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1、人教九年级数学上册 第22章 二次函数知识点汇总 2.二次函数y=ax的性质 2二次函数知识点汇总 姓名： 。 21.定义：一般地，如果y=ax+bx+c(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数. (1)抛物线y=ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y=ax的图像与a的符号关系. 当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a0时，开口向上；当a0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧； ab0,与y轴交于正半轴；c0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b0时 开口向上 当a0抛物线与x轴相交； 有一个交点(顶点在x轴上)
2、D=0抛物线与x轴相切； 没有交点D 0；当 时, y 0。 抛物线y=-(x-1)+4可以看作是由抛物线y - x2向 平移 个单位， 再向 平移 个单位得到的. 知识点三、二次函数的顶点坐标的求法：1、 法 2、 法、 3、 法 1、说出下列二次函数的顶点坐标和对称轴 1y2 (x1)23 y (x-5)24y3 (x4)21 y (x2)23 2 一般地，二次函数ya(x-h)k，其顶点坐标为 2、用简捷的方法求出下列二次函数的顶点坐标 y=x-2x-1y= 3、已知抛物线y=-x2+2x+2 该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； 列表、描点、连线，得函数图象； y2222126-3xx-
3、8x-10y=60x-1.5x2y=x 32x y 1-5-4-3-2-1O12345-1x若该抛物线上两点A，B的 横坐标满足x1x21，试比较y1与y2的大小 6 知识点四、二次函数的顶点坐标及其运用 1对于二次函数y=x2-2x+m，当x= 时，y有最小值 2若抛物线y=12x+mx+3的对称轴是直线x=4，则m的值为 。 23已知二次函数y=a(x-1)2+b有最小值 1，则a与b之间的大小关系是 Aab Ba=b Cab D不能确定 4抛物线y3x+6xc的顶点是，则c 5抛物线y4x22xm的顶点在x轴上，则m_ 26已知二次函数y=2x+bx+c顶点坐标为，则b= ，c= 。 2
4、7已知二次函数yxx1，当x1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是 A、m1 B、m3 C、m1 D、m1 知识点五、二次函数的轴对称性及其运用： 关于抛物线的对称点， 从图象上看， 的两个点为对称点； 从数值来看， 的两个点为对称点； 中点坐标公式：x 轴上两点x1 、x2的中点坐标 x . 练一练： 1观察下列图形，利用二次函数图象的轴对称性，回答以下问题： 如下图1点A的坐标为；如下图2抛物线的对称轴是 . 图1 图2 图3 2小颖用几何画板软件探索方程ax+bx+c=0的实数根，作出了如上图3所示的图象，观察得一个近似根为x1=-4.5，则方程的另一个近似根为 . 3已知二次函数y
5、=ax+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示： 222x y 0 4 1 1 2 0 3 1 4 4 点A、B在函数的图象上，则当1x12,3x2y2 B y10时x的取值范围 8 O A x 22x+bx+c的图象经过B、C两点 3y C B 知识点七、二次函数的a、b、c、h、k、D的几何意义 2如下图，抛物线的解析式为yaxbxc： 如图， 由图可得： a_0 b_0 c_0 _0 由图可得： a_0 b_0 c_0 b24ac_0 知识点八、直线和抛物线的交点 1在右边的网格中作函数y=x+2x-1的图象，利用图象求： 方程x+2x-1=0的近似解 方程x+2x-1
6、=2的近似解 方程x+2x-1=-1的近似解 2已知函数yax2bxc的图象如图所示， 则关于x的方程ax2bxc40的根的情况是 A有两个不相等的正实数根 C有两个相等实数根 B有两个异号实数根 D无实数根 22223抛物线y=x2-9x与y轴的交点是： ； 抛物线y=ax2+bx+c(a0)与y轴的交点是： ； 抛物线y=x-x-2与x轴的交点是： 。 抛物线错误！未找到引用源。y=-x+5x+6与x轴交点为 ，与y轴交点为 。 二次函数错误！未找到引用源。y=mx-2x-1与x轴没有交点，则m的取值范围是 。 4若抛物线y=x+mx-1与x轴有两个交点A、B，且已知AB=3,求m的值。
7、9 2222知识点九、二次函数与二次方程、不等式的关系 1如图1一元二次方程ax2bxc3 的解为_ 2如图2是二次函数y=ax+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是 A、-1x5 C、x5 D、x5 23二次函数y=ax+bx的图象如图3，若方程ax+bx+m=0有实数根，则m的最大值为A.-3 B.3 C.-5 D.9 x y 图2 图1 图3 4利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式： 方程ax2bxc0的根为_； 方程ax2bxc3的根为_； 方程ax2bxc4的根为_； 不等式ax2bxc0的解集为_； 不等式ax2bxc0的解集为_； 不等式4ax2b
8、xc0的解集为_ 5如图，直线记为y1，抛物线记为y2： 若y1y2，则x的范围是 ； 若y1y2，则x的 值 是 ； 若y1y2，则x的范围是 。 知识点十、二次函数与实际问题 1、面积问题： 要建造一个矩形花圃，其中一边靠墙，其他三边用40米的篱笆围成矩形花圃ABCD，已知墙长16米， 设AB长为x米，矩形ABCD面积为S平方米。 求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ BCAD10 注：若顶点不在自变量的取值范围，函数的最值要根据结合图像来确定。 练一练 矩形的周长为48，一边长为 x，面积为y，则y与x 之间的函数关系式
