初三+圆难题压轴题答案解析+.docx

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1、初三+圆难题压轴题答案解析+圆难题压轴题答案解析 1. 解：如图1，设O的半径为r， 当点A在C上时，点E和点A重合，过点A作AHBC于H， BH=ABcosB=4， AH=3，CH=4， AC=5， 此时CP=r=5； 如图2，若APCE，APCE为平行四边形， CE=CP， 四边形APCE是菱形， 连接AC、EP，则ACEP， AM=CM=， 由知，AB=AC，则ACB=B， CP=CE=EF=2=， =； 如图3：过点C作CNAD于点N， cosB=4， 5B45， BCG90， BGC45， AEG=BCGACB=B， 当AEG=B时，A、E、G重合， 只能AGE=AEG， ADBC，

2、 GAEGBC， =，即=， 解得：AE=3，EN=ANAE=1， CE= 2. 解：若圆P与直线l和l2都相切， 当点P在第四象限时， 过点P作PHx轴，垂足为H，连接OP，如图1所示 设y=x的图象与x轴的夹角为 当x=1时，y= tan= =60 由切线长定理得：POH=60 PH=1， tanPOH=OH= ，1） = 点P的坐标为； 当点P在第三象限时，点P的坐标为； 若圆P与直线l和l1都相切，如图2所示 同理可得：当点P在第一象限时，点P的坐标为； ，1）； ，1）； 当点P在第四象限时，点P的坐标为 若圆P与直线l1和l2都相切，如图3所示 同理可得： 当点P在x轴的正半轴上时

3、，点P的坐标为； ，0）； 当点P在y轴的正半轴上时，点P的坐标为； 当点P在y轴的负半轴上时，点P的坐标为 综上所述：其余满足条件的圆P的圆心坐标有： 、 ，1）、 ，0）、 用线段依次连接各圆心，所得几何图形，如图4所示 由图可知：该几何图形既轴对称图形，又是中心对称图形， 由对称性可得：该几何图形的所有的边都相等 该图形的周长=12=8 3. 解：连接OB，OD， DAB=120，BOD=120， O的半径为3， 劣弧的长为：3=2； 所对圆心角的度数为240， 证明：连接AC， AB=BE，点B为AE的中点， F是EC的中点，BF为EAC的中位线， BF=AC， =+=， =+， ，

4、BD=AC， BF=BD； 解：过点B作AE的垂线，与O的交点即为所求的点P， BF为EAC的中位线， BFAC， FBE=CAE， =， CAB=DBA， 由作法可知BPAE， GBP=FBP， G为BD的中点， BG=BD， BG=BF， 在PBG和PBF中， ， PBGPBF， PG=PF 4. 解：l1l2，O与l1，l2都相切， OAD=45， AB=4cm，AD=4cm， CD=4cm，AD=4cm， tanDAC=， DAC=60， OAC的度数为：OAD+DAC=105， 故答案为：105； 如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设O1与l1的切点为E， 连接O1E

5、，可得O1E=2，O1El1， 在RtA1D1C1中，A1D1=4，C1D1=4， tanC1A1D1=，C1A1D1=60， 在RtA1O1E中，O1A1E=C1A1D1=60， A1E=， A1E=AA1OO12=t2， t2=t=， +2， +6； OO1=3t=2 当直线AC与O第一次相切时，设移动时间为t1， 如图，此时O移动到O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置， 设O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2， O2Fl1，O2GA2G2， 由得，C2A2D2=60，GA2F=120， O2A2F=60， 在RtA2O2F中，O2F=2

6、，A2F=OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+4t1+t1=23t1=2， ， ， ， 当直线AC与O第二次相切时，设移动时间为t2， 记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三， 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， +2=t2， 解得：t2=2+2综上所述，当d2时，t的取值范围是：25.解：证明：如图1， CE为O的直径， CFE=CGE=90 EGEF， FEG=90 CFE=CGE=FEG=90 四边形EFCG是矩形 存在 连接OD，如图2， 四边形ABCD是矩形， A=ADC=90 点O是CE的中点， OD=OC

