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1、坐系与参数方程 知识点坐标系与参数方程 知识点 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 x=lgx设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换j:y=mgy(l0)的作用(m0)下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称j为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点
2、与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2)极坐标 设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为r;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为q.有序数对(r,q)叫做点M的极坐标,记作M(r,q). 一般地,不作特殊说明时,我们认为r0,q可取任意实数. 特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, q)(qR).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定r0,0q2p,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(r,q)表示;同时,极坐标(r,q)表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和
3、直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示: (2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(r,q)(r0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 极坐标(r,q) 点M 直角坐标(x,y) 互化公式 x=rcosq y=rsinqr2=x2+y2 ytanq=(x0)x在一般情况下,由tanq确定角时,可根据点M所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 圆心为(r,0),半径为r的圆 圆心为(r,r=r(0q2p) r=2r
4、cosq(-p2qp2) p2),半r2rsinq(0qp) 径为r的圆 过极点,倾斜角为(1)q=a(rR)或q=p+a(rR) (2)q=a(r0)和q=p+a(r0) a的直线 过点(a,0),与极轴垂直的直线 rcosq=a(-p2qp2) 过点(a,p2),与极rsinq=a(0qb0),其参ab数方程为x=acosj(j为参数)，其中参数j称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方y=bsinjx=bcosjy2x2程是2+2=1(ab0),其参数方程为(j为参数),其中参数j仍为离心aby=asinj角，通常规定参数j的范围为j0，2p）。 注：椭圆的参数方程中，参数j的几何意义为椭
5、圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角a区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当0ap2时，相应地也有0jp2，在其他象限内类似。 5双曲线的参数方程 x2y2以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为2-2=1(a0,b0),ab其参数方程为x=asecjp3p. (j为参数)，其中j0,2p)且j,j22y=btanjy2x2焦点在y轴上的双曲线的标准方程是2-2=1(a0,b0),其参数方程为abx=bcotj(j为参数，其中j(0,2p)e且jp. y=acscj以上参数j都是双曲线上任意一点的离心角。 6抛物线的
6、参数方程 以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y2=2px(p0)的参数方程为x=2pt2(t为参数). y=2pt7直线的参数方程 经过点M0(x0,y0)，倾斜角为a(ap2)的直线l的普通方程是y-y0=tana(x-x0),而过M0(x0,y0)，倾斜角为a的直线l的参数方程为x=x0+tcosa(t为参数)。 y=y0+tsina注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M0(x0,y0)，倾斜角为a的直线l的参数x=x0+tcosa方程为(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任一点y=y+tsina0uuuuuurM(x,y)为终点的有向线段M0M的数量，当点M在M0上方时，t0；当点M在M0下方时，t0；当点M与M0重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以M0为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
