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1、1,2 作用于流体的力、应力张量,研究流点所受的力和性质在流体中任取一个以s 为界面的体积,,作用于该体积上的力,分成两类:,质量力(体力)和 面力(表面力)下面逐一分析之:,一、质量力(体力)1、定义:质量力(体力)是作用于所有流点上的力,它与周围流点无关,常见的有:重力、万有引力、电磁力等。在大气动力学中指重力。是非接触力。2、表示方法,质量力用空间中分布密度函数,表示。,2,(2.19)-可以看成是力的分布密度。,如果质量力是重力,则,就是重力加速度g。,3、作用于有限体积元,上的质量力是:,二、面力(表面力)1、定义:面力(表面力)是与流体表面S相接触的流体(或固体)作用于流体表面S
2、上的力。如压力、粘性力、摩擦力。2、表达式以面力在表面上的分布密度来表示(记作),(2.20),上式中的,是作用于某个流体面积,上的表面力,面力,又称为应力矢。则作用于流体面元上的面力(应力)为:,3,3、质量力和面力的区别(),(1)质量力,是力的分布密度,是非接触力,是空间和时间的,函数,即:,,是一个矢量场。流点所受的质量力被质量函数,完全描述了。,(2)面力,是应力矢,它不但是空间和时间的函数,而且还,随着受力面元取向的不同而变化,即:,是空间某一点的位置,是该点某一个受力面元的法向单位矢。,这段话可以这样理解:流体中有各个位置的点,不同点用 确定,对于某一点,过这一点可以做无数个不同
3、方向的面元,这些面元就用 区别开来了,作用在这些面元上的面力 一般来说是不同的,因此,是 位置 和表面法向 的函数了,另外还随着时间变化。,4,问题,那么,要描写某一点的应力就需要知道所有通过该点的面上所受的应力。-是否一定要这样做?-不必,后面就会看到,过同一点不同面上所受到的应力并不是处处相互独立,事实上,只要知道三个与坐标面平行面上的应力,则任一以 为法向的面上的应力都可以通过它们及 表示出来。即三个矢量(三个坐标面上的应力)或9个分量完全地描述了一点的应力状况。,5,三、应力张量1、一些符号和名词,(1)小面元,的法线方向:,当,封闭时,取外法线方向为正,如图SS2-2-1,当,不封闭
4、时,可以规定一个方向为正。,(2)外法向(即周围)流体通过面元对面元内流体的应力作用记为:,(或说法线正向一侧流体作用于面元上的应力以 表示),面元内流体经过面元对周围流体的应力作用记为:,(或说法线负向一侧流体作用于面元上的应力以,表示.),根据牛顿的作用力与反作用力定律:,6,注意:,一般而言不平行于法线(不垂直于作用面),下标的,n只是表示面元的法向。,(3)应力矢,在直角坐标轴上的投影。记为:,注意:第一个下标表示面元的法向,第二个 下标表示应力的投影方向。,(4),一般而言不平行于法线(不垂直于作用面),因而它在,面元的法向和切向都有投影,即:,法线方向上的投影:,-法向应力,切线方
5、向上的投影:,-切向应力,7,2、应力张量的证明设在流体中的一个点M,想象把它扩大一点,成为一个四面体MABC,如图2-3。,注意:,不一定垂直于YOZ,XOZ,XOY平面。,8,2.21中含 的略去,根据牛顿第二运动定律,有:,(2.18),而流体所受的力,,就是上面表中所列的内容,则可以写出这,这个四面体的运动方程:,(体力+面力),上式中的,是三阶小量,,是二阶小量,含,的项比含,的项小一个量级。当四面体无限缩小时,,含,的项可以略去,,则得到:,(2.21),又因为:,9,上式又可以写成:,移项为:,(2.24),上式中的三个小面积,是,在三个坐标面上的投影,即:,(2.25),上式中
6、的,表示法向单位矢量n与x轴的方向余弦。,另外两个类同。将(2.25)代入(2.24)得到:,将上式中的矢量都分解到直角坐标系的三个作用轴上,,(2.26),10,所以,应力矢,在直角坐标轴上的投影,就为:,(分别是i,j,k 方向),(2.27),11,(2.27),(2.27)说明,若三个坐标面上的应力矢量:,已知,,则任一法向为,的面上的应力矢可以按照(2.26)求出。,因此三个矢量,,,或它们的共9个分量的组合就完全描述了一点的应力状况。,称下面由9个分量组成的张量为应力张量:,=,,k=1,2,3,l=1,2,3(2.28),12,根据张量运算的原则,就有:,而,=,应力张量的9个分
