中考数学函数综合题题型及解题方法讲解.docx

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1、中考数学函数综合题题型及解题方法讲解二次函数综合题型精讲精练 主讲：康老师 题型一：二次函数中的最值问题 例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A，O，B三点 求抛物线y=ax2+bx+c的解析式； 若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值 解析：把A，O，B三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得 解这个方程组，得a=，b=1，c=0 所以解析式为y=x2+x 由y=x2+x=2+，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB OM=BM OM+AM=BM+AM 连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小 过点A作ANx轴于点N， 第 1

2、 页 共 22 页 在RtABN中，AB=因此OM+AM最小值为= =4， 方法提炼：已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、B，求AM+BM最小值的问题，我们只需做出点A关于这条直线的对称点A，将点B与A连接起来交直线与点M，那么AB就是AM+BM的最小值。同理，我们也可以做出点B关于这条直线的对称点B，将点A与B连接起来交直线与点M，那么AB就是AM+BM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 A A B B M 或者 M A B 例2：已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx-3a(b0，请证明：x+112,并说明x为何值时才会有x+=2. xx若抛物线先向上平移4个单位，

3、再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m,y1)，B(n,y2)是C2上的两个不同点，且满足：AOB=900，m0，no);当m=1时，m+=2，取得最小值。mm例3：如图，已知抛物线经过点A、B、C三点 求抛物线的解析式 点M是线段BC上的点，过M作MNy轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长 在的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由 解析：设抛物线的解析式为：y=a，则： a=3，a=1； 抛物线的解析式：y=x2+2x+3 设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=x

4、+3 已知点M的横坐标为m，则M、N； 故MN=m2+2m+3=m2+3m 如图； SBNC=SMNC+SMNB=MN=MNOB， 第 4 页 共 22 页 SBNC=3=2+当m=时，BNC的面积最大，最大值为； 方法提炼：因为BNC的面积不好直接求，将BNC的面积分解为MNC和MNB的面积和。然后将BNC的面积表示出来，得到一个关于m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。 题型二：二次函数与三角形的综合问题 例4：如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+

5、c经过A、B、C三点. 求抛物线的解析式; 若点D的坐标为，在直线y=-x+3上有一点P,使ABO与ADP相似，求出点P的坐标； 在的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由 第 5 页 共 22 页 解：由题意得，A，B 抛物线经过A、B、C三点，把A，B，C三点分别代入y=ax2+bx+c得方程组 9a+3b+c=0 c=3a+b+c=0a=1解得：b=-4 c=3抛物线的解析式为y=x2-4x+3 由题意可得：ABO为等腰三角形,如图所示， 若ABOAP1D，则AOOB= ADDP1第 6 页

6、共 22 页 DP1=AD=4 , P1(-1,4) 若ABOADP2 ，过点P2作P2 Mx轴于M，AD=4, ABO为等腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M， 即点M与点C重合 P2 如图设点E (x,y)，则 SDADE=1AD|y|=2|y| 2当P1(-1,4)时， S四边形AP1CE=SACP1+SACE =1124+2|y| 22 = 4+y 2y=4+y y=4 点E在x轴下方 y=-4 代入得： x2-4x+3=-4,即 x2-4x+7=0 =(-4)2-47=-120 此方程无解 当P2时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形

7、ACE = 2+y 第 7 页 共 22 页 2y=2+y y=2 点E在x轴下方 y=-2 代入得：x2-4x+3=-2 即 x2-4x+5=0，=(-4)2-45=-40 此方程无解 综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。 方法提炼：求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。 例5：如图，点A在x轴上

8、，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置 求点B的坐标； 求经过点AO、B的抛物线的解析式； 在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由 解析：如图，过B点作BCx轴，垂足为C，则BCO=90， AOB=120， 第 8 页 共 22 页 BOC=60， 又OA=OB=4， OC=OB=4=2，BC=OBsin60=4点B的坐标为； =2， 抛物线过原点O和点AB， 可设抛物线解析式为y=ax2+bx， 将A，B代入，得 解得， x2+x 此抛物线的解析式为y=存在， 如图，抛物线的对称轴是x=2，

9、直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为， 若OB=OP， 则22+|y|2=42， 解得y=2当y=2， =， 时，在RtPOD中，PDO=90，sinPOD=POD=60， POB=POD+AOB=60+120=180， 即P、O、B三点在同一直线上， y=2不符合题意，舍去， ） 第 9 页 共 22 页 点P的坐标为， |2， |2=42， 故点P的坐标为， 故点P的坐标为， 方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。 题型三：二次函数与四边形的综合问题

10、 例6：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点 求直线AC的解析式及B，D两点的坐标； 点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由 请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标 第 10 页 共 22 页 解析：当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3 点A在点B的左侧， AB的坐标分别为， 当x=0时，y=3 C点的坐标为

11、 设直线AC的解析式为y=k1x+b1， 则， 解得， 直线AC的解析式为y=3x+3 y=x2+2x+3=2+4， 顶点D的坐标为 抛物线上有三个这样的点Q， 当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为； 第 11 页 共 22 页 当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3， 代入抛物线可得点Q2坐标为； 当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3， 代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为，Q2，Q3 ，3）； 点B作BBAC于点F，使BF=BF，则B为点B关于直线AC 的对称点 连接BD交直线AC与点M，则点M为所求， 过点B作BEx轴于点E 1和2都是3的余角， 1=2

