初中数学一题多解题.docx

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1、初中数学一题多解题初中数学一题多解题 例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数 方法一、 设较小的奇数为x,另外一个就是x+2 x(x+2)=323 解方程得：x1=17,x2=-19 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法二、 设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x 则有：x-323/x=2 解方程得：x1=19,x2=-17 同样可以得出这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法三、 设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为： 2x-1,2x+1 (2x-1)(2x+1)=323 即4x2-1=323 x2=81 x1=9,x2=-9 2x1-1

2、=17,2x1+1=19 2x2-1=-19,2x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法四、 设两个连续奇数为x-1,x+1 则有x2-1=323 x2=324=4*81 x1=18,x2=-18 x1-1=17,x1+1=19 x2-1=-19,x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？ 解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得

3、 13x+5y+9z=9.25.2x+4y+3z=320 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。 1. 凑整法 +，得5x+3y+4z=415.3 +，得7(x+y+z)=7.35 x+y+z=105. 解1： 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元 解2：原方程组可变形为 13(x+y+z)-4(2y+z)=9.25 .2(x+y+z)+(2y+z)=320 解之得：x+y+z=105. 2. 主元法 解3：视x、y为主元，视z为常数，解、 得x=0

4、5.-05.z .-05.z，y=055 x+y+z=055.+05.-z+z=105. 解4：视y、z为主元，视x为常数，解、 得y=0.05+x，z=1-2x x+y+z=105.+x-2x+x=105. 解5：视z、x为主元，视y为常数，解、 .-2y 得x=y-0.05，z=11 x+y+z=y-0.05+y+11.-2y=105. 3. “消元”法 解6：令x=0，则原方程组可化为 5y+9z=9.25y=0.05 4y+3z=32.z=1 x+y+z=105. 解7：令y=0，则原方程组可化为 13x+9z=9.25x=-0.05 2x+3z=320.z=11. x+y+z=105

5、. 解8：令z=0，则原方程组可化为 .13x+5y=9.25x=05 2x+4y=320.y=055. x+y+z=105. 4. 参数法 解9：设x+y+z=k，则 13x+5y+9z=9.25 2x+4y+3z=320.x+y+z=k -3，得x-y=-0.05 3-，得x-y=3k-32. 由、得3k-32.=-005. k=105. 即x+y+z=105. 5. 待定系数法 解10. 设 x+y+z=a(13x+5y+9z)+b(2x+4y+3z)=(13a+2b)x+(5a+4b)y+(9a+3b)z 则比较两边对应项系数，得 13a+2b=1a=121 5a+4b=1 49a+3

6、b=1b=21 将其代入中，得 x+y+z=1419.25+32.=22.05=105. 212121 附练习题 1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？ 2. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。问若购甲、乙、丙各1件共需多少元？ 平面几何 在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现

7、解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。 “一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论； 3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例； 6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。 19、AE平分BAC交BC于E， 求证：CE：EB=CD：CB 20、CE平分BCD，AF平分BAC交BC于F 求证：BFCE= BEDF AECF 设AE与CD交于Q，则FQBC 21、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F， 求证： CE：BC=CF：AC 22、已知，ABC中，ACB

8、=90度，CDAB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F， 求证： EF是O1和O2的一条外公切线 23、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2， 求证：点A到圆O2的切线长和AC相等 24、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足， E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F， 求证：DF：CF=BC：AC 25、如图，O1与O2外切与点D， 内公切线DO交外公切线EF于点O， 求证：OD是两圆半径的比例中项。 题14解答： 因为CD2=ADDB AC2=ADAB BC2=BDAB 所以1/

9、AC2+1/BC2 =1/+1/ =/ =AB/ADBDAB =1/ADBD =1/CD2 15题解答： 因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM AC2-BC2=AD*AB-DB*AB =(AD-DB)AB =2DM*AB 26、 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，FGAB交BC于点G， 求证：CE=BG 27、 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，FGBC交AB于点G，连结EG， 求证：四边形CEGF是菱形 28、 已知，ABC中，ACB=

