圆的基本性质教案.docx

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1、圆的基本性质教案 圆的基本性质 基础知识回放 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的

2、直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： =AD AB是直径 ABCD CE=DE BC = BD AC 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O中，ABCD A DC OO BAEDCB圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对E 的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只F 要知道其中的

3、1个相等，则可以推出其它的3个O D结论也即：AOB=DOE AB=DE A OC=OF BA=ED CB C圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 O即：AOB和ACB是 所对的圆心角和圆周角 B AOB=2ACB A - 1 - 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在O中，C、D都是所对的圆周角 C=D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 BO即：在O中，AB是直径 或C=90 C=90 AB是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这

4、个三角形是直角三角形 即：在ABC中，OC=OA=OB ABC是直角三角形或C=90 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 即：MN是切线，AB是弦 BAM=BCA N 切线的性质与判定定理 判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：MNOA且MN过半径OA外端 MN是O的切线 性质定理：切线垂直于过切点的半径 M 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点 推论2：过切点垂直于切线的直线必

5、过圆心 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：过圆心过切点垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件 MN是切线 MNOA 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：PA、PB是的两条切线 PA=PB PO平分BPA CDCBCOAACBOAOBAMOANBOPA - 2 - 圆内相交弦定理及其推论： 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等 DOB即：在O中，弦AB、CD相交于点P PAPB=PCPA PA C推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的C比例中项。 B即：在O中，直径ABCD AO

6、E CE2=DE2=EAEBD切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 即：在O中，PA是切线，PB是割线 A PA2=PCPBE DO PC割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的B交点的两条线段长的积相等 A即：在O中，PB、PE是割线 PCPB=PDPE 弧长、扇形面积公式 npRO弧长公式： l=lS180 npR21S=lR扇形面积公式： 3602中考热点难点突破 B例1：如图1，正方形ABCD是O的内接正方形，点P在劣弧CD上不同于点C得到任意一点，则BPC的度数是 A45 B60 C75 D90 例2：如图，在BC

7、AODPC O A D 例2图 E B A C O D 例3图 B 例1图 ，则D+E的度数为 - 3 - Am B180-m 2C90+m 2Dm 2例3：高速公路的隧道和桥梁最多如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA= A5 B7 C375 D377 试题演练 一、选择题 1如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB30,O的半径为3cm，则弦CD的长为 A28 B56 C60 D62 3如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E,CDB30, O的半径为3cm，则弦CD的长为 A2 B3 C4 D5 5ABC中，AB

8、AC，A为锐角，CD为AB边上的高，I为ACD的内切圆圆心，则AIB的度数是 A60 B50 C40 D30 C 第6题图 第7题图 第8题图 A B 第D 9题图 - 4 - ） ） 7如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A5米 B8米 C7米 D53米 8一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是 A0.4米 B0.5米 C0.8米 D1米 9如图，在RtABC中，C90，AB10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于 A53 B5 C52

9、D6 10.如图，A、D是O上的两个点，BC是直径，若D 35，则OAC的度数是 A35 B55 C65 D70 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图 二、填空题 11如图，AB是O的直径，C是O上一点，BOC44，则A的度数为 12如图，点C在以AB为直径的O上，AB=10，A=30，则BC的长为 13.如图，AB是O的直径，点C在O上 ，ODAC，若BD1，则BC的长为 . 14如图，AB为O的直径，弦CDAB，E为BC上一点，若CEA28，则ABD E. CABD第15题图 第16题图 第17题图 第14题图 15如图，AB为O的直径，CD为O的弦，ACD42，则BAD _.

10、- 5 - 16如图，点C、D在以AB为直径的O上，且CD平分ACB，若AB2,CBA15，则CD的长为 17已知O的直径AB8cm，C为O上的一点，BAC30则BC_cm. 18如图所示，A、B、C、D是圆上的点，1=70则C= 度 ，A=40，DOAB 第18题图 第20题图 C19. 在O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA 20如图，ABC内接于O，ABBC，ABC120，AD为O的直径，AD6，那么BD_ 三、解答题 21如图，AB为O直径，BC切O于B，CO交O交于D，AD的延长线交BC于E，若C = 25，求A的度数 22如图，AB是OD的弦，半径OC、OD分别

