大一高等数学公式.docx

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1、大一高等数学公式高等数学公式 导数公式： 2(tgx)=secx(arcsinx)=(arccosx)=-(arctgx)=11+x11-x22(ctgx)=-cscx11-x22(secx)=secxtgx(cscx)=-cscxctgx(a)=alna(logaxxx)=1xlna(arcctgx)=-11+x2基本积分表： 三角函数的有理式积分： tgxdxctgxdxsecaxa=-lncosx+C=lnsinx+Ccossindx2xx=seccsc2xdx=tgx+Cxdx=-ctgx+Cdx22xdx=lnsecx+tgx+Ccscxdx=lncscx-ctgx+Cdx2secx

2、tgxdxcscxctgxdxax=secx+C=-cscx+C+C+xdx-adx-xdx22=1a1arctglnlnxa+C+C+Cx-ax+aa+xa-xxadx=axlna222a12ashxdxchxdxp2=chx+C=shx+C=ln(x+xa)+C2222a-x2=arcsin+Cdxxa22p2In=sin02nxdx=cos0nxdx=2n-1naaa2In-2x+a)+Cx-axa+C2222sinx=2u1+ux+adx=x-adx=a-xdx=22222x2x2x2x+a+x-a-a-x+2222222ln(x+lnx+arcsin22+C2，cosx=2x2du，

3、u=tg，dx=22 21+u1+u 1 / 12 1-u2一些初等函数： 两个重要极限： e-e2e+e2shxchx2x-xx-x双曲正弦:shx=双曲余弦:chx=双曲正切:thx=arshx=ln(x+archx=ln(x+arthx=12ln1+x1-xlimsinxx1xx0=1)=e=2.7182818284x59045.lim(1+x=e-ee+exx-x-xx+1）x-1)2三角函数公式： 诱导公式： 函数 角A - 90- 90+ 180- 180+ 270- 270+ 360- 360+ sin cos tg -tg ctg ctg -ctg tg -ctg ctg tg

4、 -ctg ctg -sin cos cos cos sin sin -sin -ctg -tg -cos -tg -sin -cos tg -cos -sin ctg -cos sin -sin cos sin cos -tg tg -ctg -tg 和差角公式： 和差化积公式： sin(ab)=sinacosbcosasinbcos(ab)=cosacosbmsinasinbtg(ab)=tgatgb1mtgatgbctgactgbm1ctgbctgasina+sinb=2sinsina-sinb=2cosa+b2cossina-b2a+b2a-b2cosa+cosb=2coscosa-c

5、osb=2sina+b2cossina-b2ctg(ab)=a+b2a-b2 2 / 12 倍角公式： sin2a=2sinacosacos2a=2cosa-1=1-2sina=cosa-sinactg2a=tg2a=ctga-12ctga2tga1-tga222222sin3a=3sina-4sinacos3a=4cosa-3cosatg3a=3tga-tga1-3tga2333半角公式： sintga2=1-cosa21-cosa1+cosaasinA1-cosasinabsinB=cosctga2=1+cosa21+cosa1-cosa22=1+cosasina2a2=csina1+co

6、saa2=sina1-cosa正弦定理： =sinC=2R 余弦定理：c=a+b-2abcosC 反三角函数性质：arcsinx=p2-arccosxarctgx=p2-arcctgx 高阶导数公式莱布尼兹公式： n(uv)=u(n)=Ck=0knu(n-k)v(k)(n)v+nu(n-1)v+n(n-1)2!u(n-2)v+L+n(n-1)L(n-k+1)k!u(n-k)v(k)+L+uv(n)中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理：柯西中值定理：f(b)-f(a)=f(x)(b-a)=f(x)F(x)拉格朗日中值定理。f(b)-f(a)F(b)-F(a)当F(x)=x时，柯西中值定理就是曲

7、率： 弧微分公式：平均曲率：K=ds=DaDs1+ydx,其中y=tga.Da:从M点到M点，切线斜率的倾角变DaDsdadsy(1+y)232化量；Ds：MM弧长。M点的曲率：直线：K=0;K=limDs0=.半径为a的圆：K=1a. 3 / 12 定积分的近似计算： b矩形法：f(x)abb-an(y0+y1+L+yn-1)梯形法：f(x)abb-a1(y0+yn)+y1+L+yn-1n2b-a3n(y0+yn)+2(y2+y4+L+yn-2)+4(y1+y3+L+yn-1)抛物线法：f(x)a定积分应用相关公式： 功：W=Fs水压力：F=pA引力：F=km1m2r2,k为引力系数 函数的

