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1、复变函数练习题考试复习题一. 填空 11-cosq+isinq的指数形式： 2sinqe2i(p-q)22 (3+4i)1+i=5e-arctan(43)-2kpcosln5+arctan(43)+isinln5+arctan(43) sin6-ish23 tan(3-i)= 2ch21-sin23() 4 函数f(z)=y3-3x2y+ix3-3xy2解析，则则f(z)=-6xy+i3x2-3y2 5 6 ()()dz=0 2z=1z+2z+2z=2(z+i)(z-1)(z-3)10dz=-pi(3+i)107 函数zf(z)=1+z21+epz()()的奇点：z=i，二级极点；zk=(2k
2、+1)i,k=1,2,L为一级极点8 将函数f(z)=sin2z展开为z的幂函数： f(z)=(-1)n=1n+122n-12nz,z0映为上半平面Im(w)0，w(2i)=i,w(0)=1,则映射w=f(z)可能为： 2z+1iz+2z+2z+2i, B f(z)=, C f(z)=, D f(z)= -z+1-z+2-z+2-z+2i三 设函数f(z)在z=z0连续，且f(z0)0，求证:可以找到z0的一个邻域，使函数f(z)在此邻域的内取值不 A f(z)=为零。 四 计算积分2z+Re(z)dz，其中C是从点A(1,0)到B(-1,0)的上半个圆周。 C 1 z2-2z+5五 求f(z
3、)=在圆环域1z2和0z-2b0)。 六 计算0a+bcosq七 设w=f(z)在z1上解析，且为分式线性映射，f(z)1，w=f(z)将z1映为w0，存在d0， 使当z-z0d时，有： f(z)-f(z0)f(z0)2 从而 f(z0)-f(z)f(z0)20 即：f(z)0. 四 解：C的参数方程为z=cost+isint，0tp， 2z+Re(z)dz=(3cost+2isint)(-sint+icost)dt =(-5sintcost)dt+i(3cost-2sinC0pp200p2t)dt 5pt5p=cos2t|0+i+sin2t=i 42402z2-2z+5五 求f(z)=在圆环
4、域1z2和0z-25内的罗朗展开式。 2(z-2)(z+1)p112p1pdq=dq六 解：由于奇偶性，. 0a+bcosq2220a+bcosqa-biqz-a七 证明：由题意得，f(z)=e 1-az21-f(z)22()()1-fz=fz1-z 欲证f(z)=，只需要证明： (*) 21-zp()iq由于f(z)=e1-a22(1-az)，故f(z)=1-a1-az222iq又f(z)=f(z)f(z)=e2z-a-iqz-ae =1-az1-azzz-az-az+a1-az= f(z)1-z代入前面(*)，可得：1-f(z)=1-2zz-az-az+a1-az22(2) 故不等式得证。
5、 又因为z1,f(z)1，则：f(z)=1-f(z)1-z2211-z2复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题 1z=-12-2i的三角表示式： ，指数表示式 2limf(z)表示z以 方式趋于z0时，f(z)的极限。 zzo 。 2 3设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)= dz= |z|=1z2+5z+6ln(z+1)5函数f(z)=的奇点： z = 。 4积分。 ，孤立奇点： 极点： 。 6若w=f(z)在zo为共形映射， 表示这个映射在zo的转动角 表示这个映射在zo的伸缩率。 7分式线性映射具有 性， 性， 性。 8如果要把带形域映成角形域，我们经常利用 函数。 9
6、傅代变换中，F(w)= ，f(t)= 。 10拉代变换中，F(s)= ，f(t)= 。 11以T为周期的函数f(t)，即f(t+T)=f(t)(t0)，当f(t)在一个周期上是分段连续时，则有Lf(t)= 。 二、判断题 1区域Im(z)0是无界的单连通的闭区域。 2初等函数在其定义域内解析，可导。 3解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的u(x,y)与v(x,y)互为共扼调和函数。 4如果f(z)在zo解析，那么f(z)在zo连续。 5如果f(zo)存在，那么f(z)在zo解析。 6如果zo是f(z)的奇点，那么f(z)在zo不可导。 7如果u(x,y)，v(x,y)的偏导数存在，
7、那么f(z)=u+iv可导。 8每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。 9幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。 10在zo处可导的函数，一定可以在zo的邻域内展开成泰勒级数。 三、计算 3eiz12dz C:|z-2i|=，取圆周正向。 2Cz+1sinzdz C:|z|=2，积分沿圆周正向。 p2C(z-)2dz3|z|=2 积分沿圆周正向。 (z+i)10(z-1)(z-3)2xsinxdx的值 220x+a四、求解 1求u(x，y)=y33x2y与它的共扼调和函数v(x，y)构成的解析函数f(z)=u(x，y)+iv(x，y) 4I=+(z-1)2n2求幂级数的和函数，并注明其收敛域。
