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1、哈工大概率论答案习题习 题 四 1一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X,Y分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(X,Y)的分布列. 解 (X,Y)的分布列为 X Y 1021616161)PY(=31121 6012161312其中 P(X=1,Y=1)=P(X=1X|=2X|= 1)= P(X=1,Y=2)=P(X=1)PY(= =余者类推。 121= 436 2将一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(X,Y)的分布列及边缘分布列。 解 一枚硬
2、币连掷三次相当于三重贝努里试验，故XB(3,1). 21P(X=k)=C3k3,k=0,1,2,3，于是(X,Y)的分布列和边缘分布为 2Y X 00181811380382380383018183pipj682 834 其中 P(X=0,Y=1)=P(X=0P)Y(=，=0) 3113 P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1|X=1)=C31=， 28 余者类推。 3设(X,Y)的概率密度为 1X|=1(6-x-y),0x2,2y4, f(x,y)=8 0,其它.(X,Y)D 又D=(x,y)|x1,y3；D=(x,y)|x+y3。求P131(6-x-y)dxdxy 解 P(x,y)D
3、=028x 119-43 =6-=； 82284 13-x1(6-x-y)dxdy P(X,Y)D=0282 11112 =3-x(1-x)dx-(3-x)-4dx 0820y 2 5 x + y=3 =. 24 4设(X,Y)的概率密度为 22222C(R-x+y),x+yR, f(x,y)= 0,其他.求系数C；(X,Y)落在圆x2+y2r2(rR)内的概率. 解 1=Cx2+y2R2(R-x2+y2)dxdy=CpR3-C2p0R0r2drdq 32pR3pR3 =CpR-=C3， 33 C=. pR3 设D=(x,y)|x+yr，所求概率为 P(X,Y)D=222322(R-x+y)d
4、xdy 3pRx2+y2r235 3 =pR32pr33r22pRr-3=R22r1-. 3R 5已知随机变量X和Y的联合概率密度为 f(x,y)=4xy,0x1,0y1 0,其它.求X和Y的联合分布函数. 解1 设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则 0,x0或y1, F(x,y) -+001y4xvdxdv,x1,0y1,00x1,y1.1,0,x0或y1, =x, 2x1,0y1,y,x1,y1.1, 解2 由联合密度可见，X,Y独立，边缘密度分别为 fX(x)=y1,2x,0x1,2y,0 fY(y)= 0,其他;0,其它.边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，则 x- FX(x
5、)=0,x1.0,y1. FY(y)=y-36 设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则 0,x0或y1, 2x1,0y1,y,1,x1,y1. 6设二维随机变量(X,Y)在区域D:0x1，|y|x内服从均匀分布，求边缘概率密度。 解 (X,Y)的概率密度为 y D 0 1 1,(x,y)D, f(x,y) 0,其他.关于X和Y的密度为 fX(x)=x +-0,x0或x12x,0x1,fx(y,dy)=x = dy,0x1,0,其他.-xy-1,0,1y0,dx,-1y0,1+y,-1-y=y1, f(x,y)d=x1-y,01dx,0y1,0,其他.y0,y1.y x=y fY(y)=+-1
6、-|y|,|y|1, = 0,其他. 7设(X,Y)的概率密度为 -ye,0x0.edy,x0;x37 fY(y)=+-0,y0,0,f(x,y)d=x=-yy-yedx,y0;ye,0x+y1y0,y0.1 P(X+Y1)=f(x,y)dxdy=-121201-xe-ydydx=2(e-x-e-1ex)dx x0 =1-2e+e-1. 8一电子仪器由两个部件组成，以X和Y分别表示两个部件的寿命已知X,Y的联合分布函数为： 1-e-0.5x-e-0.5y+e-0.5(x+y),x0,y0F(x,y)= 其他.0, 问X,Y是否独立？为什么？ 求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解 先求边