10、90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F， 求证：CE=CF 29、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1， 求证：过点D的圆O1的切线平分BC 30、 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E，交CD于F， 求证：CED平分线段AF 31、 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，A=30度， 求证：BD=AB/4 32、 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作BCE=BCD P为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N 求证：PQ/PN=QM/MN

11、32题证明： 作NSCD交直线AC与点S， 则PQ/PN=CQ/SN 又BCE=BCD QM/MN=CQ/CN BCE+NCS=BCD +ACD NSCD，NSC=ACD NSC=NCS SN=CN PQ/PN=QM/MN 题33 在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE， 求证：DEAB= AEBE 题33证明 CB2= BDAB 因EB=CB EB2= BDAB EB：BD=AB：BE 又EBD=ABE EBDABE EB：AB=DE：AE DEAB= AEBE 题34 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足， AE平分CD于F，EGAB交AB于点G， 求证：E

12、G2= BEEC 证明：延长AC、GE，设交点为H， EBGEHC EB：EH=EG：EC EHEG= BEEC 又HGCD，CF=FD EH=EG EG2= BEEC 题35 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足， AE平分BCA交BC于点E，交CD于F， 求证：2CFFD = AFEF 题36、 已知，ABC中， CDAB，D为垂足，DEAC于E，DFBC于F， 求证：CE/BC=CF/AC 题37 已知，ABC中，D是AB上一点，满足ACD=ABC，又CE平分BCD 求证：AE2= ADAB 题38 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，PC为ABC的切线 求

13、证：PA/AD=PB/BD 题39 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足， E为BC上任意一点，连结AE，CFAE，F为垂足，连结DF， 求证：ADFAEB 题40： 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足 求证：SADC：SBDC=AD：DB 题41 已知，如图，ABC中， CDAB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD， 求ACB的度数。 题42 已知，CD是ABC的AB边上的高， D为垂足，且AD/CD=CD/BD， 则ACB一定是90度吗？为什么？ 题43： 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ADC的内切圆O1， BDC的内切圆O2， 求证：S

14、O1：SO2=AD：DB 题44： 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ADC的内切圆O1的半径R1，BDC的内切圆O2的半径R2，ABC的内切圆O的半径R，求证：R1+R2+R=CD 题45、 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD为直径的圆O2，设O1和O2在ABC内交于P 求证： PAD的面积和PBC的面积相等 题45解： CAP=CDP=DBP RtAPCRtBPD APPD= BPPC 又APD和CPB互补 S PAD=1/2APPDsinAPD S PBD=1/2BPPCsinCPB S PAD= S PBD 题46 已

15、知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，PC为ABC的切线，又CE平分ACB交ABC与E，交AB与D ， 若PA=5，PC=10， 求 CDCE的值 题47 在题46中，求sinPCA 题48 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足， AE平分ACB交BC于E，EGAB交AB于点G， 求证：AC=AG 、AG2= ADAB 、G在DCB的平分线上 、FGBC 、四边形CEFG是菱形 题49 题49解答： 题目50 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，如果此时AC=EC， 求证： AF= 2FE 题50

16、解： 过点E作EMCF，M为垂足，则AD：DB=AC2：CB2=4：1 又DB：EM=1：2 所以，AD：EM=2：1 ADFEMF AF：EF=AD：EM=2：1 AF=2EF 题目51 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，连结FB，如果此时AC=EC， 求证： ABC=EBF 解法1、 作ACB的平分线交AB于点G，易证ACGCEF CG=EF 证CBGEBF ABC=EBF 题51解法2 作ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P， 则点G 为ACE的垂心，GFCE 又AEC=GCE， 四边形CGFE为等腰梯形 CG