8、平均值：y=1b-abb-aa1bf(x)dx均方根：af(t)dt2空间解析几何和向量代数： 空间2点的距离：向量在轴上的投影：d=M1M2=(x2-x1)+(y2-y1)+(z2-z1)222PrjuAB=ABcosj,j是AB与u轴的夹角。vvvvPrju(a1+a2)=Prja1+Prja2vvvvab=abcosq=axbx+ayby+azbz,是一个数量两向量之间的夹角：cosq=k,axbx+ayby+azbzax+ay+azbx+by+bz222222ivvvc=ab=axbxjaybyvvvaz,c=absinq.例：线速度：bzaybycyazbzczvvvv=wr.axv

9、vvvvv向量的混合积：abc=(ab)c=bxcx代表平行六面体的体积。vvv=abccosa,a为锐角时， 4 / 12 平面的方程：1、点法式：vA(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，其中n=A,B,C,M0(x0,y0,z0)Ax+By+Cz+D=0xa+yb+zc=1d=Ax0+By0+Cz0+DA+B+C空间直线的方程：2222、一般方程：3、截距世方程：平面外任意一点到该平面的距离：x=x0+mtx-x0y-y0z-z0v=t,其中s=m,n,p;参数方程：y=y0+ntmnpz=z+pt02222二次曲面：1、椭球面：2、抛物面：3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面

10、：xaxa2222xa222+yb+2zc=1xy2p2q=z+-ybyb2222-+zczc2222=1=1多元函数微分法及应用 全微分：dz=zxdx+zydydu=uxdx+uydy+uzdz全微分的近似计算：多元复合函数的求导法Dzdz=fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy：dzzuzvz=fu(t),v(t)=+dtutvtzzuzvz=fu(x,y),v(x,y)=+xuxvx当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=uxdx+uydydv=vxdx+vydy隐函数的求导公式：FFFdydydy隐函数F(x,y)=0，=-x，2=(-x)(-x)dxFyxFyyFydxdxF

11、yFxzz隐函数F(x,y,z)=0，=-，=-xFzyFz 5 / 12 2FF(x,y,u,v)=0(F,G)隐函数方程组：J=uG(u,v)G(x,y,u,v)=0uuxuy=-=-1(F,G)v1(F,G)=-J(x,v)xJ(u,x)1(F,G)v1(F,G)=-J(y,v)yJ(u,y)Fv=FuGGuvFvGv微分法在几何上的应用： x=j(t)x-x0y-y0z-z0空间曲线y=y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：=j(t0)y(t0)w(t0)z=w(t)在点M处的法平面方程：若空间曲线方程为：j(t0)(x-x0)+y(t0)(y-y0)+w(t0)(z-z0)

12、=0,GzGzFzFz,GxGxFxFxFyGyvFyF(x,y,z)=0,则切向量T=GyG(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：v1、过此点的法向量：n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)2、过此点的切平面方程3、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0)=0x-x0Fx(x0,y0,z0)=y-y0Fy(x0,y0,z0)=z-z0Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度： 函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向其

13、中j为x轴到方向l的转角。函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=它与方向导数的关系是单位向量。l多元函数的极值及其求法： f是gradf(x,y)在l上的投影。fvfvi+jxyl的方向导数为：fl=fxcosj+fysinjvvfvv：=gradf(x,y)e，其中e=cosji+sinjj，为l方向上的l设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：值AC-B0)的引力：F=Fx,Fy,Fz，其中：，Fy=f3Dr(x,y)xds222Dr

14、(x,y)yds222，Fz=-fa3Dr(x,y)xds3(x+y+a)2(x+y+a)2(x+y+a)2222柱面坐标和球面坐标： x=rcosq柱面坐标：y=rsinq,f(x,y,z)dxdydz=Wz=z其中：F(r,q,z)=f(rcosq,rsinq,z)x=rsinjcosq2球面坐标：y=rsinjsinq，dv=rdjrsinjdqdr=rsinjdrdjdqz=rcosj2pWF(r,q,z)rdrdqdz,pr(j,q)Wf(x,y,z)dxdydz=1MWF(r,j,q)rsinjdrdjdq=1M2dqdj00F(r,j,q)rsinjdr02重心：x=转动惯量：W

15、xrdv,y=Wyrdv,z=1M2Wzrdv，其中M=x=22WrdvIx=W(y+z)rdv，Iy=22W(x+z)rdv，Iz=2W(x+y)rdv曲线积分： 第一类曲线积分：x=j(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,(atb),则：y=y(t)bLf(x,y)ds=ax=t22fj(t),y(t)j(t)+y(t)dt(ab)特殊情况：y=j(t) 7 / 12 第二类曲线积分：x=j(t)，则：y=y(t)bP(x,y)dxL+Q(x,y)dy=aPj(t),yL(t)j(t)+Qj(t),y(t)y(t)dt两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量格林公式：系：Pd

