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1、复变函数期末考试分章节复习题第一章复习题 1. 设z=1+2i，则Im z3= A. -2 B. 1 C. 8 D. -1+i-1-i1-i1+iA2 B2 C2 D2 14 2. z=2-2i，|z2|= A. 2 B. 8 C. 4 D. 8 3. z=(1+cost)+i(2+sint),0t2所表示的曲线为 A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 4. 设z=x+iy,则z2的实部为 A.x2-y2+2xy B.x2-y2-2xy C.x2+y2+2xy D.x2+y2-2xy 5. arg(2-2i)= A.-3ppp3p4 B.-4 C.4 D.4 6设z=3+i,w=z2,则
2、Aargw=p3 Bargw=p6 Cargw=-p6Dargw=-p3_7设z为非零复数，a,b为实数，若zz=a+ib，则a2+b2的值 9. 设z=x+iy，则|e2i+2z|= A. e2+2x B. e|2i+2z| C. e2+2z D. e2x 10. Re(e2x+iy)= A. e2x B. ey C. e2xcosy D. e2xsiny 11. 包含了单位圆盘|z|1的区域是 A.Re z-1 B.Re z0 C.Re z1 D.Im z0 12. 复数方程z=3t+it表示的曲线是 A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 13 .下列集合为无界多连通区域的是 A.0|
3、z-3i| C.|z+ie|4 D.32pargz2p 14.复数方程z=cost+isint的曲线是 A.直线 B.圆周 椭圆 D.双曲线 15.下列集合为有界单连通区域的是 A.0|z-3|3 C.|z+a|1 D.12pargzp 16下列集合为有界闭区域的是 A0 arg (z+3)p2 BRe (z-i)0，求f(z)，并将它表示成z的函数形式. x23设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，其中u(x,y)=y2-x2-2xy，求10. 设f(z)=z3+8iz+4i，则f(1-i)= A. -2i B. 2i C. -2 v(x,y). D. 2 24.设u=x2-y
4、2+xy是解析函数f(z)的实部，其中z=x+iy.求f(z)并将它表示iz-iziz-ize-ee-e成z的函数形式. 2i211正弦函数sinz=A B 25.设v=eaxsiny，求常数a使v成为调和函数. eiz+e-izeiz+e-iz2i2CD 26.已知调和函数u=(x-y)(x2+4xy+y2)，求f(z)，并将它表示成z的函数形式. 27 设u=e2xcos 2y 是解析函数f(z)的实部，求f(z). 12. 对数函数w=ln z的解析区域为_. 13已知f(z)=u+iv是解析函数，其中u=1vln(x2+y2),则= . 2y28已知z0时，u=x-y为调和函数，求解析
5、函数f(z)=u+iv的x2+y214. 若sinz=0，则z=_. 15. 若cosz=0，则z=_. 16方程lnz=1+导数f(z)，并将它表示成z的函数形式 29求方程sin z+cos z=0 的全部根. p3i的解为_. 17. tgz的所有零点为_. 18. 设f(z)=x2+axy+by2+i(-x2+2xy+y2)为解析函数，试确定a，b的值. 19设f(z)=ax3+bxy2+i(y3+cx2y)为解析函数，试确定a,b,c的值. 20. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)为解析函数，试确定m、n的值. 21函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在
6、复平面上何处可导？何处解析？ 1.设C为正向圆周|z|=1，则 D. 2i 第三章复习题 dzz2C=A. 0 B. 1 C.i 3 2.设C为从-i到i的直线段，则-i D. -2i 3.设C为正向圆周|z|=1，则A.2isin 1 4.|z|dz=A. i B. 2i C. C10.dz= A. 0 B. 2 C. i D. 2i z|z-i|=3sinze-1zCdz= D.2i 11.|z-1|=1sinzdzz-z-122=A. 0 B. 2isin1 C. 2sin1 D. B.-2i C.0 |z|=2dz(z-i)2= A. 0 B. 1 C. 2 D. 2i 1sin1 2