17、=EF 再证CBGEBF ABC=EBF 题51解法3 作ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P， 则点G 为ACE的垂心， 易证APGCPF PG=PF 又GPB=FPB， PB=PB PBGFBP PBG=FBP ABC=EBF 题51解法4 由题50得，AF=2EF AF：EF=AC：BE=2 又CAF=BEF=45度 ACFEBF ACF=EBF 又ACF=CBA ABC=EBF 题51解法5 作MECE交CD的延长线于M， 证ABCCME ABC=M 再证MEFBEF EBM=M ABC=EBF 题51解法6 作点B关于点C的对称点N，连结AN， 则NB=2BE，又由题50，AF=

18、2EF， BFAN EBM=N 又ABC=N ABC=EBF 题51解法7 过点C作CHBF交AB于M， B为CE的中点， F为HE的中点 又由题50，AF=2EF， H为AF的中点 又CHBF M为AB的中点 MCB=MBC 又EBM=MCB ABC=EBF 题目52 已知，ABE中，AC=EC，ACE=90度， CDAB交斜边AB于F，D为垂足， B为CE的中点，连结FB， 求证： 、AF=2EF 、ABC=EBF 、EBF= E+BAE 、ABF=2DAC 、AB：BF=AE：EF 、CD：DF=AE：AF 、AD：DB=2AF：EF 、CD/DFFA/AEEB/BC=1 题目53 已知

19、如图， 、AC=CE 、ACCE 、CB=BE 、CFAB 求证： 、AF=2EF 、ABC=EBF 题目54 已知如图， 、AF=2EF 、ACCE 、CB=BE 、CFAB 求证： 、AC=CE 、ABC=EBF 平面几何一题多变 题目55 已知如图， 、AC=CE 、AF=2EF 、CB=BE 、CFAB 求证： 、ACCE 、ABC=EBF 题目56 已知如图， 、AC=CE 、ACCE 、AF=2EF 、CFAB 求证： 、CB=BE 、ABC=EBF 题目57 已知如图， 、AC=CE 、ACCE 、AF=2EF 、CB=BE 求证： 、CFAB 、ABC=EBF 题目58 已知如

20、图， 、CB=BE 、ABC=EBF 、ACCE 、CFAB 求证： 、AF=2EF 、AC=CE 题目59 已知如图， 、AC=CE 、CFAB 、CB=BE 、ABC=EBF 求证： 、AF=2EF 、ACCE 题目60 已知如图， 、AC=CE 、ACCE 、ABC=EBF 、CFAB 求证： 、AF=2EF 、CB=BE 题目61 已知如图， 、AC=CE 、ACCE 、CB=BE 、ABC=EBF 求证： 、AF=2EF 、CFAB 题目62 已知如图， 、AF=2EF 、CFAB 、CB=BE 、ABC=EBF 求证： 、AC=CE 、ACCE 题目63 已知如图， 、ACCE 、

21、AF=2EF 、CFAB 、ABC=EBF 求证： 、AC=CE 、CB=BE 题目64 已知如图， 、CB=BE 、ABC=EBF 、ACCE 、AF=2EF 求证： 、AC=CE 、CFAB 题目65 已知如图， 、AC=CE 、AF=2EF 、CFAB 、ABC=EBF 求证： 、ACCE 、CB=BE 题目66 已知如图， 、AC=CE 、AF=2EF 、CB=BE 、ABC=EBF 求证： 、ACCE 、CFAB 题目67 已知如图， 、AC=CE 、ACCE 、AF=2EF 、ABC=EBF 求证： 、CB=BE 、CFAB 题目68 已知如图，ABC中，ACB=90度，CDAB，

