大一高数复习资料 本科少课时型.docx

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1、大一高数复习资料 本科少课时型高等数学 高等数学 第一章 函数与极限 第一节 函数 函数基础 邻域 U(a,d)=x|x-ad U(a,d)=x|0x-ad o函数f(x)无穷大limf(x)= 无穷小与无穷大的相关定理与推论 假设f(x)为有界函数，g(x)为无穷小，则limf(x)g(x)=0 在自变量的某个变化过程中，若则f-1(x)为无穷小；反之，f(x) 为无穷大，若f(x)为无穷小，且f(x)0，则f-1(x)为无穷大 计算：lim f(x)g(x)xx0第二节 数列的极限 数列极限的证明 已知数列xn，证明limxn=a x1f(x)M函数f(x)在x=x0的任一去心邻域U(x0

2、,d)内是有界的； 2limg(x)=0即函数g(x)是xx0时的无穷xx0oe-N语言 1由xn-ag(e)， N=g(e) 2即对e0，$N=g(e)，当nN时，始终有不等式xn-ae成立， limxn=a x小； 已知函数f(x)，证明limf(x)=A xx0小；） 3由定理可知limf(x)g(x)=0 xx0f(x)g(x) xe-d语言 1由f(x)-Ae化简得0x-x00，$d=g(e)，当0x-x0d时，始终有不等式f(x)-Ae成立， limf(x)=A xx0第五节 极限运算法则 极限的四则运算法则 加减法则 乘除法则 关于多项式p(x)、q(x)商式的极限运算 mm-1

3、+amp(x)=a0x+a1x设：nn-1+bnq(x)=b0x+b1xx时函数极限的证明 已知函数f(x)，证明limf(x)=A xe-X语言 1由f(x)-Ag(e)， X=g(e) 2即对e0，$X=g(e)，当xX时，始终有不等式f(x)-Ae成立， limf(x)=A xnm0f(x0)g(x0)0g(x0)f(x)lim= g(x0)=0,f(x0)0 xx0gx()0g(x0)=f(x0)=00第四节 无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的本质 函数f(x)无穷小limf(x)=0 高等数学期末复习资料 第1页 高等数学 时，通1第二个重要极限：lim1+=exxxlimg(x)常分

4、子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解） 求值lim以=lx-3x-92x3g(x)=limf(x)，其x-32x-9解：因为x3，从而可得x3x3原=，所式3m 2x+3求值：limx2x+1x+12x+3解：limx2x+1x+1(x+)(x-)x-3x-92x-i=xx3+=32x+1+12=limlx2x+1x332x+1222x+1(x+1)x+12=lim1+i2x+12x+1322x+12x+11其中x=3为函数f(x)=0的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解： 解：limx-3x-9202=lim1+2x+12x+12=lim1+2x+12x+

5、1=e2x+12=lim1+2x+12x+12lim(x+1)2x+12x+12x+1(x+1)x3=lim(x-3)2x+12Lx3(x-9)2=lim12xx3=162x+12lim2x+1(x+1)=e连续函数穿越定理 若函数f(x)是定义域上的连续函j(x)=flimj(x) 数，那么，limfxxxx00lim2x+22x+1=e=e1第七节 无穷小量的阶 等价无穷小 1UsinUtanUarcsinUarctanUln(1+U)(e-1)U求值：limlim x-3x-9=limx3x32x-3x-92x-3x-92x3=16=662U21-cosU 21 求值：ln(1+x)+l

6、imx02xln(1+x)第六节 极限存在准则及两个重要极限 夹迫准则 第一个重要极限：limx0,limxsinxx+3x解：因为x0,即x0,所以原式=lim=limln(1+x)+xln(1+x)x+3xx+1x+3=132x0sinxxx0=1 (1+x)ln(1+x)(1+x)x=limx0x0x(x+3)x(x+3)=limx0p，sinxxtanx21sinxxlim1=x0x0lim=1 sinxxx0=1 第八节 函数的连续性 函数连续的定义 xx0x0=limlim-f(x)=sinxlimx0xxx0lim+f(x)=f(x0) 间断点的分类 第一类间断点限存在）可去间断