7、pi12.30zcosz2dz= A.11sin9 B.cos9 C.cos9 225.coszdz= A. 0 B. 1 C. 2 D. 2i z|z-1|=2D.sin9 13设C为正向圆周|z|=1,则 14设C为正向圆周|z-1|=2,则Czdz=A6pi B4pi C2pi6.zdz= A. i B. 2i C. 3i D. 4i 02+2i D0 7.设C为正向圆周|z-a|=a(a0)，则积分CpipipiA. - B. - C. 2a2aadz= z2-a2piD. aCezdz= z-2Ae2 B2pe2i Cpe2i 15设C为正向圆周|z|=2，则D-2pe2i z+ez
8、dz= (z+1)4z38.设C为正向圆周|z-1|=1，则dz=A.0 B.i C(z-1)5C.2i D.6i CAppi B C2pei 3e6eDpei 3otzdz9.设C为正向圆周|z|=1，则cc=A. -2i B. 2i C. 16复积分e0iizdz的值是 -2 D.2 A -(1-e-1)i Be-1i C(1-e-1)i D-e-1i 4 ez17复积分dz的值是Aei Be-i C2ieiz-i|z-1-i|=218.25设C为正向圆周|z|=2，则cos2z(z-Cp2dz=_. 3)D2ie 设C圆周-i26|z-3i|=1ezcoszdz=_. 为正向sin2x|
9、x|=1，则当|z|1时，f(z)=dx=_. C(x-z)327. 设C为正向圆周|z|=1，计算积分I=sinzdz. C12(z-)(z+2)219.设f(z)=sinzdz,(|z|3),L:|z|=3，则f(z)=_. Lz-z28. 计算积分I=ez(z-a)31Cdz，其中C为正向圆周|z|=1，|a|1. ezcos zd(|z|5)，L：z=5，则f(z)=_. 20.设f(z)=L(z-z)229. 计算积分I=Cz2-(1+i)zdz，其中C为正向圆周|z|=2. 21.设C为正向圆周|z|=1,则e2-z30. 求积分Idz的值，其中C:|z|=4为正向. z-2z+i
10、z4dz的值，其中C:|z|=1为正向. 31. 求积分Iez-3C22. 设C为正向圆周|z|=1，则积分1zCdz=_. Rezdz=_. 32设C为正向圆周|z|=1，求I=zec1z2dz. 23设C为从i到1+i的直线段，则C33设C为正向圆周|z-i|=1dz,求I=. cz(z2+1)224设C为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分(z)zdz=_. 3C_ez34设C为正向圆周|z|=1，求I=5dz. Cz 5 35. 求积分I=iz2+2Cdz的值，其中C：|z|=4为正向. A绝对收敛 B条件收敛 C发散 D收敛于1 6ez36. 求积分I=dz的值，其中C：|z|=2为
11、正向. Ci4(z+)2137设C为正向简单闭曲线，a在C的内部，计算I=2pi4幂级数D0 n=011nz2的收敛半径为 A B1 C (1+i)n2Czezdz. 3(z-a)5. 下列级数中绝对收敛的是 38计算积分I=39计算积分I=c(x-y+ix)dz，其中C为从0到1+i的直线段 2(3+4i)nA. B. n!n=11+3i C. 2n=1nin n=1n D. n=1(1-i)nn+1122，其中C为正向圆周dzx+y-2x=0 22(z-1)(z+1)C第四章复习题 6. f(z)=1ez-1在z=i处的泰勒级数的收敛半径为 1. 复数列zn= D.不存在 npi2e的极限
12、为 A.-1 B.0 C.1 B. 2i C. D. 2 1在z=0处泰勒展开式的收敛半径是 7. f(z)=(z-2)(z-i)A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 A. i zn2. 设f(z)=，则f(10)(0)为A.0 n!n=0 B.1 C.1 10!8. f(z)=1在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为 21+z D.10！ A.3 B. 1 C.2 D.3 2coszz(z-i)213的幂级数展开式2-zaznn=0n在z=-4处 9. f(z)=在z=1处泰勒展开式的收敛半径是 A.0 B.1 C.2 D.3 6 z10. z=2i为函数f(z)=ez2(z2+4)2的 A.