22、D为垂足， CM平分ACB，如果SACM=30，SDCM=6， 求SBCD=？ 解： 设SBCD=x,则SACM/ SCMB=30/=AM/MB SACD/ SCDB=36/ x=AD/DB 又AC2= ADAB BC2= BDAB AC2/ BC2=AD/BD CM平分ACB 2=AD/BD 30/(6+x)2=36/x 解方程得x=4或x=9 SBCD=4或SBCD=9 题目69 已知如图，ABC中，ACB=90度，D 为斜边AB上一点，满足AC2= ADAB 求证：CDAB 题目70 已知如图，ABC中，ACBC,ACB=90度， CM平分ACB，且CM+CB=AC， 求证：1/AC-1

23、/BC=2 题70证明： 过点M作MDBC，D为垂足，作MDAC，E为垂足， 设ME=x,AC=b,BC=a,则CM=2 x，AE=b-x, 由AE/AC=ME/BC，得(b-x)/b=x/a, x=ab/(a+b) 又CM+CB=AC 2 x+a=b, ab/(a+b)=(b-a)/ 2 整理得：b2-a2=2ab 两边都除以ab, 1/AC-1/BC=2 题目71(依题68变) 已知如图，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足， CM平分ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的两个根， 求AD、MD的长。 题目71解： 显然，方程x2-14x+48=0的两根为6和8， 又A

24、CBC AC=8，BC=6 由勾股定理AB=10 ACDABC，得AC2= ADAB AD=6.4 CM平分ACB AM/MB=AC/CB 解得，AM=40/7 MD=AD-AM=24/35 题目72 已知如图，ABC中，ACB=90度，AB=2AC，现在将它折成如右图的形状，这时顶点A正好落在BC上，而且AMN是正三角形， 求AMN与ABC的面积之比。 题72解： ACB=90度，AB=2AC B=30度 由题意，四边形AMAN是菱形， ABMABC AM/AC=BM/AB 设AM=x, AB=2AC=2a x/a=(2a-x)/2a x=2a/3 由三角形面积公式，得 SAMN：SABC=

25、2：9 题目73 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足 求证：AB+CDAC+BC 题73的证明： 由三角形面积公式，得ABCD=ACBC 2ABCD=2ACBC 又勾股定理，得AB2=AC2+BC2 AB2+2ABCD =AC2+BC2+2ACBC(等式性质) AB2+2ABCD =2 AB2+2ABCD+CD2 2 (AB+CD)2 2 又AB、CD、AC、BC均大于零 AB+CDAC+BC 题目74 已知，ABC中，ACB90度，CDAB，D为垂足 求证：AB+CDAC+BC 题74证明：如图，作CBAC交AB于B, 于是有 ABCD=ACBC 2ABCD=2ACBC 又勾

26、股定理，得AB2=AC2+BC2 AB2+2ABCD =AC2+BC2+2ACBC(等式性质) AB2+2ABCD =2 AB2+2ABCD+CD2 2 (AB+CD)2 2 又AB、CD、AC、BC均大于零 AB+CDAC+BC 在ABB中,BBCB-CB +得AB BB+CDAC+BC CB-CB AB+CDAC+BC 题目75 已知如图，ABC中， CDAB，D为垂足， CT平分ACB，CM为AB边上的中线， 且ACD=DCT=TCM=MCB 求证：ACB=90度 题目75的证明： 延长CT交三角形ABC的外接圆于N，连结MN， 则N为弧AB的中点，所以MNAB， 又CDAB， MNCD

27、 DCT=TNM 又DCT=TCM TCM=TNM CM=NM CN的垂直平分线必过点M， 又CM为AB边上的中线，MNAB AB的垂直平分线必过点M， 即M为两条弦的垂直平分线的交点， M为三角形ABC的外接圆的圆心， 因此AB为ABC的外接圆的直径。 ACB=90度 题目76 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足， ACB 的平分线CG交AB边上的中垂线于点G ， 求证：MC=MG 题目77 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，CM为AB边上的中线，CD是ACB 的平分线，AC=75cm, BD=80cm, 求CD、CM、CE的长 题目78 已知，ABC中，A

