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1、同济高等数学习题答案习题9-4 1. 求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax内部的那部分面积. 解 位于柱面内的部分球面有两块, 其面积是相同的. 由曲面方程z=a2-x2-y2得 yz=-z=-x, , 222222xya-x-ya-x-y于是 A=2 =2x2+y2ax1+(z)2+(z)2dxdy xyadxdy 222a-x-yacosq0x2+y2axp2 =4adq01rdr22a-r 2. 求锥面z=x2+y2被柱面z2=2x所割下的部分的曲面的面积. 解 由z=x2+y2和z2=2x两式消z得x2+y2=2x, 于是所求曲面在xOy面上的投影区域D为x2+y22
2、x. =4a2(a-asinq)dq=2a2(p-2). 0pyz= 由曲面方程z=x2+y2得z=2x2, , 于是 22yxx+yx+y A= 3. 求底面半径相同的两个直交柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所(x-1)2+y211+(z)2+(z)2dxdy=2dxdy=2p. xy(x-1)2+y21围立体的表面积. 解 设A1为曲面z=R2-x2相应于区域D: x2+y2R2上的面积. 则所求表面积为A=4A1. A=41+(z)2+(z)2dxdy xyD =41+(-Dx)2+02dxdy R2-x2 =4DRdxdy R2-x2-RR-x2-R12 =4Rdx. dy=8R
3、dx=16R22-R-R-x2-RR-x 4. 设薄片所占的闭区域D如下, 求均匀薄片的质心: (1)D由y=2px, x=x0, y=0所围成; 解 令密度为m=1. 因为区域D可表示为0xx0, 0y2px, 所以 A=dxdy=dxD0x02px0x032pxdx=22px0, 3dy=0x02pxx0111 x=xdxdy=dxxdy=x2pxdx=3x0, 0ADA0A05x02pxx0111ydy=pxdx=3y0, y=ydxdy=dx0ADA0A08所求质心为(3x0, 3y0) 582y2x (2)D是半椭圆形闭区域(x,y)| 2+21, y0; ab 解 令密度为m=1.
4、 因为闭区域D对称于y轴, 所以x=0. A=dxdy=1pab(椭圆的面积), 2Daa11 y=ydxdy=dxADA-a0ba2-x2ydy 2a1b =2(a2-x2)dx=4b, A2a-a3p 所求质心为(0, 4b). 3p (3)D是介于两个圆r=acosq, r=bcosq(0aa0), z=0; 解 由对称性可知, 重心在z轴上, 故x=y=0. V=dv=2pA3-2pa3=2p(A3-a3)(两个半球体体积的差), 333W z=1r3sinjcosjdrdjdq VWp2pA3(A4-a4)213 =dqsinjcosjdjrdr=, 33000V8(A-a)3(A4
5、-a4)所求立体的质心为(0, 0, 33). 8(A-a) (3)z=x2+y2, x+y=a, x=0, y=0, z=0. 解 V=dx0aaa-x0dyx2+y20dz=dx0aa-x0(x2+y2)dy =x2(a-x)+1(a-x)3dx=1a4, 063aa-x11 x=xdv=xdxdy00VWV0x2+y21a5dz=15=2a, 1a456 y=x=2a, 5aa-xx2+y211 z=zdv=dxdyzdz=7a2, 0VW30V00所以立体的重心为(2a,2a,7a2). 5530 8. 设球体占有闭区域W=(x, y, z)|x2+y2+z22Rz, 它在内部各点的密
6、度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方, 试求这球体的质心. 解 球体密度为r=x2+y2+z2. 由对称性可知质心在z轴上, 即x=y=0. 在球面坐标下W可表示为: 0q2p, 0jp, 0r2Rcosj, 2于是 M=rdv=dqsinjdj2W002pp2Rcosj0r2r2dr =2p232R5sinjcos5jdj=32pR5, 05152p2Rcosj112 z=rzdv=dqsinjcosjdjr5dr 00MWM0pp8pR6 =2p264R6sinjcos7jdj=3=5R, 32pr54M0615故球体的质心为(0, 0, 5R). 4p 9. 设均匀薄片(面密度为常数1
