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1、向量组的秩第四节向量组的秩 定义1：设有两个向量组(A)：a1,a2,L,as和(B)：b1,b2,L,bt，如果向量组(A)中每一个向量都可由向量组(B)线性表示，则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示。 定义2：设有两个向量组(A)：a1,a2,L,as和(B)：b1,b2,L,bt，如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示，而且向量组(B)也可由向量组(A)线性表示，则称向量组(A)和向量组(B)等价。 等价向量组的性质： (1) 反身性：任一向量组和它自身等价。 (2) 对称性：如果向量组(A)与向量组(B)等价，则向量组(B)也与向量组(A)等价。 (3) 传递性：如果向量组(A)
2、与向量组(B)等价，而向量组(B)与向量组(C)等价，则向量组(A)也与向量组(C)等价。 定理1：设有两个向量组(A)：a1,a2,L,as和(B)：b1,b2,L,bt，如果向量组(B)可由向量组(A)线性表示，且st，则向量组(B)线性相关。 证明：由已知可得：bj=a1ja1+a2ja2+L+asjas (j=1,2,L,t) 若存在一组数K1,K2,L,Kt，使得K1b1+K2b2+L+Ktbt=0 下面只要证K1,K2,L,Kt可以不全为零。把(1)式代入(2)式得： K1(a11a1+a21a2+L+as1as)+K2(a12a1+a22a2+L+as2as)+LL+Kt(a1t
3、a1+a2ta2+L+astas)=0整理后得 (a11K1+a12K2+L+a1tKt)a1+(a21K1+a22K2+L+a2tKt)a2+LL+(as1K1+as2K2+L+astKt)as=0a11x1+a12x2+L+a1txt=0ax+ax+L+ax=02222tt因为st，故齐次线性方程组：211 LLas1x1+as2x2+L+astxt=0有非零解。所以取K1,K2,L,Kt为方程组(5)的一个非零解。这个非零解可使(4) 1 成立，也可使(3)成立，最后使(2)成立。从而向量组(B)线性相关。 推论1：如果向量组(B)：b1,b2,L,bt可由向量组(A)：a1,a2,L,
4、as线性表示，且向量组(B)线性无关，则ts。 (用反证法) 推论2：向量组(A)：a1,a2,L,as与向量组(B)：b1,b2,L,bt等价，且向量组和都线性无关，则s=t。 证：因为向量组(A)线性无关且可由向量组(B)线性表示，所以st。 又因为向量组(B)线性无关且可由向量组(A)线性表示，所以ts；因此s=t。 对于一个非零向量组，则至少有一个向量不为零向量，所以它至少有一个向量的部分组线性无关；现要研究其线性无关部分组最多可以含多少个向量。 定义3：如果一个向量组的一个部分组a1,a2,L,ar满足下述条件： (1)a1,a2,L,ar线性无关； (2)向量组中的任意一个向量都可
5、以由a1,a2,L,ar线性表示； 则称部分组a1,a2,L,ar为这个向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组。 定义3也可写成： 定义4：如果一个向量组的一个部分组a1,a2,L,ar满足下述条件： (1)a1,a2,L,ar线性无关； (2)任取此向量组中的一个向量，添加到部分组a1,a2,L,ar中，所得到的新的部分组都线性相关。 则称部分组a1,a2,L,ar为这个向量组的一个极大线性无关组。 例：考虑向量组a1=(1,0,0),a2=(0,1,0),a3=(1,1,0)，显然部分组a1,a2是线性无关的，而a1,a2,a3中的任意向量都可以由a1,a2线性表示： a1=a1+0a
6、2，a2=a2+0a1，a3=a1+a2 所以a1,a2是向量组a1,a2,a3的极大无关组。同样可以证明a1,a3及a3,a2也是向量组a1,a2,a3的极大无关组，这说明一个向量组的极大无关组可能不唯一。 2 从上述例子及极大无关组定义可以得到： 定理2：任一向量组和它的极大无关组等价。 推论1：向量组中任意两个极大无关组等价。 推论2：向量组中任意两个极大无关组所含向量的个数相同。 定义5：向量组a1,a2,L,as的极大无关组中所含向量的个数称为向量组的秩，记作r(a1,a2,L,as)。 定理3：如果二个向量组a1,a2,L,as和b1,b2,L,bt等价，则它们的秩相等。 证明：设
7、向量a1,a2,L,as与向量组b1,b2,L,bt的秩分别为r,p；极大无关组分别为ai1,ai2,L,air和bj1,bj2,L,bjp；则向量组a1,a2,L,as与向量组ai,ai,L,ai等价；向量组b1,b2,L,bt与向量组bj1,bj2,L,bjp等价；所以向量12r组ai1,ai2,L,air和向量组bj1,bj2,L,bjp等价；又因为向量组ai1,ai2,L,air和bj,bj,L,bj均线性无关，因此有r=p。 12p定义6：矩阵A=(aij)mn的行向量组的秩称为矩阵A的行秩；其列向量组的秩称为矩阵A的列秩。 定理4：设A为mn矩阵，r(A)=r的充分必要条件是A的列
