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1、复变函数课后部分习题解答1.2求下列各式的值。 (解：3-i) 53-i=2cos( -30)+isin(-30) 5 =2cos30- isin30 (3-i)=2cos(305)-isin(305) 5 =25(-3/2-i/2) =-163-16i 1.2求下列式子的值 6 解：令z=1+i 则x=Re=1，y=Im=1 r=z=x2+y2=2 tanq=1 Qx0,y0 q属于第一象限角 q=yxp 4pp+isin） 446p6p6=6 441+i=2 =-8i 1.2求下式的值 (3)6-1 因为 -1= 所以 6-1=cos(p+2kp/6)+sin(p+2kp/6) (k=0,
2、1,2,3,4,5,6). 习题一 1.2求(1-i)的值。 1311解：(1-i)3 =2(cos-4+isin-4)3 =62cos(8k-1)(8k12)+isin(-1)12) (k=0,1,2) 1.3求方程z3+8=0的所有根。 解：所求方程的根就是w=3-8 因为-8=8 所以3-8= r cos(p+2kp)/3+isin(p+2kp)/3 k=0,1,2 其中r=3r=38=2 即 w1=2cosp/3+isinp/3=13i w2=2cos(p+2p)/3+isin(p+2p)/3=-2 w3=2cos(p+4p)/3+isin(p+4p)/3= 13i 习题二 1.5 描
3、出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。 (1) Im(z)0 解：设z=x+iy 因为Im(z)0，即，y0 而x(-,) 所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。 由所确定的区域可知，不存在某一个正数M，使得确定区域内的每个点z满足zM，所以该区域是无界的。 在该区域D内任意作一条简单闭曲线，该曲线的内部总是属于D区域，所以区域D为单连通区域。 综上所述，该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域，是无界的单连通区域。 描出下列不等式的区域或闭区域，并指出它是有界还是无界的，单连通的还是多连通的。 1.5解：该不等式的区域如图所示： y
4、1 5 x 圆+=4的外部，无界的，为开的多连通区域 1.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的 0Re(z)1 由直线X=0与X=1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域。 1.5描述下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的： 2z3 22222z3解：即4x+y9为由圆周x+y=4与x2+y2=9所围成的环形闭区域，是有界多连通闭区域。 如图： 已知映射w=z3， 求 点z1=i，z2=1+i，z3=3+i，在w平面上的像。 解：z=rei，则w=z3r3 Z1=i=ei。于是
5、p2, z2=1+i= Z3=+i=2=2= 经映射后在w平面上的像分别是 W1=-i, W2=-2+i2， W3=8i 第47页 3.5计算下列各题 = =-(zcosz)z=1 -(zcosz)z=0 - dz ) =cos1-sin1注：因输入法问题。故特设定z的共轭负数为z*,除号为/ 1.7：设f=1/z2 (z/z*z*/z) (z0) 当z0时，极限不存在 解法一：首先假设zr ei 则有：(z/z*z*/z) r2 ( e-2 i- e2 i )/ r2 -2isin2 可见是随发生变化而变化的变量 所以根据极限必须为常数可知 当z0时，极限不存在 是以此题得证。 解法二：首先
6、假设zx+iy 则(z/z*z*/z) (z*2 z2 )/x2 y2 -4ixy/ x2 y2 所以可见，当z0时， 即当x0, y0时 因为有lim 2 (x0, y0)xy/ xy2 极限不存在所以当z0时， f=1/z2 (z/z*z*/z)的极限不存在 是以此题得证。 2.1 利用导数定义推出： (zn)、=nzn-1(n为正整数)； lim 解 Dz0lim = Dz0(z+Dz)n-znDz0nn-12n-2ncnz+c1Dz+cnzDz2+L+cnDzn-znnz Dz =limn-2n-1(nzn-1+c2) Dz+.+cnnznDzDz0 =nzn-1 2.1 (2) =-
7、 = =- (2)f(x)=2x3+3y3i 解：u=2x3 ，v=3y3 。 vuu=0, v=9y2 =0 ,=6x2 ,xyyx上述4个偏导处处连续，但仅当2x2=3y2时C-R方程成立。因而函数只在直线2x3y=0上可导，但是在复平面上不解析。 习题2 2.2的第一小题 下列函数在何处可导？何处解析？ f(z)=x2解： -iyf(z)=x-iy2 u=xv=-yu=2xxu=0yv=0xv=-1yuv=xyuv=-yx2在 z 平面上处处连续，且当且仅当 2x = 1 时，u,v 才满足C-R 条件，故f (z) = u + i v = x -i y仅在 直线 1x=-2上可导，在z