13、可去奇点 B.本性奇点 C.极点 D.解析点 11. 以z=0为本性奇点的函数是 A.sinzz B.11-z(z-1) C.coszz2 D.sin1z12点z=-1是f(z)=(z+1)5sin1(z+1)的 A.可去奇点 B.二阶极点 C.五阶零点 D.本性奇点 13. z=0为函数cos1z的 A.本性奇点 B.极点 C.可去奇点 D.解析点 1-cosz14z=0是函数z2的 A本性奇点 B可去奇点 C一阶极点 D二阶极点15. f(z)=1z(z-1)2在0|z-1|1内的罗朗展开式是 nnA.(-1)z B.1n=0(z-1)2zn C. (-1)n(z-1)n D. n=0n=
14、0 (-1)n(z-1)n-2 n=016. 可以使f(z)=1z(z+3)3在点z=0处的罗朗展开式收敛的区域是A.0|z|2或2|z|+ B. 0|z|+ C. 0|z-2|2 D. 0|z-2|+17. f(z)=1(z-2)(z-1)在0|z-2|1内的罗朗展开式是 A.(-1)z B.1zn C.(z-2)n nnn=0(z-2) n=0n=0D.(-1)n(z-2)n-1n=018. 设an+1nlima=1+i，则幂级数anzn的收敛半径为_. nn=0n+119. 幂级数nn3_. n=0nz的收敛半径是20. 幂级数n!nn=1nnz的收敛半径是_. 7 bbnz中，limn
15、+1=3+4i，则该幂级数的收敛半径为21若在幂级数nbnn=030. 将函数f(z)=ln(3+z)展开为z的泰勒级数. n31将函数f(z)=ln(z2-3z+2)在z=0处展开为泰勒级数 1在圆环域1|z-1|+内的罗朗级数展开式； z1(2)求2在圆环域1|z-1|+内的罗朗级数展开式. z133. 将函数f(z)=在圆环域1|z-1|+内展开为罗朗级数. z(z-1)32. (1)求34. 将函数f(z)=35求f(z)=-2在圆环域0|z|2内展开为罗朗级数. z(z+2)_. 22幂级数nznnn-12的收敛半径是_. n23设znf(z)=(-1)2nn=0(10)，则f(0)
16、=_. 24. z=0是f(z)=25. f(z)=ln(1+z)的奇点，其类型为 . z2在圆环域1|z-1|3内的罗朗级数展开式. (z-4)(z-2)z+1z2(z-1)在圆环域0z1内展开为罗朗级数 1在圆环域0|z|1内的罗朗展开式为 . z-z21的幂级数展开式为1-zf(z)=36将函数26设f(z)=sin算系数a1,a2. aznn=0第五章复习题 n，求它的收敛半径，并计1. 设函数f(z)=eiz(z2+1)2，则Resf(z),-i=A.0 B.-ie 427. 求f(z)=ln z在点z=2的泰勒级数展开式，并求其收敛半径. 1在z=0展开为泰勒级数. 28 将函数f
17、(z)=(z+1)(z+2)29求f(z)=C.ie 4 D.2. 设f(z)=D.2 e 42zz2-1，则Resf(z),1= A.0 B.1 C. 1在z=0处的泰勒展开式. (z-1)(z-2) 8 3. 若f(z)=tgz，则Resf(z)，p = 2A. -2 B. - C. -1 D. 0 求f(z)在以上各孤立奇点的留数； +cos2x利用以上结果计算积分I=dx. -x2+44函数ztanz在z=0点的留数为 A2 Bi C1 D0 11求f(z)=z在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型； z2+1+eiaz-eibz5函数(a、b为实数,ab)在z=0点的留数为 z2Ai(
18、b-a) Bb-a Ca-b 6Rescotpz,1= A-7.设Di(a-b) 求f(z)eiz在以上奇点的留数； 利用以上结果，求I=12. 利用留数计算积分I=13求f(z)=-xsinxdx. 2x+11p B1p C-2i D2i dz，其中C为正向圆周|z|=1. Czsinz11nn-+1-(z-1)+L+(-1)(z-1)+L,则f(z)=2(z-1)(z-1)z2Resf(z),1= . 8.利用留数计算积分I=4(z-1)(z+4)|z|=2ezdz 1+z求f(z)在以上各孤立奇点的留数； +xsinx利用以上结果计算积分I=dx -1+x2114求f(z)=3在各个孤立