9、为 ， 当 x= 时，函数有最大值，为 。 如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速向B点方向运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速向C点运动，当一个点到达终点，另一个点也停止运动。设运动时间为x秒，PBQ的面积为y. 求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 求PBQ的面积的最大值. 2、最大利润问题 某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x与日销售量y之间关系如下表： x y 此时每日销售利润是多少？ 练一练 某旅行社团去外地旅游，30人起组团，每人收费800元，旅行社对超
10、过30人的团给予优惠，即旅行团每增加1人，每人的收费就降低10元。请计算当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大的营业额？ 3、抛物线型桥梁、涵洞问题：运用数学建模的思想 某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，如图，大门地面宽AB4米，顶部C离地面的高度为4.4米，现在一辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高度为2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？ 11 130 70 150 50 165 35 若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？专题一、抛物线与三角形、四边形等图形结合问题 1、二次函数y=x-6x+c
11、的图象的顶点与原点的距离为5，求c的值 2、如图，抛物线 y=ax2+bx+c经过点A、B(1,0)、C(2，1)，交y轴于点M. (1)求抛物线的表达式； (2)D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F， 求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标。 23、如图，已知A，B两点坐标分别为和，动点P从A开始在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向原点O运动动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动，并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒 当t=1秒时，求梯形OPFE的面积； t为何值时，梯形OPF
12、E的面积最大，最大面积是多少？ 当梯形OPFE的面积等于APF的面积时，求线段PF的长 12 专题二、二次函数专项训练 1根据右表中的二次函数y=ax+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴 C有两个交点，且它们均在y轴同侧 D无交点 2二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表： x y 3 3 2 2 1 3 0 6 1 11 2x -1 2 7-7y -1 - -2 4 40 1 A只有一个交点 B有两个交点，且它们分别在y轴两侧 则该函数图象的顶点坐标为 A B C D 3已知函数y=ax+bx+c的图象如图1所示，那么关于x的方程 2ax2+b
13、x+c+2=0 的根的情况是 A无实数根; B有两个相等实数根; C有两个异号实数根; D有两个同号不等实数根 4抛物线y=a(x+1)(x-3)(a0)的对称轴是直线 A、x=1 B、x=-1 2C、x=-3 D、x=3 ） 图2 5抛物线y=-3x+2x-1的图象与坐标轴交点的个数是二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，则下列关系式不正确的是 B、abc0 C、a+b+c0 D、b2-4ac0 yyy7函数y=2x2与y=-2x-3的图象可能是 D ACB8生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产现OOOOxxxxy321O1234x211有一生产季节性产品的企业，其一
14、年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n+14n-24，则该企业一年中应停产的月份是 A1月、2月、3月 B2月、3月、4月 13 223C1月、2月、12月 D1月、11月、12月 9如右图为抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象，回答下列问题： 图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， 当x 时，y随x的增大而增大，当x= 时，函数有最 值，这个值为 。 当x= 时，y=0， 当x满足 时，y0， 当x满足 时，y 0；当 时, y 0。 14.已知二次函数y=2x+4x-2，解答下列问题： 用配方法二次函数y=2x+4x-2化成y=a(x+h)2+k的形式为 ， 该函数的开口方向是 ，对称轴方程是 ，顶点坐标是 。 选取适当的数据填入下表，并在右边的网格内描点画图； 222x y 当 时，y随x的增大而减小， 当 时，y随x的增大而增大。 15.如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线14 后几小时淹到拱桥顶? 15
