专题一求函数值域十六法.docx

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1、专题一求函数值域十六法求函数值域方法求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。一、基本知识 1 定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域。 2 函数值域常见的求解思路：划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，

2、解不等式即可获解。可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数y=f(x)看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值y0，y0对应的自变量x0一定为方程y=f(x)在定义域中的一个解，即方程y=f(x)在定义域内有解；另一方面，若y取某值y0，方程y=f(x)在定义域内有解x0，则y0一定为x0对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。可以用函数的单调性求值域。其他。 3 函数值域的求法、直接法：从自变量x的范

3、围出发，推出y=f(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例1：求函数y= 例2：求函数y=例3：求函数y=x-1+x+1,(x1)的值域。 2,+ x2+6x+10的值域。 1,+) x+1的值域。 )解：x0，x+11，函数y=x+1的值域为1,+)。 2、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F(x)=af(x)+bf(x)+c的函数的值域问题，均可使用配方法。例1：求函数y=-x+4x+2的值域。解：y=-x+4x+2=-(x-2)+6， 222x-1,1，x-2-3,-1，1(x-2)9 -3-(x-2)+65，-3y5

4、函数y=-x+4x+2的值域为-3,5。最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。解：由3-2x-x20，解出定义域为-3，1。函数y在-3，1内是连续的，在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4，最小值为0。函数的值域是0,2 例2：求函数y=2，x-2,2的值域。 ,4 4x2221 例3：求函数y=-2x+5x+6的值域。 -,273 8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。 1-2x例1：求函数y=的值域。 x1+21-y1-2xx2=解：由y

5、=解得， x1+y1+220，x1-y0，-1y1 1+y1-2x函数y=的值域为y(-1,1)。 1+2x、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数y=值域为yyax+b(c0)，如果在其自然定义域内，cx+da，采用部分分式法将原函数化为；如果是条件定义域cadac(adbc)，用复合函数法来求值域。 y=+ccx+db-1-x的值域。 2x+5177-(2x+5)+1-x2=-1+2，解：y=22x+52x+522x+5例1：求函数y=7120，y-， 22x+51-x1函数y=的值域为y|y-。 2x+52、换元法

6、：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y=ax+bcx+d的函数常用此法求解。例1：求函数y=2x+1-2x的值域。 1-t2解：令t=1-2x，则x=， 2y=-t2+t+1=-(t-)2+当t=125 4135，即x=时，ymax=，无最小值。 2845函数y=2x+1-2x的值域为(-,。 4、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0；通过方程有实数根，判别式D0，从而a1x2+b1x+c1求得原函数的值域，形如y=的函数的值域，常用此方法求解。 2a2x+b2x+c2x2-x+3例1：求函数y=2的值域。 x-x+1x2-x+3

7、2解：由y=2变形得(y-1)x-(y-1)x+y-3=0， x-x+1当y=1时，此方程无解；当y1时，xR，D=(y-1)-4(y-1)(y-3)0，解得1y21111，又y1，1y 33x2-x+311函数y=2的值域为y|1y x-x+13、函数的单调性法：确定函数在定义域上的单调性，求出函数的值域。例1：求函数y=x-1-2x的值域。解：当x增大时，1-2x随x的增大而减少，-1-2x随x的增大而增大，函数y=x-1-2x在定义域(-,上是增函数。 12y111-1-2=， 22212函数y=x-1-2x的值域为(-,。例2求函数y=x+1在区间x(0,+)上的值域。 x

8、分析与解答：任取x1,x2(0,+)，且x1x2，则 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-1)x1x2，因为0x1x2，所以：x1-x20，当1x10，则f(x1)f(x2)；当0x1x21时，x1x2-10，则f(x1)0)是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取=成立的条件. 例1 求函数解答: y=x+2x+1x+2x+1的值域. 1x+1y=x+1+2, 当且仅当x=1时=成立. 故函数的值域为y2,+). 此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分

9、式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例2 求函数y=x2+2x+2x+1的值域. 解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出(x+1)项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设: (x+1)(x+b)+c=x2+2x+2, (2) 将上面等式的左边展开, 有: x2+(b+1)x+(b+c), 故而b+1=2, b+c=2. 解得b=1, c=1. 从而原函数y=(x+1)(x+1)+1x+1=(x+1)+1x+11x+1; )当x-1时, x+10, 0,

10、此时y2, 等号成立, 当且仅当x=0. 1x+1)当x0, -0, 此时有 y=(x+1)(x+1)+111=(x+1)+=-(x+1)-2, x+1x+1x+1等号成立, 当且仅当x=-2. 综上, 原函数的值域为: y(-,-22,+). 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例3. 求函数解：原函数变形为：的值域。当且仅当即当时，等号成立故原函数的值域为：例4. 求函数解：的值域。当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：、有界性法：利用某些函