7、点）单调有界收敛准则 第二类间断点无穷间断点 高等数学期末复习资料 第2页 高等数学 e2xx0设函数f(x)= ，应该怎x0a+x样选择数a，使得f(x)成为在R上的连续函数？ 方程 1y=f(x)，y|x=a=f(a) 2切线方程：y-f(a)=f(a)(x-a) 法线方程：y-f(a)=-1f(a)f(0-)=e20=e1=e1f(0+)=a+0+=a f(0)=a-(x-a) 函limf(x)=limf(x)=f(0)=e x0-2由+连续数定义x0a=e 第九节 闭区间上连续函数的性质 零点定理 证明：方程f(x)=g(x)+C至少有一个根介于a与b之间 1函数j(x)=f(x)-g

8、(x)-C在闭区间a,b上连续； 2j(a)j(b)0ax+bx=0处可导，求a，b (x)=1f(x)复合函数的求导法则 设y=ln(earcsinx-1+x2+a2)，求y 2解：y=1(2earcsinx-12+x+a22)e(arcsinx-12+x+a22)=1(earcsinx-1+x+a22)arcsinearcsinearcsinex-12(x+a)+2221-(x-1)2x+a(x-12)22f(0-)=e0+1=e0+1=20f-(0)=e=11，+f(0)=bf+(0)=a0f(0)=e+1=2-2xx-12=1(e(earcsinx-122x-12-x22+2+1x+a

9、222x22x+a+22x+ax=x-12f-(0)=f+(0)=a=12由函数可导定义-+f0=f(0)=f(0)=b=2()arcsinx-12xx-12+x+a222-x2第四节 高阶导数 a=1,b=2 求y=f(x)在x=a处的切线与法线高等数学期末复习资料 第3页 高等数学 f(n)f(x)=(n-1)(x) 求函数y=ln(1+x)的n阶导数 y=11+x=(1+x)-1使得f(x)cosx+f(x)sinx=0成立 1令j(x)=f(x)sinx 显然函数j(x)在闭区间0,p上连续，在开区间(0,p)上可导； 2又j(0)=f(0)sin0=0 j(p)=f(p)sinp=0

10、 ， -1-2y=(1+x)=(-1)(1+x)， -2-3y=(-1)(1+x)=(-1)(-2)(1+x)即j(0)=j(p)=0 3由罗尔定理知 $x(0,p)，使得f(x)cosx+f(x)sinx=0成立 拉格朗日中值定理 证明不等式：当x1时，exex 1令函数f(x)=ex，则对 y(n)=(-1)n-1(n-1)！(1+x)-n第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 隐函数的求导 试求：方程y=x+ey所给定的曲线C：y=y(x)在点(1-e,1)的切线方程与法线方程 由y=x+ey两边对x求导 即y=x+(ey)化简得y=1+eyy y=11-e1=11-e11-e切线方程：y

11、-1=(x-1+e) (x)在闭区间1,x上连续，在开区间(1,x)上可导，并且f(x)=ex； 2由拉格朗日中值定理可得，$x1,x使得等式ex-e1=(x-1)ex成立， 又exe1，ex-e1(x-1)e1=ex-e， x1，显然函数f 法线方程：y-1=-(1-e)(x-1+e) 参数方程型函数的求导 2x=j(t)dy设参数方程，求2dxy=g(t)dy2dydxdyg(t)1.2.2= =dxj(t)dxj(t)化简得exex，即证得：当x1时，exex 证明不等式：当x0时，ln(1+x)0，函数f(x)在闭区间0,x上连续，在开区间(0,p)上可导，并且f(x)=11+x； 第