8、n!n=03求对数函数的主值ln在z=0处的泰勒展式。 14求函数在z=2处的罗朗展式，并指明其收敛圆环。 (z-1)(z-2)5应用付代变换解微分方程： H(t)+H(t)=d(t) -t+ 6求F(s)=s这个拉氏变换的逆变换。 2s+1参考答案 一、填空题 3 -pi5514cosp-isinp，4e6； 6652任何； 3ux+ivx，vyiuy； +-+0 40； 50，1，负实轴，0，无； 8指数； 6Argf(zo)，f(zo)； 97保角，保圆，保对称； f(t)e-iwtdt，1-st2p+-f(w)e-iwtdw； 101b+iF(s)estds； f(t)edt，2pib
9、-i1111-e-sTT0f(t)e-stdt 6； 二、判断题 1； 2； 3； 7； 8； 9； 三、计算 4； 10。 5； eiz1解：=cize=pe(1分) =2pi=2piez+iz=i2z(z+idz (2分)=pe z=i)-12解：=2pif(n)(zo)n!p2原式=2piResf(z),p22 =2picoszz=0 =2picoszz=p=0 3解：=-2piResf(z),3+Res(z), pi1 =-=-2pi+01010(3+i)2(3+i)exzixiz=2pi=pie-a(2分) 4解：(2分)edx=2piRese,ai2222-x+az+a2+-a+-
10、xsinx1-a=pe(2分) x2+a22四、求解 1解：uv=-6xy= xy2v=-6xydy=-3xy+g(x)v=-3y2+g(x) xvu =-xy22232-3y=g(x)=-3y+3x g(x)=x3+c v(x,y)=x-3xy+c f(z)=(y-3xy)+i(x-2xy+c)=i(z+c) 2(z-1)2n2解：=e(z-1) n!n=013解：=(-1)nzn 1+zn=032323|z|+ |z|1 nxdzn=(-1)zndz ln(1+z)=001+zn=0n+1nz =(-1) |z|1 n+1n=0z 4 4解：将f(z)在1|z2|z-2|1) n+2(z-
11、2)n=05解：FH(t)+1+(t)=Fd(t) iwFH(t)+FH(t)=1FH(t)=e-bt衰减函数f(t)=0e-btt0H(t)= 0t01 iw+1t01 Ff(t)= b+iwt0 =(e+e)=cost2+s=isste2ss=-i复变函数与积分变换试题与答案 一、填空 1z=i的三角表示式是： 。指数表示式是 曲线是一个 。 338的全部单根是： ， ， 4函数在f(z)=|z|2在z平面上是否解析 5设C是正向圆周|z|=1，积分6函数f(z)=12 。2|z-1|=4在复平面上表示的。 。 。 ，其中 是极dz= cz2e的弧立奇点是 和 2(1-z)点， 是本性奇点
12、。 7级数1+z+z2+L+zn+L在|z|1时的和函数是 8分式线性映射具有 ， ， 二、判断题(每题2分，请在题后括号里打“”或“”)。 1零的辐角是零。 2i2i. 3如果f(z)在z0连续，那么f(z0)存在。 4如果f(z0)存在，那f(z)在z0解析。 。 。 ） ） ） ） ） ） ） ） 5e2=e-z 6解析函数的导函数仍为解析函数 7幂级数的和函数在其收敛圆内解析。 8孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为-b-1 9单位脉冲函数d(t)与常数1构成一个傅氏变换对。 10共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。 三、计算题 5 sinzdz 3z212|z|=4+dz z+1
13、z-31c3|z|=2zezdz z2-11在无穷远点处的留数 (z+i)10(z-2)四、求解题 1 求函数u(x,y)=x2-y2的共扼调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数f(z)，使f=0。 12 求函数f(z)=在0|z-1|1内的罗朗展开式。 2z(1-z)五、解答题 t001求函数f(t)=-bt的傅氏变换F(w)。 t0e2求方程 y+2y-3y=e-t满足初始条件yt=0=1，yt=0=0的解。 4求函数f(z)=参考答案 一、1 cos p2+isinp2 ，eip2 2. 圆 73. 1-3i 1+3i 2 4. 否 5. 0 6. 1，1， 2. 8. 18. 保角
14、性，保圆性，保对称性 1-z5. 6. 二、1 7. 3. 9. 4. 10. 三、1解：原式=2pi(sinz)z=0 4分=sinzz=0=0 3分 2!dz2+dz=2pi+4pi=6pi 2解：原式=|z|=4z+1|z|=4z-3111z13解：+edz=ez+ez2pi=2pich1 z=1z=-1|z|=22z-1z+12114解：Resf,=-Resf2,0 zz911z=-Res,0=Res,0=0 2101101z(1+zi)(1-2z)+i-2zzuu=2x =-2y 四、解： xyf(z)=uvuv+i=-i=2z xxxx2f(z)=z2 f(z)=z+c f(0)=0 112解：=(-1)n(z-1)n z1+z-1n=0f(z)=(-1)n=0n(z-1)n-2 6 五、解： -iwtF(w)=(2分）(t)edt -+=+0e-bte-iwtdt=-t1 b+iw2解：F y+2y-3y=F e S2Y-SY-Y+2SY-Y-3Y=(S2+2S-3)Y=Y1 S+1(2分) 2 S+1S+2(S-1)(S+1)(S+3)y(t)=ResYest,Sk S+2S+2(S+2)eststst=e+e+(S+1)(S+3)s=1(S-1)(S+3)s=-1(S+1)(S-1)311=et-e-t-e-3t 848s=-3 7 8