7、缘分布函数： 1-e-0.5x,x0, FX(x)=limF(x,y)= y+,x0.01-e-0.5y,y0, FY(y)=limF(x,y)= x+,y0.0 因为F(x,y)=FX(x)FY(y)，所以X,Y独立. P(X0.1,Y0.1)=P(X0.1)P(Y0.1)=1-P(X0.1)1-P(Y0.1) =e-0.05e-0.05=e-0.1. 9设(X,Y)的概率密度为 -(x+y),x0,Y0,e f(x,y)= 0,其他.间X,Y是否独立？ 解 边缘密度为 x0,0,0,x0;e,x0.00,y0.X,Y独立. 因为 f(x,y)=fXx()fYy(，所以)+ 10设(X,Y)
8、的概率密度为 38 8xy,0xy1, f(x,y)= 0,其他.问X,Y是否独立. 解 边缘密度 y 1 y=x 0 x fX(x)=+-0,x1,4x(1-x2),0x1,f(x,y)dy=1= 0,其他;8xydy,0x1.xy8xydx,0y1,4y3,0y1,f(x,y)dx=0= 0,其他;其他;0, fY(y)=+-因为f(x,y)fX(x)fY(y)，所以X,Y不独立。 11设(X,Y)的概率密度为 y 1+xy0 ,|x|1,|Y|1, f(x,y)=4 0,其他.试证明X与Y不独立，但X2与Y2是相互独立的。 证 先求X,Y的联合分布函数F(x,y) x 0,x-1或y-1
9、,xy1+uvdudv,|x|1,|y|1,-1-14x11+uv F(x,y)= dudv,|x|1,-1-141y1+uv-1-14dudv,x1,|y|1,x1,y1;1, 39 0,1(x+1)(y+1)+1(x2+1)(y2+1),4161 =(y+1),212(x+1),1,关于X的边缘分布函数为 x-1或y-1|x|1,|y|1|x|1,y1,x1,y1.0,x1.1,关于Y的边缘分布函数为 y1.1因为F(X,Y)FX(x)FY(y)，所以X,Y不独立. 再证X与Y独立：设X,Y的联合分布函数为F1(z,t)，则 F1(z,t)=P(Xz,Yt)=P-z0,t02222z,-t
10、Yt =F(z,t)-F(z,-t)-F(-z,t)+F(-z,-t) 0,tz, =t,z,1,40 z0或t0,0z1,0t1,z1,0t1,0z1,t1,z1,t1.关于X2(Y2)的边缘分布函数分别为 0,z0,F(z)=limF(z,t)= X2z,0z1, 1t+1,z1.0,t0, FY2(t)=t,0t1, 1,t1.因为F1(z,t)=FX2(z)FY2(t)，所以X2与Y2独立. 证2 利用随机向量的变换 设 Z=X,T=Y. 函数z=x的反函数为x1=222z,x2=-z;t=y2的反函数为y1=t,y2=-t. 1x1x1,2zzt J11=y1y10,zt22012t
11、=11，J22=J11,J12=J21=-； 4zt4zt于是(X,Y)的概率密度函数为 f1(z,t)=f(x,y)|Jiji=1j=122ij| 111+zt+1-zt+1-zt+1+zt,0z1,0t1,44zt = 0,其他.1,0z1,0t1, =4zt 0,其它.41 关于X2的边缘密度为 fX2(z)=+-1,0z1, f1(z,t)dt=2z0,其它.1,0t4时，图形如下： y P(X24Y)=1-2b-21x2(b-)dx b4b2433112 =1-24bb-(8b+8b2) x 4b12-2b 2b2 =1- 3b 15已知随机变量X和Y的联合分布为 (x,y)(0,0
12、)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P(X=x,Y=y)0.100.150.250.200.150.15试求：X的概率分布；X+Y的概率分布 解 X的分布为 XP0120.250.450.3001230.100.40.350.15 X+Y的分布为 X+YP 16设X与Y为独立同分布的离散型随机变量，其概率分布列为1)，n=1,2,L，求X+Y的分布列. P(X=n)=P(Y=n)=(n2 解 设Z=X+Y，Z的分布为 P(Z=k)=P(X+Y=k)=k-1P(X=i)P(Y=k-i) i=1k-1 =1k1i1k-i=(k-1)22i=12k=2,3,L 17设X,Y是相互独立