19、奇点处的留数. z(z-i)eiz在上半平面的所有孤立奇点； 9.求f(z)=1(z+1)(z+4)22在上半平面的所有孤立奇点； x2dx. 15利用留数计算积分I=22-(x+1)(x+9)+求f(z)在以上各孤立奇点的留数； 利用以上结果计算积分I=10.求f(z)=ei2z+dx(x2+1)(x2+4)-. e2z16利用留数计算积分I=c(z-1)2dz，其中C为正向圆周|z|=2 z217求f(z)=4在上半平面内的所有孤立奇点 2z+z+14+z2在上半平面的所有孤立奇点； 9 求f(z)在以上各孤立奇点的留数 利用以上结果计算积分I=第六章复习题 1. 把点z=1，i,-1分别
20、映射为点w=,-1,0的分式线性映射为 i(z+1)i(z-1)z-1z+1A.w= B.w= C.w= D.w= z+11-z1-zz+12. w=ez把带形区域0Im z2映射成W平面上的 A.上半复平面 B.整个复平面 D.割去正实轴及原点的复平面 位圆|1 35w=z把Z平面上区域0映射成W平面上的区域 +-x2dx 42x+x+1ppA-3j0 B-j0 C0j3 D0j0映射成_. 8分式线性映射9. 设D是上半单位圆：Im z0,|z|1，求下列保角映射： w1=f(z)把D映射为第象限D1，且f(1)=0； w2=g(w1)把D1映射为第象限D2； w=h(w2)把D2映射为上
21、半平面D3； 求把D映射为D3的保角映射w=F(z). 10. 设D是Z平面上的带形区域：10Imz10+，试求下列保角映射： 1=f1(z)把D映射成1平面上的带形区域D1：0Im10； =f3(2)把D2映射成平面上的单位圆域D3：|0映射为上半平面Im0 B.将上半平面Imz0映射为单位圆|1 C.将单位圆|z|0 D.将单位圆|z|1映射为单位圆|0映射为上半平面Im0 B.将上半平面Imz0映射为单位圆|1 C.将单位圆|z|0 D.将单位圆|z|1映射为单4. 线性变换= 10 w=f2(w1)把D1映射成W平面的第一象限； w=f(z)把D映射成W平面的第一象限. 12. 设D是
22、Z平面上的带形区域：1Rez1+，求下列保角映射： 1=f1(z)把D映射成1平面上的带形区域D1：0Re1； 2=f2(1)把D1映射成2平面上的带形区域D2：0Im20； 综合以上三步，求把D映射成D3的保角映射=f(z). 13设D为Z平面上的扇形区域0argz0. 第二篇复习题 1.函数的傅氏变换F d(t)为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 2. 函数f(t)=t的傅氏变换F f(t)为 A.() B.2i() C.2id() D.d() 1t2-23函数f(t)=2pe的傅氏变换Ff(t)为 -wA e 2p3,|z|1.求下列保角映射： w1=f1(z)把D映射为W1平面的上
23、半单位圆盘D1； w=f2(w1)把D1映射为W平面上的第一象限； w=f(z)把D映射为W平面上的第一象限. B e-w22 C w2e2wD e 214设Z平面上区域D：|z|1试求以下保角映射: 11 w1=f1(z)把D映射成W1平面上的带形域D1：4Imw104.求函数2d(t)-3f(t)的傅氏变换，其中f(t)= 0,t0.5求函数3f(t)+2sint的付氏变换，其中 f(t)=6. (1)求e-t的拉氏变换Fe-t； 1,|t|10,|t|1 ; w2=f2(w1)把D1映射成W2平面上的带形域D2：0Imw20; y(0)=0， y(0)=1，求Fy(t)、Fy(t)； 1
24、1 y+2y-3y=2e-t利用拉氏变换求解常微分方程初值问题： y(0)=0,y(0)=17.(1)求et的拉氏变换L e t; (2)设F=L y(t)，其中函数y(t)二阶可导，L y(t)、L y(t)存在，且y(0)=0， y(0)=0，求L y(t)、L y(t); 全国XX年4月自考复变函数与积分变换试题 一、单项选择题 11设z=1-i,则Im(2)= z11A-1 B- C D1 222复数z=y-2y+y=et(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题： y(0)=0,y(0)=0.p2+48求函数F(p)=2的拉氏逆变换 (p-4)23+i的幅角主值是 2-i C 42DA