11、交AB于点E、F，且AEBF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明 - 6 - 23如图，P为正比例函数y=3 x图象上的一个动点，P的半径为3，设点P的坐标为2 求P与直线x=2相切时点P的坐标； 请直接写出P与直线x=2相交、相离时x的取值范围 四、解答题 24从卫生纸的包装纸上得到以下资料：两层300格，每格11.4cm11cm，如图甲用尺量出整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径，分别为5.8cm和2.3cm，如图乙那么该两层卫生纸的厚度为多少cm？ 图 图 25如图，A是半径为12cm的O上的定点，动点P从A出发，以2pcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A地立即停止运动 如

12、果POA90o，求点P运动的时间； 如果点B是OA延长线上的一点，ABOA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与O的位置关系，并说明理由 - 7 - 26如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C 用直尺画出该圆弧所在圆的圆心M的位置； 若A点的坐标为，D点的坐标为，试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上； 在的条件下，求证直线CD是M的切线 五、解答题 27如图，图是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏。铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切将这个游戏抽象为数学问题，如图已知铁环的半径为5个单位，设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，

13、MOAa，且sina=0.6 求点M离地面AC的高度MB； 设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度 28图是用钢丝制作的一个几何探究具，其中ABC内接于G，AB是G的直径，AB6，AC3现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中，然后点A在射线OX由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动，当点B滑动至与点O重合时运动结束 试说明在运动过程中，原点O始终在G上； 设点C的坐标为，试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 在整个运动过程中，点C运动的路程是多少？ 图 图 图 - 8 - 参考答案 中考效能测试 1B 本题考查同弧所对的圆周角和圆

14、心角的关系及垂径定理的应用.因为30，所以60，所以在直角中，3 cm. 2D本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以AOB=2C。OA=OB，OAB=OBA, 又OAB=28, AOB=124，所以C=62.故选D. 3本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.因为30，所以60，所以在直角中，3 cm. 4B 由垂径定理，可得DH=2,所以BH=BD2-BH2=1,又可得DHBADB.,所以有0000313，根据勾股定理可得，所以2222313，根据勾股定理可得，所以2222BD2=BHBA,(3)2=1BA,AB=

15、3.本题考查了垂径定理及相似三角形判定与性质。 5C由ICA=CD为腰上的高,I为ACD的内心，则IAC+111(BAC+BCA)=(1800-ADC)=(1800-900)=450, 2220000所以AIC=180-(IAB+ICA)=180-45=135.又可证AIBAIC,得 AIB=AIC=135。 6C考查圆周角定理.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以A是BOC的一半，答案为C. 7B本题主要考查直角三角形和垂径定理的应用。因为跨度AB=24m，拱所在圆半径为13m，所以找出圆心O并连接OB，延长CD到O，构成直角三角形，利用勾股定理和垂径定理求出DO=5，进

16、而得拱高CD=CO-DO=13-5=8。故选B。 8D考查点：本题考查圆的垂径定理和解直角三角形的有关知识。解题思路：根据题意，我们可以通过添加辅助线得到如下图形： 0 - 9 - O A C D 设圆的半径为R，则OA=R，由垂径定理可得AC=222B 10.8=0.4，OC=R-0.2，在RtDOAC中，利用勾股定2理可得：R=0.4+(R-0.2)，解得R=0.5，故该圆的直径为0.52=1。 9A本题考查圆中的有关性质，连接CD，C90，D是AB中点，AB10，CDBC5，根据勾股定理得AC53，故选A 10B本题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系。法1：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心

17、角是圆角角的2倍，所以270，而中，所以，而180110，所以55.法2：因为是直径，所以90，则9000000001AB5，2，而中，所以，而35，从而问题得解。 1122本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以本题的答案为4401=220。 2125因为AB是圆的直径，则它所对的圆周角为直角，又AB=10，A=30，根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，则BC=5。 132本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质.因为AB是直径,所以它所对的圆周角为直角,再根据两条直线平行,同位角相等,所以ODBD,根据垂径定理,可知,D为BD的中点,所以BC=2BD=2. 1428本题综合考查了垂经定理和圆周角的求法及性质。由垂径定理可知弧AC=弧AD，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知ABD=28.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解。 1548连接OD，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可得，AOD=84,又因OD=OA， 所以BAD=ADO=011(1800-AOD)=(1800-840)=480。 22- 10 -