8、秩为r。 定理5：矩阵的初等行变换不改变其列向量间的线性关系。 下面用例子说明求向量组的秩和极大无关组的方法。 例1：已知a1=(1,-1,2,1,0),a2=(2,-2,4,-2,0),a3=(3,0,6,-1,1),a4=(0,3,0,01)，试求这向量组的秩及它的一个极大无关组，并把其余向量用所求极大无关组线性表示。 解：x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=0 231-1-20 A=2461-2-100101233003000000-4-411000130000010230110011 000000 3 则r(a1,a2,a3,a4)3，且a1,a2,a3是向量组a1,a2,a3,a
9、4一个极大无关组。 下面求向量a4用极大无关组a1,a2,a3线性表示。 x1+2x2+3x3=0从最后一个矩阵可得：x2+x3=0 x+x=034令x4=1，解得x1=1,x2=1,x3=-1 所以 a1+a2-a3+a4=0，即a4=-a1-a2+a3 例2：已知向量组a1=(1,-1,0,0),a2=(-1,2,1,-1),a3=(0,1,1,-1),a4=(-1,3,2,1), a5=(-2,6,4,1)，求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。 解： x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0 1-10-1-21-10-1-2360112
10、4-121 A= 01124011240-1-1110-1-1111-101 00000-1-21-11240100000000350-1-2124035000可得r(A)=3，则r(a1,a2,a3,a4,a5)3，并且a1,a2,a4是一极大线性无关组。 下面求a3,a5用极大无关组a1,a2,a4线性表示。 x1-x2-x4-2x5=0 x2+x3+2x4+4x5=0 3x4+5x5=0令x3=1,x5=0，得x4=0，x2=-1，x1=-1 521令x3=0,x5=1，得x4=-，x2=-，x1=- 333125所以-a1-a2+a3=0，-a1-a2-a4+a5=0 333 4 12
11、5即a3=a1+a2，a5=a1+a2+a4 333例3：已知向量组a1=(1,-1,2,4),a2=(3,0,7,14),a3=(0,3,1,2),a4=(1,-1,2,0), a5=(2,1,5,6)，求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用此极大无关组线性表示。 解： x1a1+x2a2+x3a3+x4a4+x5a5=0 13-10 A=2741410 0030213-1101250206010123303110122-4-221010-2-1000013012131101010011-2-1000000可得r(A)=3，则r(a1,a2,a3,a4,a5)3，并且a1,a
12、2,a4是一极大线性无关组。 下面求a3,a5用极大无关组a1,a2,a4线性表示。 x1+3x2+x4+2x5=0 x2+x3+x5=0 2x4+x5=0令x3=1,x5=0，得x4=0，x2=-1，x1=3 13令x3=0,x5=1，得x4=-，x2=-1，x1= 2231所以3a1-a2+a3=0，a1-a2-a4+a5=0 2231即a3=-3a1+a2，a5=-a1+a2+a4 22例4：已知向量组a1=(6,4,1,-1,2)，a2=(1,0,2,3,-4)，a3=(1,4,-9,-16,22)，a4=(7,1,0,-1,3)，求这向量组的秩及它的一个极大线性无关组,并把其余向量用
13、此极大无关组线性表示。 解： x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=0 5 1172-906104104144 A=12-906117 -13-16-1-13-16-12-4222-4223310 00012-900-84010-115575-25-10-840302-91-51-51-51-5011101-481701-5-8 1100011-0000530000-8可得r(A)=3，则r(a1,a2,a3,a4)3，并且a1,a2,a4是一极大线性无关组。 下面求a3用极大无关组a1,a2,a4线性表示。 1x+x+x4=0314 x-5x-1x=0 3428x=04令x3=1，得x4=
14、0,x2=5,x1=-1,代入得：-a1+5a2+a3=0 即a3=a1-5a2 例5：设a1,a2,L,an是一组n维向量，已知单位向量e1,e2,L,en可以被它线性表示，试证明a1,a2,L,an线性无关。 证明：首先可以证明任意n维向量a=(a1,a2,L,an)可由单位向量e1,e2,L,en线性表示。即a=a1e1+a2e2+L+anen。由此可得： 向量组a1,a2,L,an可由单位向量e1,e2,L,en线性表示；又已知单位向量e1,e2,L,en可以被a1,a2,L,an线性表示，即单位向量e1,e2,L,en和向量组a1,a2,L,an等价，则它们具有相同的秩，而单位向量e1,e2,L,en的秩为n,得a1,a2,L,an的秩也为n，所以a1,a2,L,an线性无关。 6
