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1、初中数学竞赛题汇编初中数学竞赛题汇编 江苏省泗阳县李口中学 沈正中 精编、解答 例1：ABC中，ACBC，CEAB，平分CAB，过作，交于。 求证：。 证明分析：延长交于， ， 易证RtAGFRtAEFAA则易证RtAECRtAGD 例2：ABC中，A100，平分A BC 求证：。 证明分析：在上分别截取，易证ABDEBD， ABED100由已知可得：C40，DBF20，BFD80由三角形外角性质可得：CDF40C BED100，BFDDEF80， 例3：已知在ABC中，为的中点，平分BAC，BDAD于，求的长 证明分析：延长交于可得ABDAFD则又，即为BCF的中位线DE FC (ACAB)
2、2 例4：已知在ABC中，A108，平分ABC - 1 - 求证： 证明分析：在上截取，连接可得BADBED由已知可得：ABDDBE18，A BED108，CABC36 DECEDC72， 例5：如图所示，和分别是ABC的外角平分线，过点作于，于，延长及分别与相交I、H，连接 求证：FG (ABBCCA) 若(a)与分别是ABC的内角平分线，如图； (b)是ABC的内角平分线，是ABC的外角平分线，如图 则在图与图两种情况下，线段与ABC的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明 图 图 图 证明分析：图中易证ABFIBF及ACGHCG有，及，为AIH的中位线FG (
3、ABBCCA) 同理可得图中FG (ABCABC)； 图中FG (BCCAAB)。 例6：如图，ABC中，是边上的中点，于，交BAC的平分线于，过作于，作- 2 - 于求证： 证明分析：连接、垂直平分，易证AMDAND 有BMDCND 例7：如图，点为正方形的边上一点，点为的延长线上的一点，且求证： 证明分析：将ABF视为ADE绕顺时针旋转90即可 FBADECFABBAEEADBAE90FBAEDA 又FABEDA90，ABFADE 例8：如图，在ABC中，B2C，平分BAC 求证： 证明分析：在上截取，连接则有ABDAEDBAEDCEDC又B2C，CEDC 例9：如图，点在ABC外部，在边
4、上，交于若123， 求证：ABCADE 证明分析：若ABCADE，则ADE可视为ABC绕逆时针旋转1所得 B1ADE2，且12BADE又13 - 3 - BACDAE再ABCADE 例10：在四边形中，平分BAD，过作于，且AE (ABAD) 求ABCADC的度数 证明分析：延长到，使得则有垂直平分，FCAEDAC有CBFCDACBFDABCADC180 例11：如图，已知在正方形中，在上，在上， 求证：EAF45 证明分析：将ADF绕顺时针旋转90得ABGGABFAD 易证AGEAFE FAEGAE FAG45 例12：如图，ABC与EDC均为等腰直角三角形，且在上 的延长线交于请你在图中找
5、出一对全等三角形，并写出证明过程 证明分析：将RtBCD视为RtACE绕顺时针旋转45即可 CDEFBA例13：如图，在ABC中，ABC90，为中点的延长线上任意一点交延长线于求证： 证明分析：连接则BDE可视为CDF绕顺时针旋转90所得易证与 则BDECDF又易证 - 4 - DBEDCF135BDECDF 例14：已知在ABC中，为上一点，为延长线一点，且求证： 证明分析：作交于易证则可视为平移所得 四边形为DCEF 例15：如图，在梯形ABCD中，15求梯形的中位线长 证明分析：延长到使得连接可得ACEB可视为将平移到平移到由勾股定理可得 17梯形ABCD中位线长为8.5 例16：已知，
6、在 ABCD中，AB BD为的中点，为中点，为中点 求证： 证明分析：连接EAB BD， ， EG BC又为AOD的中位线EF AD 例17：已知，为ABC的中线 求证： 证明分析：延长到使得 连接易证BDECDA 例18：如图，为ABC的角平分线且 求证： - 5 - 证明分析：延长到使得连接CE，易证ABDECD BADCADECAD 例19：已知在等边三角形中，和分别为与上的点，且连接与交于点，作于求证： 证明分析：延长到使得在等边三角形中，ABDC60 又， ABDBCECBEBAD BPQPBAPABPBADBP 60易证BPQBFQ得，又 BPD60BPF为等边三角形 例20：在ABC中，是高，是中线，于 求证：B2BCE 证明分析：连接则有RtCDGRtEDG BBDEDECBCE DECBCEB2BCE - 6 -