7、)所占闭区域D如下, 求指定的转动惯量: 2y2x (1)D=(x,y)| 2+21, 求Iy; ab 解 积分区域D可表示为 -axa, -ba-x2yba-x2, aa于是 Iy=xdxdy=xdx22D-aaba2-x2a-ba2-x2aa2bdy=x2a2-x2dx=1pa3b. a-a44ax=asint222 提示: xa-xdx 2sin22tdt=pa4. -a208 (2)D由抛物线y2=9x与直线x=2所围成, 求Ix和Iy; 2ap 解 积分区域可表示为 0x2, -3x/2y3x/2, 于是 Ix=ydxdy=dx2D02023x/2-332272ydy=x2dx=72
8、, x/2302252256dy=x2dx=96. x/2720 Iy=x2dxdy=x2dxD3x/2-3 (3)D为矩形闭区域(x, y)|0xa, 0yb, 求Ix和Iy. 313ab 解 Ix=ydxdy=dxydy=ab=, 0033D2ab231a3 Iy=xdxdy=xdxdy=ab=b. 0033D2a2b 10. 已知均匀矩形板(面密度为常量m)的长和宽分别为b和h, 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量. 解 取形心为原点, 取两旋转轴为坐标轴, 建立坐标系. Ix=y2mdxdy=mdxy2dy=1mbh3, 12D Iy=x2mdxdy=mx2dx
9、dy=1mhb3. 12D 11. 一均匀物体(密度r为常量)占有的闭区域W由曲面z=x2+y2和平面z=0, |x|=a, |y|=a所围成, (1)求物体的体积; 解 由对称可知 V=4dxdy00aax2+y20b2-b2h2-h2b2-b2h2-h2dz 3a =4dx(x+y)dy=4(ax+)dx=8a4. 00033 (2)求物体的质心; aa22a2 解 由对称性知x=y=0. aax2+y214zdz z=rzdv=dxdy000MWVaa2 =dx(x4+2x2y2+y4)dy 0V05a24232a =(ax+ax+)dx=7a2. V03515 (3)求物体关于z轴的转
10、动惯量. 解 Iz=r(x2+y2)dv=4rdxdyW00aax2+y20(x2+y2)dz =4rdx(x4+2x2y2+y4)dy=4r28a6=112ra6. 004545aa 12. 求半径为a、高为h的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度r=1). 解 建立坐标系, 使圆柱体的底面在xOy面上, z轴通过圆柱体的轴心. 用柱面坐标计算. Iz=(x2+y2)rdv=r3drdqdz WW =dqrdrdz=1pha4. 00022pa3h 13. 设面密度为常量m的匀质半圆环形薄片占有闭区域D=(x, y, 0)|R1x2+y2R2, x0, 求它对位于z轴上点M
11、0(0, 0, a)(a0)处单位质量的质点的引力F . 解 引力F=(Fx, Fy, Fz ), 由对称性, Fy=0, 而 mx Fx=G2223/2ds (x+y+a)D =Gmpcosqdq2-2pR22r2(r+a)23/2R1rdr 2R2+a2+R2R2R1 =2Gmln-+, 222222R1+a+R1R2+aR1+a Fz=-GaDmds(x+y+a)2223/2=-Gampdq2-2pR2rdr(r+a)223/2R1 =pGam 11. -2R2+a2R12+a2 14. 设均匀柱体密度为r, 占有闭区域W=(x, y, z)|x2+y2R2, 0zh, 求它对于位于点M0(0, 0, a)(ah)处单位质量的质点的引力. 解 由柱体的对称性可知, 沿x轴与y轴方向的分力互相抵消, 故Fx=Fy=0, 而 Fz=GrWa-zdv 2223/2x+y+(a-z) =Gr(a-z)dz0hdxdy 2223/2x+y+(a-z)x2+y2R22pRrdr 000r2+(a-z)23/2hdz =2pGr(a-z)1-2120a-zR+(a-z) =Gr(a-z)dzdqh =2pGrh+R2+(a-h)2-R2+a2.