7、 点D在O上 FCE=FDE，A=CFE=90， CFEDAB = 2t2+2 AD=4，AB=3， BD=5， SCFE=SDAB 234 S矩形ABCD=2SCFE = 四边形EFCG是矩形， FCEG FCE=CEG GDC=CEG，FCE=FDE， GDC=FDE FDE+CDB=90， GDC+CDB=90 GDB=90 当点E在点A处时，点F在点B处，点G在点D处时，直径FGBD， 如图2所示， 此时O与射线BD相切，CF=CD=3 当CFBD时，CF最小，此时点F到达F， 如图2所示 SBCD=BCCD=BDCF 43=5CF CF= CF4 ， 2S矩形ABCD=S矩形ABCD

8、4 S矩形ABCD12 矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为GDC=FDE=定值，点G的起点为D，终点为G， 点G的移动路线是线段DG GDC=FDE，DCG=A=90， DCGDAB =DG= 点G移动路线的长为来6.解：以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC， 以点C为圆心，AC为半径作C，交y轴于点P1、P2 在优弧AP1B上任取一点P，如图1， 则APB=ACB=60=30 使APB=30的点P有无数个 故答案为：无数 当点P在y轴的正半轴上时， 过点C作CGAB，垂足为G，如图1 点A，点B， OA=1，OB=5 AB=4 点C为圆心，CGAB， AG=BG=AB=2 OG=

9、OA+AG=3 ABC是等边三角形， AC=BC=AB=4 CG=2 点C的坐标为 过点C作CDy轴，垂足为D，连接CP2，如图1， 点C的坐标为， CD=3，OD=2 P1、P2是C与y轴的交点， AP1B=AP2B=30 CP2=CA=4，CD=3， DP2= 点C为圆心，CDP1P2， P1D=P2D= P2P1 当点P在y轴的负半轴上时， 同理可得：P3P4 综上所述：满足条件的点P的坐标有： 、当过点A、B的E与y轴相切于点P时，APB最大 当点P在y轴的正半轴上时， 连接EA，作EHx轴，垂足为H，如图2 E与y轴相切于点P， PEOP EHAB，OPOH， EPO=POH=EHO

10、=90 四边形OPEH是矩形 OP=EH，PE=OH=3 EA=3 EHA=90，AH=2，EA=3， EH=+） = OP= P 当点P在y轴的负半轴上时， 同理可得：P 理由： 若点P在y轴的正半轴上， 在y轴的正半轴上任取一点M， 连接MA，MB，交E于点N，连接NA，如图2所示 ANB是AMN的外角， ANBAMB APB=ANB， APBAMB 若点P在y轴的负半轴上， 同理可证得：APBAMB 综上所述：当点P在y轴上移动时，APB有最大值， 此时点P的坐标为和 7解答： 证明：如图，连接PM，PN， P与x轴，y轴分别相切于点M和点N， PMMF，PNON且PM=PN， PMF=

11、PNE=90且NPM=90，PEPF， NPE=MPF=90MPE， 在PMF和PNE中，PMFPNE，PE=PF， 解：当t1时，点E在y轴的负半轴上，如图， 由得PMFPNE，NE=MF=t，PM=PN=1， b=OF=OM+MF=1+t，a=NEON=t1， ba=1+t=2，b=2+a， 0t1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上， 同理可证PMFPNE， b=OF=OM+MF=1+t，a=ONNE=1t， b+a=1+t+1t=2， b=2a， 如图3，当1t2时， F，F和F关于点M对称， F 经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q， QOQ=1t， 由得PMFPNE N

12、E=MF=t，OE=t1 当OEQMPF解得，t=， =， ，当OEQMFP时，=，解得，t=， 如图4，当t2时， F，F和F关于点M对称， F 经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q， QOQ=t1， 由得PMFPNE NE=MF=t，OE=t1 当OEQMPF=，无解， 当OEQMFP时，所以当t=，t=，=，解得，t=2， ，t=2时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似 8.答： ：DFAB，EFAC， BDF=CEF=90 ABC为等边三角形， B=C=60 BDF=CEF，B=C， BDFCEF BDF=90，B=60， sin60=BF=m