8、 平面上处处不解析。 7.6(2)：求下列函数的傅里叶变换：f(t)=costsint. 解：F= = = = = = 22以下函数何处可导？何处解析？ f=sinxchy+icosxshy 解： u=sinxchy v=cosxshy vuuv=cosxchy =sinxshy =cosxchy =-sinxshy yyxx 可得 uvuv= =- xyyx并且上述四个一阶偏导数均连续，所以f(z)在复平面内处处可导，从而在复平面内处处解析。 25页 习题二 2.3指出函数的解析性区域并求其导数 (1) (z-1)5 解：由题可知(z-1)5 处处解析 其导数f(z)=5(z-1)4 25页
9、 习题二 2.3指出函数的解析性区域并求其导数 z3+2iz 解：设f(z)=z3+2iz，z=x+iy 则f(x,y)=(x3-3xy2-2y)+i(3x2y-y3+2x) 令 u=x3-3xy2-2yv=3x2y-y3-2x 则 ux=3x2-3y2u vx=6xy+2y=-6xy-2vy=3x2-3y2又令 ux=vy uy=-vx 即 3x2-3y2=3x2-3y2 -6xy-2=-(6xy+2) 所以f(z)在复平面内处处解析，即z3+2iz在复平面内处处解析，其导数为3z2+2i。 题：指出下列函数的解析性区域，并求其导数； 解：令得 和 所以该函数除和外在复平面上处处解析； 该函
10、数的导数为： 25页： 习题二 2.3指出下列函数的解析性区域，并求其倒数。 .解. 当c=0时，函数在复平面处处解析； (c d中至少有一个不为0) 的倒数为； 当c！=0时：函数除z=- 外在复平面处处可导，处处解析； 解: 因为：当z(所以 z=0；)=0; =-1 ）的倒数为由Z= 计m=-1=cos+i sin Z=cos+i sin当n=0时，z=i； 当n=1时，z=-i； 所以本题奇点分别为0；-i ; i ; 2.4 求下列函数的奇点: z-2.(2) (z+1)2(z2+1) 解:令原函数分母(z+1)2(z2+1)=0z=-1,i. 即:原函数在z=-1,i处不解析, 故
11、原函数的奇点为-1,i. 2.10求Ln，Ln和他们的主值。 解： Ln=Ln|-i|+i+2k）=i =i，k=0，+1，+2， ln=ln|-i| + i arg=- Ln=ln|-3+4i| + iarg+2k =ln5+i+2k =ln5-i），k=0，+1，+2， ln=ln|-3+4i| + i arg(-3+4i)=ln5+i(-arctan) 习题2.12 e1-i*p2=e*e-i*p2=e*(cos(p2)-isin(p2)=e*(-i) e( 1+i*p)4=4e*ei*p4=4e*(cos(p4)+isin(p4)=4e*22+i22 =44*e2*(1+i) 3i=e
12、i*Ln3=ei*(ln3+iArg3)=e-2kp*eln3=e-2kp*(cosln3+isinln3) (1+i)i=ei*Ln(1+i)=ei*(lm|(1+i)|+iArg(1+i)=ei*ln|(1+i)|*e-(2k+14)*p=*ln2ln2cos2+isin2e-(2k+14)*p 习题三 46页 3.1沿下列路线计算积分自原点至3+i 的直线段； 解：此直线的参数方程可写成： x=3t，y=t， 0t1， 或 z=3t+it，0t1， z=3t+it， =.于是 ： = 书46页 3.1沿下列路线计算积分0z2dz: (2)自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至3+i. 解:设
13、z=x+iy,c1:原点到3,y=0,x0,3 3+izdz=(x+iy)d(x+iy)=xdx=222c1c1c12301xdx=x3=9; 3023c2:3到3+i,(3,0)到(3,1),x=3,y0,1, zdz=(x+iy)d(x+iy)=(3+iy)d(3+iy)=i(3+iy)dy 2c2c200212121111333=(3+iy)=(3+i)-33=(3+i)-933303 z2dz=z2dz+z2dz=9+cc1c211(3+i)3-9=1(3+i)333z3.2 试用积分cdz的值，其中C为正向圆周：z=2. z解：正向圆周由公式得：2pz2eitczdz=02eit2i
14、edt=2i0dt=4pi 2pitz=2的参数方程为：z=2eit(0t2p) 复变函数期中作业 习题三 34沿指定曲线的正向计算下列各积分: 解：由柯西积分公式得 3.4 , C:|z|=2 解：因为 C：|z|=2，被积函数奇点z=3 所以 f=所以 在D内解析 =0 习题三3.4 dz/ C:z=1 解：取=0在C内，f(z)在C内解析 所以，原式=f(z)dz/= (z)=i 习题三 3.4 dz ，C为包围Z=0的闭曲线。 解析函数，也为解析函数 ，两个解析函数相乘的积解：因为还是解析函数。 所以由柯西积分定理得 dz=0 cdz3,c=|z|= (z2+1)(z2+4)2该区域内，z=i为奇点 则dz111111i111=(-)dz=dz-dz=(-)dz-dz2222222(z+1)(z+4)3z+1z+43z+1z+46z-iz+iz+4ccccccc13dz的奇点不在|z|=的范围内， z2+421dz=0， 2z+4i611idz-dz=(2pi-2pi)=0 z-iz+i6c则c原式=c