12、 RtAOCRtAFB， ， 由A，B，C得OA=1，OB=3，OC=3， AC=BF=，AB=4 ， ， ， BB=2BF=由1=2可得RtAOCRtBEB， ， ，即 第 12 页 共 22 页 BE=，BE=， 3=， ） OE=BEOB=B点的坐标为 ， 解得， x+， ， 直线BD的解析式为：y=联立BD与AC的直线解析式可得：解得， ，） M点的坐标为若抛物线y=-求抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在点P，使得PBO=POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由； 若点M是抛物线上一点，MAB的面积为S，求S的最大值 32x+bx+c过A、B两点 3解析：如答图1，连接OB

13、BC=2，OC=1 OB=4-1=3 B 第 14 页 共 22 页 将A，B代入二次函数的表达式 323-9+3b+c=0b=得3 ，解得：3 ， c=3c=3y=-3223x+x+3 33存在 如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P B，O， 直线l的表达式为y=3代入抛物线的表达式， 2得y=-32233x+x+3=； 33210， 2解得x=1P 22如答图3，作MHx轴于点H 第 15 页 共 22 页 设M， 111则SMAB=S梯形MBOH+SMHASOAB=OH+HAMHOAOB 222111=(ym+3)xm+(3-xm)ym-33 222=333xm+y

14、m-3 222ym=-SMAB=-3223xm+xm+3， 3333322333xm+(-xm+xm+3)- 2233232333393xm+xm=-(xm-)2+ 22228当xm=393时，SMAB取得最大值，最大值为 28题型五：二次函数中的证明问题 例8：如图11，已知二次函数y= 求二次函数的解析式： 求证：ACB是直角三角形； 若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请 说明理由。 第 16 页 共 22 页 1(x+2)(ax+b)的图像过点A(-4，3），B(4，4)

15、. 48 解：将A(-4，3），B(4，4)代人y=1(x+2)(ax+b)中，整理得： 484a-b=72a=13 解得 b=-204a+b=32 二次函数的解析式为：y=1315 整理得： x 2 y =+ x-48861(x+2)(13x-20) ， 4813215x+x-=0208 6 由 48 13x2+6x-40=0x1=-2,x2=整理 1320 C D 13 从而有：AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65 AC2+ BC2=AB2 故ACB是直角三角形 1315 设p(x，x2+x-) 4886201315 PH=x2+x

16、- HD=-x AC=13 BC=213 134886PHHD= 当PHDACB时有： ACBC1321520x+x-x132512586=13x+x-=0 即：48 整理 2443913213203550 x2=此时，y1= 1313135035 p1(-，） 1313 x1=- 第 17 页 共 22 页 DHPH 当DHPACB时有： =ACBC2013215-xx+x-86 整理 13x2+17x-305=0 即：13=48488781321328420122y1= x1=- x2=此时，13 1313 p2(-122284 ，）13135035122284 p2(- ，），）1313

17、1313 综上所述，满足条件的点有两个即p1(-例9： 在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点连接 OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q连接PQ，交y轴于点M作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B设点P的横坐标为m 如图1，当m=时， 求线段OP的长和tanPOM的值； 在y轴上找一点C，使OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标； 如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E 用含m的代数式表示点Q的坐标； 求证：四边形ODME是矩形 解析：把x=代入 y=x2，得 y=2，P，OP= PA丄x轴，PAMOtanP0M=tan0PA= 第 18 页 共 2

18、2 页 设 Q，tanQOB=tanPOM， Q，C2； ，），OQ=当 OQ=OC 时，则C1 P，设 Q，APOBOQ，得n=，Q ，）代入，得： 设直线PO的解析式为：y=kx+b，把P、Q ，QBO=MOA=90， QBOMOA MAO=QOB， QOMA 同理可证：EMOD 又EOD=90， 四边形ODME是矩形 题型六：自变量取值范围问题 例10：如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点ACD均在坐标轴上，且AB=5，sinB= 求过ACD三点的抛物线的解析式； 第 19 页 共 22 页 记直线AB的解析式为y1=mx+n，中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+

19、c，求当y1y2时，自变量x的取值范围； 设直线AB与中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上AE两点之间的一个动点，当P点在何处时，PAE的面积最大？并求出面积的最大值 解析：四边形ABCD是菱形， AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=； RtOCD中，OC=CDsinD=4，OD=3； OA=ADOD=2，即： A、B、C、D； 设抛物线的解析式为：y=a，得： 2a=4，a=； 抛物线：y=x2+x+4 由A、B得直线AB：y1=x； 由得：y2=x2+x+4，则： ， 第 20 页 共 22 页 解得：，； 由图可知：当y1y2时，2x5 SAPE=AEh， 当P到直线AB

20、的距离最远时，SABC最大； 若设直线LAB，则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P； 设直线L：y=x+b，当直线L与抛物线有且只有一个交点时， x+b=x2+x+4，且=0； 求得：b=，即直线L：y=x+； 可得点P 由得：E，则直线PE：y=； = x+9； ，0），AF=OA+OF=PAE的最大值：SPAE=SPAF+SAEF=综上所述，当P时，PAE的面积最大，为第 21 页 共 22 页 题型七：二次函数实际应用问题 例11：某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数y=2x+100 写

21、出每月的利润z与销售单价x之间的函数关系式； 当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ 根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？ 解析：z=y= =2x2+136x1800， z与x之间的函数解析式为z=2x2+136x1800； 由z=350，得350=2x2+136x1800， 解这个方程得x1=25，x2=43 所以，销售单价定为25元或43元， 将z2x2+136x1800配方，得z=22+512， 因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元； 结合及函数z=2x2+136x1800的图象可知， 当25x43时z350， 又由限价32元，得25x32， 根据一次函数的性质，得y=2x+100中y随x的增大而减小， 当x=32时，每月制造成本最低最低成本是18=648， 因此，所求每月最低制造成本为648万元 第 22 页 共 22 页