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1、傅里叶变换拉普拉斯变换的物理解释及区别傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号
2、进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值，我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话 ，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可
3、以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。 想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。 傅里叶变换用于信号的频率域分析，一般
4、我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。 傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦信号中振幅较大信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。 拉普拉斯变换，是工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中
5、作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。 引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及综合控制系统的校正装置提供了可能性。 拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代
6、数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。 回到正题，傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念。在自然界，指数信号exp(-x)是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换。这种变换能将微分方程转化为代数方程，在18世纪计算机还远未发明的时候，意义非常重大。从上面
7、的分析可以看出，傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式，即所乘的指数信号为exp(0)。也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，是一种更普遍的表达形式。在进行信号与系统的分析过程中，可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。这种由普遍到特殊的解决办法，已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便 2 傅氏变换与拉氏变换的比较研究 傅立叶变换与拉普拉斯变换在数学、物理以及工程技术等领域中有着极其广泛的应用。由可知两种变换的性质有很多相似之处，故两者在求解问题时也会有许多类似。另外，由于傅氏变换的积分区间为(-,+)，拉氏变换的积分区间为(0,+)，两者
8、又会在不同的领域中有着各自的应用。下面我们通过一些具体的例子对两种变换的应用做一些比较研究。 2.1 两种积分变换在求解广义积分中的应用 傅氏变换与拉氏变换都可以用来求解一些用普通方法难以求解的广义积分，下面举例说明： 1 t1例1 求函数f(t)=的傅里叶积分表达式。 0 其它解：由式有 1+f(t)=f(t)e-itdteitd2p-1+1 =f(t)e-itdteitd2p-11+ei-e-iit =ed-2pi +1sin =(cost+isint)dp-1+sincost =dp-2+sincost =d , (t1)p0当t=1时，傅里叶积分收敛于成 2f(1+0)+f(-0)1=
9、，根据以上的结果可以写22p+0f(t), t1sincostd=1 , t=12即 p2, t12.2 两种积分变换在求解积分、微分方程中的应用 例1 求解积分方程 g(t)=h(t)+-f(t)g(t-t)dt 其中h(t),f(t)都是已知的函数，且g(t)、h(t)和f(t)的傅里叶变换都存在。 分析：该积分方程中的积分区间是(-,+)，故首先应考虑用傅里叶积分变换法求解。积分项内是函数f(t)与g(t)的卷积，对方程两边取傅氏变换，利用卷积性质便可以很方便的求解该问题。 解：设Fg(t)=G(由wF),f=t()F,F(h)=t)(H卷积定义可知+-f(t)g(t-t)dt=f(t)
10、*g(t)。因此对原积分方程两边取傅里叶变换，可得 G()=H()+F()G() 因此有 G()=H()1-F()由傅里叶逆变换求得原积分方程的解为 1+itG()ed-2p1+H()it =ed-2p1-F()g(t)=3 总结 本文以上内容举例分析了傅里叶变换与拉普拉斯变换在解决问题中的应用，两种变换存在许多相似的地方，也存在一些不同的地方。从中我们可以看出，用傅里叶变换在求解问题时，要求所出现的函数必须在(-,+)内满足绝对可积这个条件。该条件的限制是非常强的，以致于常见的函数，如常数、多项式以及三角函数等，都不能满足这个条件。我们按如下方式对傅氏变换进行改造： 对于任何函数f(t)，我
11、们假定在t0)所具有的特点，那么，只要足够的大，函数f(t)e-bt的傅氏变换就有可能存在，即 Ff(t)e根据傅氏逆变换得到 -t=+-f(t)ee-t-itdt=+0f(t)e-(+i)tdt f(t)e-t=12p+-Ff(t)e-teitd 记 s=+i,F(s)=Ff(t)e-t 并注意到 ds=id 于是便可得到 F(s)=+f(t)e-stdt 0 1+istf(t)=F(s)eds -i2pi以上两式便是中的拉普拉斯变换及其逆变换。由此可以看出，拉氏变换可以看成是一种特殊的傅里叶变换7。 傅氏变换与拉氏变换存在许多类似之处，如文中所述，都能够在解决广义积分、微分积分方程、偏微分
12、方程、电路理论等问题中得到应用。但是两者之间也存在着差异。 从另一个角度讲，傅氏变换与拉氏变换相对于两种不同的积分变换20。所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数f(x)，乘上一个确定的二元函数K(x,p)，然后计算积分，即 F(p)=f(x)K(x,p)dx ab这样，便变成了另一个函数类B中的函数F(p)，其中的积分域是确定的。F(p)称为f(x)的像函数，f(x)称为F(p)的像原函数；K(x,p)是p和x的已知函数，称为积分变换的核，K(x,p)的不同形式决定着变换的不同名称。下面我们列表说明两者的不同： 积分变换名称 积分域 积分核 定义公式 逆变换公式 傅里叶变换 拉普拉斯变换 (
13、-,+) e-iwtF(w)=+-f(t)e-iwt1dt f(t)=2p+-F(w)eiwtdw 0,+) e-stF(s)=+0f(t)edt -stf(t)=1+istF(s)eds -i2pi两者之间的差异首先表现在积分域上，积分域的不同限制了拉氏变换在某些问题中的应用，在处理问题时首先应考虑到这一点。两者之间的差异在信号处理中的表现得尤为显著：傅里叶变换将时域函数f(t)变换为频域函数F(w)，时域中的变量t和频域中的变量w都是实数且有明确的物理意义；而拉普拉斯变换则是将时域函数f(t)变换为复频域函数F(s)。这时，时域变量t虽是实数，但s却是复数；与w相比较，变量s虽称为“复频率”，但其物理意义就不如w明确。但是由于常见函数大多不满足绝对可积的条件，数学上进行处理时要涉及到抽象的广义函数d函数21，故在电路理论中傅氏变换的应用远不如拉氏变换的应用广泛。