13、， DF=m，BD= =，cos60= AB=4， AD=4 SADF=ADDF =m2+m m 同理：SAEF=AEEF = S=SADF+SAEF =m2+m+2 2+3其中0m4 0，024， 当m=2时，S取最大值，最大值为3S与m之间的函数关系为： S2+3 当m=2时，S取到最大值，最大值为3如图2， A、D、F、E四点共圆， EDF=EAF ADF=AEF=90， AF是此圆的直径 tanEDF=tanEAF= ， C=60， =tan60= x，EA=2x 设EC=x，则EF=AC=a， 2x+x=A x= EF=，AE= AEF=90， AF=此圆直径长为= 9. 解答：解

14、：连接OA，过点B作BHAC，垂足为H，如图1所示 AB与O相切于点A， OAAB OAB=90 OQ=QB=1， OA=1 AB= ABC是等边三角形， AC=AB=，CAB=60 sinHAB=， HB=ABsinHAB = = SABC=ACBH = = ABC的面积为 当点A与点Q重合时， 线段AB与圆O只有一个公共点，此时=0； 当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示， 线段A1B与圆O只有一个公共点， 此时OA1BA1，OA1=1，OB=2， cosA1OB= A1OB=60 当线段AB与圆O只有一个公共点时， 的范围为：060 连接MQ，如图3所示 PQ是O的直径， PM

15、Q=90 OAPM， PDO=90 PDO=PMQ PDOPMQ = PO=OQ=PQ PD=PM，OD=MQ 同理：MQ=AO，BM=AB AO=1， MQ= OD= PDO=90，PO=1，OD=， PD=PM= DM= ADM=90，AD=A0OD=， AM= ABC是等边三角形， AC=AB=BC，CAB=60 BM=AB， AM=BM CMAB AM=BM=， ，AB= AC= CM= CM的长度为 10. 解答：证明：CD是O的直径， DFC=90， 四边形ABCD是平行四边形， A=C，ADBC， ADF=DFC=90， DE为O的切线， DEDC， EDC=90， ADF=ED

16、C=90， ADE=CDF， A=C， ADECDE； 解：CF：FB=1：2， 设CF=x，FB=2x，则BC=3x， AE=3EB， 设EB=y，则AE=3y，AB=4y， 四边形ABCD是平行四边形， AD=BC=3x，AB=DC=4y， ADECDF， =， =， x、y均为正数， x=2y， BC=6y，CF=2y， 在RtDFC中，DFC=90， 由勾股定理得：DF=2y， O的面积为2=DC2=2=4y2， 四边形ABCD的面积为BCDF=6y2y=12y2， y2=：3 O与四边形ABCD的面积之比为4y2：12 11. 证明：， 所对的圆周角=180所对的圆周角=所对DPF=

17、180APD=180的圆周角=APC 在PAC和PDF中， ， PACPDF 解：如图1，连接PO，则由都为等腰直角三角形 ，有POAB，且PAB=45，APO、AEF在RtABC中， AC=2BC， 2222AB=BC+AC=5BC， AB=5， BC=， AC=2， CE=ACsinBAC=AC AE=ACcosBAC=AC=2=2=2， =4， AEF为等腰直角三角形， EF=AE=4， FD=FC+CD=+2CE=EF+CE=4+2=6 APO为等腰直角三角形，AO=AB=， AP= PDFPAC， ， PD=， 解：如图2，过点G作GHAB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连

18、接CG并延长交O于Q， HCCB，GHGB， C、G都在以HB为直径的圆上， HBG=ACQ， C、D关于AB对称，G在AB上， Q、P关于AB对称， ， PCA=ACQ， HBG=PCA PACPDF， PCA=PFD=AFD， y=tanAFD=tanPCA=tanHBG=HG=tanHAGAG=tanBACAG=y= =x =， 12. 解答： 解：证明：连接OH，如图所示 四边形ABCD是矩形， ADC=BAD=90，BC=AD，AB=CD HPAB， ANH+BAD=180 ANH=90 HN=PN=HP= OH=OA=， sinHON= HON=60 BD与O相切于点H， OHBD

19、 HDO=30 OD=2 AD=3 BC=3 BAD=90，BDA=30 tanBDA= AB=3 HP=3， AB=HP ABHP， 四边形ABHP是平行四边形 BAD=90，AM是O的直径， BA与O相切于点A BD与O相切于点H， BA=BH 平行四边形ABHP是菱形 EFG的直角顶点G能落在O上 如图所示，点G落到AD上 EFBD， FEC=CDB CDB=9030=60， CEF=60 由折叠可得：GEF=CEF=60 GED=60 CE=x， GE=CE=xED=DCCE=3x cosGED= x=2 GE=2，ED=1 GD= OG=ADAOGD=3= OG=OM 点G与点M重合