13、的随机变量，它们都服从参数为n,p的二项分布，44 证明Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布. 证 P(Z=k)=P(X+Y=)k= =i=0k(PX=)i(P=Y -k)iCi=0kkink-ik-ipi(1-p)n-iCnp(1-p)n-k+i =p(1-p)2n-kCCini=0kk-inkk2n-k k=0,1, L,n2=C2np(1-p)故Z=X+Y服从参数为2n,p的二项分布. 注：此处用到一个组合公式： kCCimi=0k-ink=Cm+n 此公式的正确性可直观地说明如下：从m+n个不同的元素中取k个共有k从另一个角度看，把m+n个元素分布两部分，一部分有mCm+n种不同的取
14、法。个，另一部分有n个，从第一部分中取i个再配上从第二部分中取k-i个，不同的取法共CCimk-i让n，ik-ii从0变到k，总的取法是Cm，这两种取法应相等. Cni=0k 18设X,Y相互独立，其概率密度分别为 e-y,y0,1,0x1, fX(x)= fY(y)= 0,其他;0,y0.求X+Y的概率密度. 解1 设Z=X+Y，由卷积分式，Z的概率密度为 fZ(z)=+-fX(z-y)fY(y)dy e-y,y0,0z-y1, fX(z-y)fY(y)= 0,其它.不等式y0,0z-y1确定平面域D如图. z 当 z0时，fZ(z)=0 D 当 0z1时，fZ(z)= =-e1 -yz0z
15、0e-ydy =1-e-z 0 y 当 z1时，fZ(z)=综上所述 zz-1e-ydy=e-z(e-1), 45 z0,0,-z fZ(z)=1-e,0z1, -ze(e-1),z1. 解2 变量代换法： fZ(z)=+-fX(x)fY(z-x)dx， 令u=z-x注意到当0x0.所以，当 z0时，fZ(z)=0， 当 0z1时，fZ(z)= 当 z1时，fZ(z)=综上所述 z0e-udu=1-e-z， zz-1e-udu=e-z(e-1). z00,-z0z 1, fZ(z)=1-e,-ze(e-1),z1. 解3 分布函数法：设Z的分布函数为FZ(z)，则 FZ(z)=P(Zz)=P(
16、X+Yz)=y x+y=1 x+yzfX(x)fY(y)dxdy 当z0时,0,z-yz-y=edy 0dx,当0z1时, 0x 1z-x0 1 e-ydydx,当z1时,00x+y=0 46 z0,0,-z =z+e-1,0z1, -z-z1+e-ee,z1.Z的概率密度为 z00,fZ(z)=FZ(z)=1-e-z,0z0,其他.L L1 X y0,y0.Y L2 +-fX(x)Yf(-zx) dx-ax-b(z-x),x0,z-x0,abee fX(x)fY(z-x)= 其他.0, z 当 z0时，fZ(z)=0 当 z0时，fZ(z)=z0abe-bze(b-a)xdx z1-bze(
17、b-a)x =abeb-a0x o ab(e-az-e-bz), ab =b-a当 a=b时 fZ(z)=2-az2-azaedx=aze 0z综相所述Z=X+Y的密度为 0, fZ(z)=ab-az-bz(e-e),b-az0z0. ab. 47 fZ(z)=02,z0,-azaze,z0. 20设(X,Y)的概率密度为 3x,0yx,0x1, f(x,y)= 0,其他.求Z=X-Y的概率密度. 解1 利用Z=X+kY的密度公式：fZ(z)=取k=-1得 fZ(z)=其中 a=b. +-f(z-ky,y)dy， +-f(z+y,y),dy 3(z+y),0z+y0,y0, f(z+y,y)=
18、z 0,其他.不等式0z+y0,y0确定平面域如图 当 z0 或 Z1 时 fZ(z)=0， 当 0z1 时， fZ(z)= 即 oy 1-z0333(z+y)dy=3z(1-z)+(1-z)2=(1-z2). 2232(1-z),0z1, fZ(z)=2 ,其他.0 解2 设Z的分布函数为FZ(z)，密度为fZ(z)，则 FZ(z)=P(Zz)=P(X-Yz)=x-yzf(x,y)dxdy z0,0,y x-y=0 1xzx3xdxdy,0z1, =3xdxdy+00zx-zx-y=z 1,z1.x-y=1 z0,0,3x 1 =z-z3,0z1.1,48 于是 32(1-z),0z1, f
