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1、向量的运算法则实数与向量的运算法则：设l、m为实数，则有： 1）结合律：l(ma)=(lm)a。 2）分配律：(l+m)=la+ma，l(a+b)=la+lb。 向量的数量积运算法则： 1）ab=ba。 2）(la)b=l(ab)=lab=a(lb)。 3）(a+b)c=ac+bc。 平面向量的基本定理。 则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，对实数l1,l2，满足a=l1e1+l2e2。 a与b的数量积的计算公式及几何意义：ab=|a|b|cosq，数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosq的乘积。 平面向量的运算法则。 1）
2、设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则a+b(x1+x2,y1+y2)。 2）设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则a-b(x1-x2,y1-y2)。 3）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1)。 4）设a(x,y),lR，则la(lx,ly)。 5）设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则a两向量的夹角公式： cosq=x1x2+y1y2x+yx+y21212222b(x1x2+y1y2)。 。 平面两点间的距离公式： dA,B|AB|=ABAB=(x2-x1)2+(y2-y1)2。 向量的平行与垂直：设a(x1,y1)，b(x2,y2)，
3、且b0，则有： 1）a|bblax1y2-x2y1=0。 2）ab ab0x1x2+y1y2=0。 线段的定比分公式： 设P1P=lPP2，则 1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分点，l是实数，且Px1+lx2x=OP+lOP211+l）。 OP=1OP=tOP1+(1-t)OP2三角形的重心公式： ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则ABC的重心的坐标为G(x1+x2+x3y1+y2+y3,)。 33平移公式： x=x+hx=x-hOP=OP+PP 。 y=y+ky=y-k关于向量平移的结论。 1）点P(x,y)按
4、向量a(h,k)平移后得到点P(x+h,y+k)。 2）函数y=f(x)的图像C按向量a(h,k)平移后得到图像C:y=f(x-h)+k。 3）图像C按向量a(h,k)平移后得到图像C:y=f(x)，则C为y=f(x+h)-k。 4）曲线C:f(x,y)=0按向量a(h,k)平移后得到图像C:f(x-h,y-k)=0。 设a=，b=(x，y)。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 向量的加法 OB+OA=OC。 a+b=(x+x，y+y)。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。1 2、向量的减法 如
5、果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被 向量的减法 减” a=(x,y)b=(x,y) 则a-b=(x-x,y-y). 如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。 3、向量的数乘 实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a=a。 当0时，a与a同方向 当1时，表示向量a的有向线段在原方向或反方向上伸长为原来的倍 当1时，表示向量a的有向线段在原方向或反方向上缩短为原来的倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(a)b=(ab)=(ab)。 向量对于数的分配律：(+)a=a+a. 数对于向量的分配律
6、：(a+b)=a+b. 数乘向量的消去律： 如果实数0且a=b，那么a=b。 如果a0且a=a，那么=。2 4、向量的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a,b并规定0a,b 定义：两个向量的数量积是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a|b|cosa，b；若a、b共线，则ab=ab。 向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy。 向量的数量积的运算律 ab=ba (a)b=(ab)(关于数乘法的结合律) 向量的数量积的性质 aa=|a|的平方。 ab =ab=0。 |ab|a|b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点
7、1向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。 2向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。 3|ab|与|a|b|不等价 4由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 5、向量的向量积 定义：两个向量a和b的向量积 向量的几何表示 是一个向量，记作ab。若a、b不共线，则ab的模是：ab=|a|b|sina，b；ab的方向是：垂直于a和b，且a、b和ab按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则ab=0。 向量的向量积性质： ab是以a和b为边的平行四边形面积。 aa=0。 a垂直b=ab=0 向量的向量积运算律 ab=-ba
8、 b=a a=ab+ac. 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 6、三向量的混合积 定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积ab，再和向量c作数量积(ab)c， 向量的混合积 所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(ab)c 混合积具有下列性质： 1三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=V 2上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0 3(abc)
9、=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) 4(ab)c=a(bc) 7.例题 正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LBGK？ 设AE=a向量, AG=a, AD=c, AB=c, CH=b,CK=b有 aa=bb=cc=0, a2=a2, b2=b2 ,c2=c2,ab=ab,ac=-ac,ac=ac, bc=bc. bc=-bc*FH=-a+c+c+b LB=FH/2-b-c=-a-c+c-b/2, GK=-a+c+c+b从*：-a-c+c-b-a+c+c+b=0. LBGK 8、三向量二重向量积 由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程： 二重向量叉乘化简公式及证明
