，得2f+f(x)= ， xxx2-得3f(x)=6x-31，f(x)=2x- xx注：第题用配凑法；第题用换元法；第题已知一次函数，可用待定系数法；第题用方程组法 5