12、六节 变化率问题举例及相关变化率 第七节 函数的微分 基本初等函数微分公式与微分运算法则 dy=f(x)dx 第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 引理 罗尔定理 现假设函数f(x)在0,p上连续，在2由拉格朗日中值定理可得，$x0,x使得等式ln(1+x)-ln(1+0)=化简得ln(1+x)=f(x)=11+x11+x11+x(x-0)成立， x，又x0,x， 1，ln(1+x)1时，exex 第二节 罗比达法则 运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤 1等价无穷小的替换 高等数学期末复习资料 第4页 高等数学 2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A属

13、于两大基本不定型且满足解：令y=(cosx+sinx)x,两边取对数得lny=对lny求x0时的极限，limlny=limx0001ln(cosx+sinx)x条件， 则进行运算：limxa,ln(cosx+sinx)x=limx0xa B不属于两大基本不定型 0型 求值：limxalnx x0cosx-sinx1-0ln(cosx+sinx)=lim=lim=1,从而可得Lx0x0cosx+sinx1+0x()limy=limex0x0lny=ex0limlny=e=e1 0型 1求值：limx0xtanx解：limxlnx=limx0alnx1xax0=lim(lnx)1ax1=limx0

14、Lx0-xa-1axx2a1解：令y=xtanx1,两边取对数得lny=tanxln,x=-1alimx=0x0ax0-型 11求值：lim- x0sinxxb1对lny求x0时的极限，limlny=limtanxlnx0x0x=-limlnx1tanx020x0=-limL(lnx)1tanx1=-limx0x0-x2secxtanx211x-sinxx-sinx解：lim-=lim=lim2x0xsinxxx0xsinxx000=limsinxxx0=lim(sinx)2Lx0sinx2=0xlnyx0=lim2sinxcosx1=e=10x0=0,从而可得limy=limex0=ex0l

15、imlny=lim(x-sinx)0Lx0(x)2=lim1-cosx2x0x0=lim(1-cosx)(2x)Lx0=limx0 00型 求值：limxx x0解：设y=x,两边取对数得：lny=lnx=xlnx=xxlnx1x对对数取x0时的极限：lim(lny)=limx0lnx1xx0=lim(lnx)1xLx01=limx0lny0x=-limx=0，从而有limy=limelny=exlim0=e=1x0x0x01运用罗比达法则进行极限运算的基本思路0000(1)(2)(3)-01 0通分获得分式 取倒数获得分式 取对数获得乘积式 第三节 泰勒中值定理 第四节 函数的单调性和曲线的

16、凹凸性 连续函数单调性 试确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 -x2 1型 高等数学期末复习资料 第5页 高等数学 1函数f(x)在其定义域R上连续，且可导 f(x)=6x2-18x+12 2令f(x)=6(x1=1,x2=2 3 (-,1) x f(x) 1 x-1)(x-)2=，0解得：(1,2) - 2(2,+) + Z + - + 0 y - - + + y 1 (1,3) 5 4函数y=1+3x2-x3单调递增区间为,(1,2) 单调递增区间为(0,1)(-,0(2,+)； - y 0 函数y=1+3x2-x3的极小值在x=0时取到，为f(0)=1， 极大值在x=

17、2时取到，为f(2)=5； 函数y=1+3x2-x3在区间(-,0),(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,+)上凸； 函数y=1+3x2-x3的拐点坐标为(1,3) 第五节 函数的极值和最大、最小值 函数的极值与最值的关系 设函数f(x)的定义域为D，如果$xM的某个邻域U(xM)D+ Z00f(x) 极大值 Z极小值 4函数f(x)的单调递增区间为(-,1,2+),； 单调递减区间为(1,2) 证明：当x0时，ex+1 1设j(x)=ex-x-1， x2j(x)=ex-10， j(x)j(0)=0 3既证：当x0时，exx+1 证明：当x0时，ln(1+x)x 1设j(x)=ln(1+x

