《均值不等式的证明方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《均值不等式的证明方法.docx（20页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、均值不等式的证明方法柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是AnGn: 一些大家都知道的条件我就不写了 x1+x2+.+xnnnx1x2.xn 我曾经在几个重要不等式的证明中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 二维已证，四维时：a+b+c+d=(a+b)+(c+d)2ab+2cd4八维时:(a+b+c+d)+(e+f+g+h)44abcd+44efgh88abcdefghabcd=44abcd这样的步骤重复n次之后将会得到 x1+x2+.+x2n2n2nx1x2.x2n 令x1=x1
2、,.,xn=xn;xn+1=xn+2=.=x2=nx1+x2+.+xnn=A 由这个不等式有 A=nA+(2-n)A2nn12nx1x2.xnA2-nn=(x1x2.xn)2An1-n2n即得到 x1+x2+.+xnnnx1x2.xn 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： n若0ai1(1in),记R=T=n1nnr,Sii=1nnsii1nnt,Uii=1nnuii,V=1nnv，求证下述不等式成立：iii=1(risitiuivi+1risitiuivi-1)(RSTUV+1RSTUV-1)n要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式
3、其实由均值不等式，以及函数f(x)=ln因此 nnininninninne+1e-1xx是在R上单调递减 niRSTUVnrstuvi=1i=1nni=1i=1i=1=nrstuviiiii=1i(RSTUV+1RSTUV-1rstuviiiii=1ni+1)nnrstuviiiii=1i-1我们要证明： nnn(rstuvi=1iiiirisitiuivi+1irstuviiiii=1ni+1-1)niiiiirstuvi=1-1证明以下引理： nnn(xi=1xi+1ii=1nxi+1) xi-1x2+1x2-1x1x2+1x1x2-1n-1)(ni=1n=2时，(令A=x1+1x1-1)
4、(2)2x1x2,A(x1x2+1+x1+x2)+(x1+x2+1+x1x2)2-2A(x1x2+x1+x2+1)A(x1x2+1-x1-x2)+(1+x1x2-x1-x2)+2A(x1x2+1-x1-x2)(A+1)(x1x2+1)2A(x1x2+1)显然成立2-nnn2因此(i=1xi+1xi-12n)(G+1G-1)2-nn(GGGGnn2nn+1-12-n2n)，G=2nnni=1xi=(G+1G-1n)nn因此(i=1xi+1xi-1i=1nxi+1)xi-1n)(ni=1所以原题目也证毕了 这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen: f(x1)+f(x2)2f(x1+
5、x22)，则四维： f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)2f(x1+x22)+2f(x3+x42)4f(x1+x2+x3+x44) 一直进行n次有 f(x1)+f(x2)+.+f(x2n)2nf(x1+x2+.+x2n2n), 令x1=x1,.,xn=xn;xn+1=xn+2=.=x2=nx1+x2+.+xnnn=A 有f(x1)+.+f(xn)+(2-n)f(A)2nnf(nA+(2-n)A2n)=f(A) 所以得到 f(x1)+f(x2)+.+f(xn)nf(x1+x2+.+xnn) 所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明 而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少 其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明 这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件