16、x+Qdy=的方向角。)dxdy=(PcosaL+Qcosb)ds，其中a和b分别为(DQx-PyPdxL+Qdy格林公式：(DQx-Py)dxdy=12PdxL+QdyQP当P=-y,Q=x，即：-=2时，得到xy平面上曲线积分与路径1、G是一个单连通区域；无关的条件：D的面积：A=Ddxdy=xdyL-ydx2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数减去对此奇点的积分，二元函数的全微分求积在QxPy注意方向相反！：，且QxPy。注意奇点，如(0,0)，应u(x,y)的全微分，其中：时，Pdx+Qdy才是二元函数(x,y)u(x,y)=P(x,y)dx(x0,y0)+Q(x,y)

17、dy，通常设x0=y0=0。曲面积分： 对面积的曲面积分：对坐标的曲面积分：f(x,y,z)ds=Dxyfx,y,z(x,y)1+zx(x,y)+zy(x,y)dxdy22P(x,y,z)dydzDxy+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：号；R(x,y,z)dxdy=Rx,y,z(x,y)dxdy，取曲面的上侧时取正=Px(y,z),y,zdydz，取曲面的前侧时取正Dyz号；号。+Qcosb+Rcosg)dsP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdx=Qx,y(z,x),zdzdx，取曲面的右侧时取正Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz+Qdzdx+Rdxd

18、y=(Pcosa高斯公式： W(Px+Qy+Rz)dv=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds高斯公式的物理意义通量与散度：vdivn0,则为消失.vPQR散度：divn=+,即：单位体积内所产生的流体质量，若xyzvv通量：Ands=Ands=(Pcosa+Qcosb+Rcosg)ds，因此，高斯公式又可写成：WvdivAdv=Ands 8 / 12 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： (Ry-Qz)dydz+(Pz-Rx)dzdx+(dzdxyQQx-Py)dxdy=cosaxPPdxG+Qdy+RdzcosgzR上式左端又可写成：dydzxPd

19、xdyzRRy=cosbyQ空间曲线积分与路径无ixPjyQ关的条件：kzRQPRQP，=，=zzxxyv旋度：rotA=v向量场A沿有向闭曲线G的环流量：Pdx+Qdy+Rdz=GGvvAtds常数项级数： 等比数列：1+q+q2+L+qn-1=1-qn1-q等差数列：1+2+3+L+n=调和级数：1+12+13+L+1n(n+1)n2是发散的级数审敛法： 1、正项级数的审敛法根植审敛法：设：r=limnnr1时，级数发散r=1时，不确定r1时，级数发散r=1时，不确定散。2、比值审敛法：Un+1Un设：r=limn3、定义法：sn=u1+u2+L+un;limsn存在，则收敛；否则发n交错

20、级数u1-u2+u3-u4+L(或-u1+u2-u3+L,un0)的审敛法如果交错级数满足unun+1，那么级数收敛且其和limu=0nn莱布尼兹定理：su1,其余项rn的绝对值rnun+1。绝对收敛与条件收敛： 9 / 12 (1)u1+u2+L+un+L，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+L+un+L如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对如果(2)发散，而(1)收敛，则称调和级数：级数：1nn发散，而收敛；时发散p1时收敛收敛级数；(1)为条件收敛级数。n(-1)n收敛；12p级数：1np幂级数： 23n1+x+x+x+L+x+Lx1时，收敛于x1时，发散11-x对于级数(

21、3)a0+a1x+a2x+L+anx+L，如果它不是仅在原点xR时发散，其中R称为收敛半径。x=R时不定r0时，R=求收敛半径的方法：设liman+1an=r，其中an，an+1是(3)的系数，则1rnr=0时，R=+r=+时，R=0函数展开成幂级数： 函数展开成泰勒级数：余项：Rn=f(n+1)f(x)=f(x0)(x-x0)+(x-x0)n+1f(x0)2!(x-x0)+L+2f(n)(x0)n!(x-x0)+Ln(x)(n+1)!,f(x)可以展开成泰勒级数的f(0)2!2充要条件是：limRn=0nx0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f(0)x+x+L+f(n)(0)n!x

22、+Ln一些函数展开成幂级数： (1+x)m=1+mx+x3m(m-1)2!x2+L+xm(m-1)L(m-n+1)n!xn+L(-1x1)sinx=x-3!+x52n-15!-L+(-1)n-1(2n-1)!+L(-x0) 两个相等实根(p2-4q=0) 一对共轭复根(p2-4q0) r1=a+ib，r2=a-iby=c1er1x+c2er2xy=(c1+c2x)ey=eaxr1x(c1cosbx+c2sinbx) a=-p2，b=4q-p22二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=f(x)，p,q为常数f(x)=ePm(x)型，l为常数；f(x)=ePl(x)coswx+Pn(x)sinwx型lxlx 12 / 12