11、数有界性求得原函数的值域。 x2-1例1：求函数y=2的值域。 x+1解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得 (y-1)x2=-(y+1)， y1，x=-2y+1， y-1-y+10，-1y1， y-1x2-1函数y=2的值域为y|-1y0,y-10y1或y-1 y-1例3：求函数y=2cosx+1的值域。 3cosx-21-,3,+) 51,3 3例4：求函数y=2-sinx的值域。 2+sinx、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义或当一个函数的图象易于作

12、出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例1：求函数y=|x+3|+|x-5|的值域。 y-2x+2(x-3)解：y=|x+3|+|x-5|=8 (-3x1) =1-=1-则y=t3x+13x+11Qt101t0y0，x2=y+3y+30，解得-3y1 ， Qx20，1-y1-y又 y1，所以 -3y) x2121412、导数法若函数f在(a,b)内可导, 可以利用导数求得f在(a,b)内的极值, 然后再计算f在a,b点的极限值. 从而求得f的值域. 例1：求函数f(x)=x-3x在(-5,1)内的值域. 2分析:显然f在(-5,3)可导，且f(x)=3x-3. 由f(x)=0得f的极

13、值点为x=1,x=-1. 3f(-1)=2,f(1-0)=-2. f(-5+0)=140. 所以, 函数f的值域为(-2,140). 、“平方开方法” 求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题. 1.适合采用“平方开方法”的函数特征设f(x)是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征： f(x)的值总是非负，即对于任意的xD，f(x)0恒成立； f(

14、x)具有两个函数加和的形式，即f(x)=f1(x)+f2(x)； f(x)的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即 f2(x)=f1(x)+f2(x)2=c+g(x)，其中，新函数g(x)的值域比较容易求得. 2.“平方开方法”的运算步骤若函数f(x)具备了上述的三个特征，则可以将f(x)先平方、再开方，从而得到f(x)=c+g(x).然后，利用g(x)的值域便可轻易地求出f(x)的值域.例如g(x)u,v，则显然f(x)c+u,c+v. 3.应用“平方开方法”四例能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧. 例1 求函

15、数f(x)=b-x+x-a的值域. 解：首先，当xa,b时，f(x)0；其次，f(x)是函数f1(x)=b-x与f2(x)=x-a的和；最后，f2(x)=b-a+2(b-x)(x-a)=b-a+2-x2+(a+b)x-ab 可见，函数f(x)满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对f(x)平方、开方得f(x)=b-a+2-x2+(a+b)x-ab.这里，g(x)=2-x2+(a+b)x-ab.对g(x)根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得g(x)的值域为0,b-a.于是，f(x)的值域为b-a,2(b-a). ab例2 求函数f(x)=b-kx+kx-a的值域. kk解：显然，该

18、(5-x)+2-x2+8x-15由x3,5,得-x2+8x-150,1y2,421 0 x 原函数值域为2,2 . 一一映射法原理：因为就可以求另一个变量范围。在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，例1. 求函数的值域。解：定义域为由得故或解得故函数的值域为多种方法综合运用例1 求函数解：令的值域。，则当时，当且仅当t=1，即时取等号，所以当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法例2. 求函数解：的值域。令，则当当时，时，此时都存在，故函数的值域为x例3.求函数 y=2(x0) 的值域解：如图，值域为(0,1 例4

19、.求函数y=13-x2+2x 的值域 t122解：令t=-x+2x=-(x-1)+1，则y=(t1) 3 由指数函数的单调性知，原函数的值域为,+ 例5.求函数y=x+1-x2的值域解： Q13-1x1 设x=cosqq0,p y=cosq+sinq=cosq+sinq=2sin(q+)-1,2 4原函数的值域为-1,2p小结：若题目中含有a1，则可设 a=sinq,-p2qp2(或设a=cosq,0qp) 若题目中含有a2+b2=1 ，其中0q2p 则可设a=cosq,b=sinq若题目中含有1-x2，则可设x=cosq，其中0qp 若题目中含有1+x2，则可设x=tanq，其中-p2q0

20、,y0,r0)，则可设x=其中q0,rcos2q,y=rsin2q p 2x2-1例6、求函数y=2 的值域 x+1解法一：Qx=21+y01-y-1y1 原函数的值域为2-11) 2 解法二：设x+1=t ， 22则 y=1-2=1-(t1) tx+122-1y1 t原函数值域为(-1,1Qt10解法三：原函数可化为 (y-1)x+0x+y+1=0 1） y=1时不成立 2） y1时，D00-4(y-1)(y+1)0-1y1 2-1y1 综合1）、2）值域y|-1y1 解法四：QxRpp设x=tanqq-,，则 221-tan2qy=-=-cos2qQ2q(-p,p)cos2q(-1,1

21、 1+tan2q 原函数的值域为y|-1y1 ax2+bx+c22小结：已知分式函数y=(a+d0) ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；2dx+ex+f如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为 y=二次式一次式(或y=)的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；一次式二次式如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数y=x+注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用a(x0)的单调性去解。 x的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

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