19、Z(z)=FZ(z)=2 ,其他.0 21设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)=12pse2-x2+y22s2,-x,y0x2+y2zf(x,y)dxdy =2psx2+y2z2p01e21-x2+y22s2dxdy r22s2 =z02ps2e-rdrdq z0,0,z1z11-2s22s2-zerdr=edu = 故 f(z)=1Z0s222s20s22e,z0.2s-r2令r=uuz0,0,22=1-e2s， 故fz(z)=Fz(z)=1-z2 =-e2s 2s,z0.2e02s2 22设随机变量X与Y独立，XN(m,s)，YU-p,p，试求Z=X+Y的概率密度fZ(z) -r
20、2z-z 解1 由卷积公式 fZ(z)=其中 (x-m)-12e2s,-x+,-pz-xp, fX(x)fY(z-x)=2p2ps 其它.0,2+-fX(x)fY(z-x)dx, 不等式-x+,-pz-xp确定平面区域D： 49 y 当-z+时 fZ(z)=p z+pz-p1e2p2psz+p-m-(x-m)22s2dx 2令t=x s10 =2p-p t-1z-pss-m2pe2dt 1z+p-mz-p-m =F-F. 2pssx-m 解2 用变量代换： fZ(z)=因为YU-p, fZ(z)=+-fX(z-y)fY(y)dy. p所以当-py0,y0,2e f(x,y)= ,其他.0求Z=
21、X+2Y的分布函数FZ(z). 解 FZ(z)=P(Zz)=P(X+2Yz)=y x+2yzf(x,y)dxdy z0,0,z-xz = -x-2y22eedydx,z0.x+2y=z z0 00x z0,0,0 x+2y=0 = -z-z1-e-ze,z0. 24设二维随机变量(X,Y)在矩形G=(x,y)|0x2,0y1上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s). 50 解1 设矩形的面积为S，则S=XY，又设S的分布函数为FS(s)，则 FS(s)=P(Ss)=P(XYs)=其中 xysj(x,y)dxdy. 1,(x,y)G, j(x,y)=2 0,其他. FS(s
22、)=y xysj(x,y)dx dys0,0,s1s211xy=S, 0S2 xdxdy+dxdy,0s2, =002s021,s2.s0,0,x so S =(1+ln2-lns),0s2, 2s2.1,于是 1(ln2-lns),0s2, f(s)=FS(s)=2 其他.0, 解2 利用乘积的密度公式 f(s)=+S 2 dy -|y|s1,0y1,02,s2y j(,y)= y0,其他.当 S0或s2时f(s)=0, 0 j(,y)sy1 y当 0s2时 111f(s)=sdy=lny=(ln2-lns) s2222y121综上所述 51 1(ln2-lns),0s0的指数分布. 当三个
23、元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T的概率分布. 52 解 设T的分布函数为FT(t)，第i件元件的寿命为Xi，其分布函数为F(x). 则 FT(t)=P(Tt)=Pmin(X1,X2,X3)t =1-1-F(t)3 1-e-3lt,t0, = 0,t0.即 TE(3l ) 28设随机变量X1,X2,X3,X4独立同分布：P(Xi=0)=0.6，P(Xi=1)=0.4，i=1,2,3,4. 求行列式 X=的概率分布 解1 X=X1X3X2 X4X1X3X2=X1X4-X2X3 X4X的可能值为-1,0,1. P(X=-1)=P(XX14=0,X2X3
24、= 1) =P(X1=0,X4=1)U(X1=1,X4=0)U(X1=0,X4=0),(X2=1,X3=1) =P(X1=0,X4=1)+P(X1=1,X4=0)+P(X1=0,X4=0)P(X2=1,X3=1) =0.60.4+0.60.4+0.360.16=0.1344 同理可求出P(X=0)=0.7312,P(X=1)=0.1344，即X的分布为 -1010.13440.73120.1344 解2 先求出X1X4及X2X3的分布 X0X1X401XX01 23 P0.840.16P0.840.16 P(X=-1)=P(1XXX=0.840.=16 0.1344,4=0,X23=1) P(X=0)=P(XX14=即X的分布列为 XX