18、)-x， 2j(x)=11+x-10， j(x)0时，ln(1+x)f(xm)， 我们则称函数f(x)在点xm,f(xm)处有极小值f(xm)； 令xmxm1,xm2,xm3,.,xmn 则函数f(x)在闭区间a,b上的最小值m满足： m=minf(a),xm1,xm2,xm3,.,xmn,f(b)； x1=0,x2=2y=-3x(x-2)=0 2令解得： x=1y=-6(x-1)=0求函数f(x)=3x-x3在-1,3上的最值 1函数f(x)在其定义域-1,3上连续，且可 3 x (-,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+) 高等数学期末复习资料 第6页 高等数学 导 f(x)

19、=-3x2+3 2令f(x)=-3(x-1)(x+1)=0， 解得：x1=-1,x2=1 3 x f(x) -1 fj(x)j(x)dx=1a+x22fj(x)dj(x)求 dx1(-1,1) + Z1 (1,3 - 解：1a+x2dx=21x1+adx=200xx1d=arctan+C2aaxaa1+a1极小f(x) 值 极大值 Z求 解：=12x+1dx=1212x+112x+1dx 4又f(-1)=-2,f(1)=2,f(3)=-18 f(x)max=f(1)=2,f(x)min=f(3)=-18 第六节 函数图形的描绘 第七节 曲率 第八节 方程的近似解 第四章 不定积分 第一节 不定

20、积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 原函数的概念： 假设在定义区间I上，可导函数F(x)的导函数为F(x)，即当自变量xI时，有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx成立，则称F(x)为f(x)的一个原函数 d(2x+1)=212x+1d(2x+1)2x+1+C 第二类换元法 对于一次根式： ax+b：令t=ax+b，于是x=t-ba2， 则原式可化为t 对于根号下平方和的形式： a+x：令x=atant， 于是t=arctanxa，则原式可化为asect； p2原函数存在定理： 如果函数f(x)在定义区间I上连续，则在I对于根号下平方差的形式： aa2-x2：令x=asint，

21、也就是说：连续函数一定存在原函数 不定积分的概念 在定义区间I上，函数f(x)的带有任意常数项C的原函数称为f(x)在定义区间I上的不定积分，即表示为：f(x)dx=F(x)+C ， ax，则原式可化为atant； 12x+11称为积分号，f(x)称为被积函数，dx f(x)dx称为积分表达式，x则称为积分变量） 基本积分表 不定积分的线性性质 k1f(x)+k2g(x)dx=k1f(x)dx+k2g(x)dx 第二节 换元积分法 第一类换元法 ttdt=dt=t+C=2x+1+C求a2-x2dx 高等数学期末复习资料 第7页 高等数学 p2解：aa-xdxxt=arcsinadx=acost

22、222x=asint(-t0，则f(x)dx0； ab求 12x+1dx高等数学期末复习资料 第9页 高等数学 解：=12212x+10dx=122012x+1d(2x+1)=12ln2x+120如：不定积分公式11+x2ln5-ln1=ln52dx=arctanx+C的证明。 设函数f(x)Ca,b，函数x=j(t)满足： a$a,b，使得j(a)=a,j(b)=b； b在区间a,b或b,a上，fj(t),j(t)连续 则：f(x)dx=a求 解：=124很多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这样一种证明方法以说明问题： 1+x=1dx212ppx=tant-t0,x=t2t-122232+t32dx31t+3t21tdt=123111(t2+3)dt=23t3+3x 1=9-53bab=223 u(x)v(x)dx=u(x)v(x)-bav(x)u(x)dx abu(x)v(x)u(x)dv(x)=a-v(x)du(x)ab偶倍奇零 设f(x)C-a,a，则有以下结论成立： 若f(-x)=f(x)，则a-af(x)dx=2f(x)dx 0a-aa若f(-x)=-f(x)，则f(x)dx=0 第四节 定积分在几何上的应用 第五节 定积分在物理上的应用 第六节 反常积分 高等数学期末复习资料 第10页