20、 此时EFG的直角顶点G落在O上，对应的x的值为2 当EFG的直角顶点G落在O上时，对应的x的值为2 如图， 在RtEGF中， tanFEG=FG= x x=x 2S=GEFG=x如图， ED=3x，RE=2ED=62x， GR=GEER=x=3x6 tanSRG=， SG= SSGR=SGRG= = x， 22SGEF=S=SGEFSSGR =xx+622 x6 x；当2x3时，S=22综上所述：当0x2时，S=x+62x6 当FG与O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FKAD，垂足为K，如图所示 四边形ABCD是矩形， BCAD，ABC=BAD=90 AQF=CFG=60 OT=

21、， OQ=2 AQ=+2 FKA=ABC=BAD=90， 四边形ABFK是矩形 FK=AB=3，AK=BF=3x KQ=AQAK=22+x x） 03S=x=22， 26 6 FG与O相切时，S的值为13 解答：证明：连结OC、OE，OE交AB于H，如图1， E是弧AB的中点， OEAB， EHF=90， HEF+HFE=90， 而HFE=CFD， HEF+CFD=90， DC=DF， CFD=DCF， 而OC=OE， OCE=OEC， OCE+DCE=HEF+CFD=90， OCCD， 直线DC与O相切； 解：连结BC， E是弧AB的中点， 弧AE=弧BE， ABE=BCE， 而FEB=BE

22、C， EBFECB， EF：BE=BE：EC， EFEC=BE2=2=r2； 解：如图2，连结OA， 弧AE=弧BE， AE=BE=r， 设OH=x，则HE=rx， 在RtOAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2， 在RtEAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+2=2， x22=r22，即得x=r， HE=rr=r， 在RtOAH中，AH=OEAB， =， AH=BH， 而F是AB的四等分点， HF=AH=， 在RtEFH中，EF=EFEC=r2， EC=rEC=r2， r =r， 14. 解：连结O1A、O2B，如图，设O1的半径为r，O2的半径为R， O1与O2外切与点D

23、， 直线O1O2过点D， MO2=MD+O2D=4+R， 直线l与两圆分别相切于点A、B， O1AAB，O2BAB， tanAM01=， AM01=30， 在RtMBO2中，MO2=O2B=2R， 4+R=2R，解得R=4； ， 即O2的半径为4AM02=30， MO2B=60， 而O2B=O2D， O2BD为等边三角形， BD=O2B=4，DBO2=60， ABD=30， AM01=30， MO1A=60， 而O1A=O1D， O1AD=O1DA， O1AD=MO1A=30， DAB=60， ADB=1803060=90， 在RtABD中，AD=BD=4，AB=2AD=8， ADB内切圆的半

24、径=ADB内切圆的面积=存在 在RtMBO2中，MB=O2B=22， ）； 2）2=连接PA，如图1所示 POAD， AO=DO AD=2OA=， 点P坐标为， OP=1 PA=2 BP=CP=2 B，C 连接AP，延长AP交P于点M，连接MB、MC 如图2所示，线段MB、MC即为所求作 四边形ACMB是矩形 理由如下： MCB由ABC绕点P旋转180所得， 四边形ACMB是平行四边形 BC是P的直径， CAB=90 平行四边形ACMB是矩形 过点M作MHBC，垂足为H，如图2所示 在MHP和AOP中， MHP=AOP，HPM=OPA，MP=AP， MHPAOP MH=OA=OH=2 点M的坐

25、标为 ，PH=PO=1 在旋转过程中MQG的大小不变 四边形ACMB是矩形， BMC=90 EGBO， BGE=90 BMC=BGE=90 点Q是BE的中点， QM=QE=QB=QG 点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示 MQG=2MBG COA=90，OC=1，OA=， tanOCA= OCA=60 MBC=BCA=60 MQG=120 在旋转过程中MQG的大小不变，始终等于120 16 解：如图1， AB是O的直径， AEB=90 AEBC 如图1， BF与O相切， ABF=90 CBF=90ABE=BAE BAF=2CBF BAF=2BAE BAE=CAE CBF

