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1、初中数学分类讨论思想例题分析分类讨论思想例题分析 线段中分类讨思想的应用线段及端点位置的不确定性引发讨论。 例1已知直线AB上一点C，且有CA=3AB，则线段CA与线段CB之比为_3：2_或_3：4_。 C1 A B C2 练习：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长. 解析：(1)点C在线段AB上： (2)点C在线段AB的延长线上 AMCNBAMBNC例2下列说法正确的是 A、 两条线段相交有且只有一个交点。 B、如果线段AB=AC那么点A是BC的中点。 C、两条射线不平行就相交。 D、不在同一直线上
2、的三条线段两两相交必有三个交点。 与角有关的分类讨论思想的应用角的一边不确定性引发讨论。 例3在同一平面上，AOB=70，BOC=30，射线OM平分AOB，ON平分BOC，求MON的大小。 BNCMMCBNAo练习 已知,过O作一条射线OC，射线OE平分AOB=60AOC，射线OD平分BOC，求DOE的大小。 射线OC在射线OC在AOB内 AOB外 AECDOBCEOAOADOBoAOB60o这两种情况下，都有 DOE=3022小结：为什么结论相同？虽然AOC的大小不确定，但是所求的DOE与AOC的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节总结的重要性。 三
3、角形中分类讨论思想的应用 一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。 1、三角形的形状不定需要分类讨论 2AD=BDDC 例4、 在ABC中，B25，AD是BC上的高，并且，则BCA的度数为_。 解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。 如图1，当ABC的高在形内时，由2AD=BDDC， 得ABDCAD，进而可以证明ABC为直角三角形。由 B25。可知BAD65。所以BCABAD65。 如图2，当高AD在形外时，此时ABC2AD
4、=BDDC为钝角三角形。 由，得ABDCAD 所以BCAD25 BCACADADC2590115 2、等腰三角形的分类讨论： a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。 例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_。 练习若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。 例6、已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为 A. 30 B. 75 C. 105 D. 30或75 练习1、等腰三角形一腰
5、上的高与另一腰所成的夹角为45，求这个等腰三角形的顶角的度数。 简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45，图2中顶角为135。 2、在ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50，则底角B=_。 3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论 22x-+4y-5y+=60 例7、 已知x，y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为_。 4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。 例8、如图所示，在是AC的中点，过P点的直线ABC中，AB=6，AC=4，P交AB于点Q，若以A为顶点的三角形和以A为顶点的三角形相似，则AQ、B、C、P、Q的长为 (A)3 (B)3或434 (C)3或 (D) 343A P B C 四、本节小结 分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。