28、CB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点， 且弧AC=弧CE，又AE交CD于M， 求证：AM=CM 题目79 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且弧AC=弧CE，又BC交AE于G，连结BE 求证：BG2= ABBE- AGGE 题目80 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P， 求证：CD2= DMDP 题目81 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P，如果CD平分AE， 求证： 2DMDP= BEEP 题目82 已知，ABC中，AC

29、B=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点， 且弧AC=弧CE，又直线AC与直线BE交于H， 求证： AB=BH 题目83(由题44变) 求证：直角三角形两条直角边的和等于斜边与内切圆直径的和。 题目84 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，MN切ABC与C点 求证： BC平分DCN 题目85 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，MN切ABC与C点， AFMN，F为垂足，AEMN，E为垂足， 求证：CD=CE=CF 题目86 已知，ABC中，ACB=90度， 以BC为直径的圆交AB于点D，以AC为半径的圆交AB于点E， 求证：BCE=DCE 题目87 求证

30、：和两定点距离之比等于定比的点的轨迹是一个圆周。 完备性、纯粹性 两方面来证明。） 题目88 作图题： 已知两线段之和及积，求作这两条线段。 已知：两线段m和n 求作：两线段x及y,使x+y=m，xy=n2 补个图 AD、BD即为求作线段x、y 题目89 已知梯形ABCD如图，求作一直线平行于梯形的底边，且平分面积。 题目90 利用下图，证明：两个正数之和为定值，则这两个数相等时乘积最大。 题目89作法： 如图，作两腰的延长线交于点O，作PBAB使PB=OA，连结OP， 以OP为直径作半圆M，由圆心M作MNOP，交半圆于点N，再以O为圆心ON为半径画弧交AB于点E，作EFBC交CD于F，则EF

31、即为所求线段。 题91(题73变) 设a、b、c、d都是正数，满足a/b=c/d,且a最大， 求证：a+db+c 题92 在RtABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ACD=3BCD，E是斜边AB的中点， ECB是多少度？ 题93已知，17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且A、B都是锐角， 求A/2+B的值。 题目93解： 分别以17、13为边作ABC，使AC=17，BC=13，CD为AB边上的高， 在RtADC中，AD=17 cosA，在RtBDC中，BD=13 cosB， CD=17sinA=13sinB 而AB=AD+DB=17cosA+13cosB=1

32、7， AC=AB, B=ACB, A+2B=180度 A/2+B=90度。 题94已知如图，ABC的C的平分线交AB于D，交ABC的外接圆于E，若CDCE等于ABC面积的2倍求证：ACB=90度题目95 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，CM平分ACB 交AB于M，若ACBC 求证：DCM=1/2 题目96 已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，CE为AB边上的中线，且DE=DC， 求ABC中较小的锐角的度数。 题目97 已知，ABC中，ACB=90度，CE平分ACB 交AB于E，且EC+BC=AC， 求AC/BC 题97解： 设BC=a,AC=b,过点E作EH

33、BC交AC于点H，作EFBC交BC于点F， 则四边形CHEF为正方形，设EH=x.则CE=2x, 由AH/EH=AC/BC，得(b-x)/x=b/a, x=(ab)/(a+b) 由题意得，a+2x=b x=(b-a)/ 2a, (ab)/(a+b)= (b-a)/ 2a, 得b2-2ab-a2=0 b/a=(2+6)/2 即AC/BC=(2+6)/2 题目98 已知，ABC中，ACB=90度，两直角边的差为22， CDAB，D为垂足，BD-AD=23， 求ABC中的三边长。 题目99 圆内接三角形ABC中，直径AB=4，AB边上的高CD=23， 求A的度数。 题目100 已知，ABC中， CD