26、=CAE CGBF，AEBC， CGB=AEC=90 CBF=CAE，CGB=AEC， BCGACE 连接BD，如图2所示 DAE=DBE，DAE=CBF， DBE=CBF AB是O的直径， ADB=90 BDAF DBC=CBF，BDAF，CGBF， CD=CG F=60，GF=1，CGF=90， tanF=CG=tan60=CG=， CD= AFB=60，ABF=90， BAF=30 ADB=90，BAF=30， AB=2BD BAE=CAE，AEB=AEC， ABE=ACE AB=AC 设O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=r ADB=90， AD=r DC=ACAD=2rr=r=

27、r=2+3 O的半径长为2+3 17 解答： 解：当k=1时，抛物线解析式为y=x1，直线解析式为y=x+1 2联立两个解析式，得：x1=x+1， 解得：x=1或x=2， 当x=1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3， A，B 设P 如答图2所示，过点P作PFy轴，交直线AB于点F，则F 2222PF=yFyP=x+x+2 SABP=SPFA+SPFB=PF+PF=PF=PF SABP=+当x=时，yP=x1= ABP面积最大值为，此时点P坐标为 222设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F， 则E，F，OE=，OF=1 在RtEOF中，由勾股定理得：EF=2= 令y=

28、x+xk=0，即=0，解得：x=k或x=1 C，OC=k 假设存在唯一一点Q，使得OQC=90，如答图3所示， 则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时OQC=90 设点N为OC中点，连接NQ，则NQEF，NQ=CN=ON= EN=OEON= NEQ=FEO，EQN=EOF=90， EQNEOF， ，即：， 解得：k=k0， k= ， 存在唯一一点Q，使得OQC=90，此时k= 218 解：设抛物线为y=a1， 抛物线经过点A， 3=a1，抛物线为2； ； 相交 证明：连接CE，则CEBD， 当时，x1=2，x2=6 A，B，C， 对称轴x=4， OB=2，AB=，BC=4

29、， ABBD， OAB+OBA=90，OBA+EBC=90， AOBBEC， =，即2， =，解得CE=， 抛物线的对称轴l与C相交 如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q； 可求出AC的解析式为设P点的坐标为 ）， ）； 2PQ=m+3=m+m 2SPAC=SPAQ+SPCQ=6 =+2； ； 当m=3时，PAC的面积最大为此时，P点的坐标为 19、 ：如图1，设O与AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，则AD=AF，BD=BE，CE=CF O为ABC的内切圆， OFAC，OEBC，即OFC=OEC=90 C=90， 四边形CEOF是矩形， OE=OF， 四边形C

30、EOF是正方形 设O的半径为rcm，则FC=EC=OE=rcm， 在RtABC中，ACB=90，AC=4cm，BC=3cm， AB=5cm AD=AF=ACFC=4r，BD=BE=BCEC=3r， 4r+3r=5， 解得 r=1，即O的半径为1cm 如图2，过点P作PGBC，垂直为G PGB=C=90，PGAC PBGABC，PG=，BG= BP=t， 若P与O相切，则可分为两种情况，P与O外切，P与O内切 当P与O外切时， 如图3，连接OP，则OP=1+t，过点P作PHOE，垂足为H PHE=HEG=PGE=90， 四边形PHEG是矩形， HE=PG，PH=CE， OH=OEHE=1在RtO

31、PH中， 由勾股定理，解得 t= 当P与O内切时， 如图4，连接OP，则OP=t1，过点O作OMPG，垂足为M MGE=OEG=OMG=90， 四边形OEGM是矩形，MG=OE，OM=EG， ， ，PH=GE=BCECBG=31=2 PM=PGMG=在RtOPM中， 由勾股定理，OM=EG=BCECBG=31=2， ，解得 t=2 综上所述，P与O相切时，t=s或t=2s 20. ：如图2，连接OA、OB、OC、OD S=SAOB+SBOC+SCOD+SAOD=r= +=， 如图3，过点D作DEAB于E， 梯形ABCD为等腰梯形， AE=5， EB=ABAE=215=16 在RtAED中， AD=13，AE=5，DE=12， DB=SABD= SCDB=20 =126， =66， =