25、0 B3 49.求sint的拉氏变换； 设F=y(t)，其中函数y(t)可导，且y(0)=-1,求y(t). 3设n为整数，则Ln= A1-i B(2n-)i C1+2(n-)i 222 y+y=sinty(0)=-1利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：D1+2(n+)i 24设z=x+iy.若f (z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)为解析函数，则 Am=-3,n=-3 Bm=-3,n=1 Cm=1,n=-3 5积分 Dm=1,n=1 i2iezdz= A1p(1+i) B1+i C2ip D2p 12 6设C是正向圆周z-1=1,则sin(pz/3)Cz2-1dz= A-32pi
26、B-3pi C334pi D2pi 7设C是正向圆周z=3，则sinzC= (z-pdz2)3A-2pi B-pi Cpi D2pi (ez8点z=0是函数f(z)=-1)sinzz2(z-1)的 A可去奇点 B一阶极点 C二阶极点 D本性奇点 9函数f(z)=z(z+2)(z-3)在z=1的泰勒展开式的收敛圆域为Az2 Bz-12 Cz3 Dz-13 10设f(z)=sinzz2(1-z),则Resf (z),0= A-1 B-12 C12 D1 二、填空题 11复数-1-i的指数形式为_. 12设z=x+iy满足x-1+i(y+2)=(1+i)(1-i)，则z=_. 13区域0arg zp
27、4在映射w=z3下的像为_. 14设C为正向圆周z=2,则e2zCz-1dz=_. 15函数f(z)=1z2(1-z)在圆环域0z1内的罗朗展开式为_. 116设f(z)=z(ez-1),则Resf (z),0=_. 三、计算题 17将曲线的参数方程z=3eit+e-it化为直角坐标方程. 18设C是正向圆周z-1=1ez2,计算Cz2-3z+2dz. 19求f(z)=z(z+1)(z-2)在z=0处的泰勒展开式，并指出收敛圆域. 20求f(z)=2z+1(z-1)(z+2)在圆环域1z0),f(z)是在右半平面上以v (x,y)为虚部的解析函数，求f (z). 23设C是正向圆周z=2，计算
28、I=ezCz2(z-1)dz. 24设C是正向圆周z=1，计算I=(1+z22C)sinzdz. 13 四、综合题 125求f(z)=2在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型； z-2z+2求出f(z)eiz在以上奇点处的留数；利用以上结果，求积分cosqiq+sin 3332.下列集合为无界单连通区域的是( ) A. Re(z-5i)2 B. | z-5i |3 C. | z-5i |0 3.下列选项中不属于cosz性质的是( ) A. cosz以2为周期 B. cosz是偶函数 C .cosz是有界函数 D. cosz在Z平面解析 4.Ln(-1)的主值是( ) A. -2i B. i C.
29、 i D. 2i 5.复积分A. 1+i D. Im(z-5i)-1 cosxI=dx. -x2-2x+2+26设D为Z平面上的带形区域：0Imzp.求以下保角映射： w1=f1(z)将D映射成W1平面的上半平面D1； w=f2(w1)将D1映射成W平面的单位圆盘D2|w|1; w=f (z)将D映射成W平面的单位圆盘D2|w|1. 27求函数f(t)=3(t+1)2+5e-2tsin3t的拉普拉斯变换. 0z2dz的值是( ) 2222 B. C. D. 33336.复积分全国XX年7月自考复变函数与积分变换试题 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)。 1.(cosq+i
30、sinq)=( ) A. cos(3q)+isin(3q) B. cos3|z|=2zdz的值是( ) z+iA. -i B i C. -2 D. 2 7.z=0是函数sinzz2的( ) D. 二阶极点 A. 本性奇点 B. 可去奇点 C. 一阶极点 q3+isinq3 C .cos(3q)+3isin(3q) D. eiz,i8.Res=( ) 21+z 14 A. -ieiiie B. - C. D. 22e2e216.分式线性映射w=i3z-1把单位圆内部z1映射成_。 3-z9.w=z3把Z平面上的角形域0p映射成W平面上的区域是( ) 三、计算题 3A. -2j B. -j0 C. 0j D. 0j0时解析,试确定a的值。 20.(本题6分)计算积分Rezdz,其中C为抛物线y=x2上从0到1+i的弧段。 c21.(本题7分)计算积分I=1-coszcz3dz,其中C为正向圆周z=32。 22.(本题7分)利用留数计算积分I=1c(z-2)2z3dz,其中C为正向圆周z-3