34、AB，D为垂足，B=2A 求证：CB=AD-BD 题目101 已知，AB是的直径，AB=4， D是OB的中点，过点D的弦CEAB， 求弦CE的长。 已知如图， 、AF=2EF 、ACCE 、CB=BE 、CFAB 求证： 、AC=CE 、ABC=EBF 证明： 过点E作EMCF如图，由ADFEMF得AD：EM=AF：FM=2 又BD为CEM的中位线，则BD：EM=1：2 AD：DB=4：1=AC2:CB2 AC：CB=2：1 又CB=BE AC=CE (再由51的解答即有ABC=EBF成立) 题55的解答 已知如图， 、AC=CE 、AF=2EF 、CB=BE 、CFAB 求证： 、ACCE

35、、ABC=EBF 证明：过点E作EMCF，如图 由ADFEMF得AD：EM=AF：FM=2 又BD为CEM的中位线，则BD：EM=1：2 AD：DB=4：1 不妨设DB=x，CD=y,则AD=4x， 由勾股定理得AC=2+y2,BC= 又AC=2BC，得y2=4x2 即CD2=ADDB CD：AD=DB：CD，ADC=CDB=90度 RtADCRtCDB ACD=CBD 又BCD+CBD=90度 BCD+ACD=90度， 即ACB=90度(再证ABC=EBF成立) 题目102 初中三年级中考复习平面几何证明题一题多解 如图：已知青AB=AC，E是AC延长线上一点，且有BF=CE，连接FE交BC

36、于D。求证：FD=DE。 分析：本题有好多种证明方法，由于新课标主A要用对称、旋转方法证明，但平行四边形的性质、平行线性质等都是证题的好方法，我在这里向初中三年级同学面对中考需对平面几何证明题的证明方法有一个系统的复习和提高。F下边我将自己证明这道题的方法给各位爱好者作以介绍，希望各位有所收获，仔细体会每中方法的异同和要点，从中能得到提高。我是CMB一位数学业余爱好者，不是学生，也不是老师，D如有错误，请批评指证。信箱： E证法一 证明：过E点作EM AB交DC延长线于M点，则M=B，又因为ACB=B ACB=ECM=M，所以CE=EM， 又EC=BF 从而EM=BF，BFD=DEM 则DBF

37、DME，故 FD=DE； A证法二 证明：过F点作AFMAE，交BD于点M， 则1=2 = B 所以BF=FM， 又 4=3 5=E F所以DMFDCE，故 FD=DE。 5F142C3BMDCEAFCBDENA证法三 以BC为对称轴作BDF的对称BDN，连接NE，则DBFDBN，DF=DN，BN=BF，NFBD，FBD=NBD，又因为C=FBD 所以NBD=C。 BNCE，CE=BF=BN，所以四边形BNCE为平行四边形。故NFBC， 所以NFNE，因FN衩BD垂直平分，故D是FE的中点，所以FD=DE。 证法四： 证明：在CA上取CG=CE，则CG=BF， AF=AG，所以FGDC，又因为

38、1=2，所以FBCG为等腰梯形，所以 FGDC，故DC是EGF的中位线。所以 FD=DE。 F1GCFEA2BD1GC B证法五 证明：把EDC绕C点旋转180， 得GMC，则EDCGMC CE=GC=BF 连接FG，由于GC=BF，从而AF=AG，1=AFG FGBC，所以FBMG为等腰梯形，所以 FGDC，故DC是EGF的中位线。所以 FD=DE。 证法六 2DEMAFG4N证明：以BC为对称轴作DCE的对称DCN，则和DCEDCN；CN=CE=BF 2=3；又1=3，B=1所以 2=B，BFCN，所以四边形BCNF为平行四边形，DC FG，1=4，所以 2=4=CNG，所以 CG=CN=CE； 故DC是DC是EGF的中位线。所以 FD=DE。 12BDC3E证法七 证明：延长AB至G，使BG=CE，又因AB=AC， BF=CE则AG=AE ABACAG=AE 所以BCGE，则BD是FGE的中位线。所以FD=DE。 AFBCDGE