7、量中,,称为法应力(是YOX平面、XOZ、XOY平面法向上的分量)。其余6个量称为切应力(分量)。,13,3、应力张量的性质(1)应力张量是一个对称张量,已经证明:,(2)不论坐标如何选择,,为一不变的量。,14,4、理想流体的应力张量 理想流体没有粘性,其切向应力为零,即:,此时只有法向应力(实际就是压力),则根据(2.27)得到:,(2-1),如果按法向和切向的分解,,,则:,(2-2),对于理想流体,没有切应力,即,,上式(2-2)就成为:,15,(2-3),将(2.1)与(2.3)对比,得到:,可见,理想流体的应力与方向无关,是(x,y,z,t)的函数,一般称之为压力-p。(取负号表示
8、压力方向与法向方向相反。),理想流体的应力矢可以写成:,所以,对理想流体而言,压力是唯一的表面应力,且与方向无关。,,(矩阵称为单位张量),16,5、静止流体 因为静止,则没有形变,即没用切应力,就同上面的理想流体一样了,上述对理想流体的性质依然成立。,四、表面应力张量与形变速度张量的关系,真实流体都有粘性。当相邻两层流体作相对滑动时(即剪切变形)时,在相反方向产生一切向应力,阻止变形的产生,因此切向应力与切向形变之间存在关系。,流体的这种性质粘性规律,通过它将应力张量与形变速度张量以某种关系联系起来,现在来推导这个关系。,17,1、牛顿实验:1687年,建立了此关系实验(如书上P53图2.5
9、),实验:开始-两块很长的平行板,中间充满不可压缩粘性流体。上板以速度U 平行于下板移动,下板静止。此时,粘在上板上的流体速度是U,下板上的流体速度为零。过一定时间后测量两板间各层的流体速度,发现-速度分布如下:,-显然:,这是一种切变分布。,18,如果想保持两板之间流体的这种速度分布,则必须给上板一个与流速同向的推力(切向力),而给下板以一个与流速反向的固定力,这说明流体与板,流体与流体之间存在着黏性应力,否则上板就不可能带动整个流体运动。,而且,对上下板所施的力,就是用来克服流体对板的黏性力。,实验测量证明:此流动中的粘性应力矢处处相同的,用,表示,19,牛顿粘性定律,(2.35),称为(
10、动力学)粘性系数或内摩擦系数。,(流体与其它物体间的粘性系数称为外摩擦系数,一般内、外摩擦系数取值一样.),牛顿粘性定律给出了粘性应力,与形变率,的关系,即粘性应力与形变率成正比,与压力无关,牛顿粘性定律但只适用于直线运动。,20,2、广义牛顿粘性假设,牛顿粘性定律给出了粘性应力,与形变率,的线性关系,但只适用于直线运动。,但这种线性关系却可以推广到任意的粘性流体运动,称为广义牛顿粘性假设,即:,(2.36),式中的,就是前面讲到的应力张量(2.28),,是第一章讲到的形变率(P21,1.38式),是三个法向应力的平均值。,是前面讲的单位张量。,21,3.应力张量和形变速度张量(形变率张量)之
11、间的关系,广义牛顿粘性假设就显示了应力张量和形变速度张量之间的关系,写成分量形式:,其中:,。,其中,由于单位张量中的非对角元素为零,则(2-3)还可以写成:,(2-3),22,可见前面的牛顿粘性定律是(2-3)的一个特例。,(2-3)还可以改写成与粘性有关的部分和与粘性无关的部分,即:,23,(流体单位面积受到的总的表面力)=(与粘性无关的部分,即流体的压力)+(与粘性有关的部分,即流体的粘性应力),上式右边的第二部分可以定义为:,称为粘性应力张量。,24,称为粘性应力张量。,对于理想流体(不考虑粘性的流体),,=0,,流体质点间只有压力的相互作用。,25,4、牛顿流体 流体中流点的应力和变形速度间的关系满足广义牛顿公式(2.36)的流体称为牛顿(粘性)流体。如水和空气。还有一些流体不满足(2.36)式,称为非牛顿流体,如颜料、低温下的润滑油等,这些属于胶体化学。,26,总 结,27,精品课件!,28,精品课件!,29,End,