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1、大学物理习题答案第十五章习题解答 15-3如果粒子的波函数为y(x, y, z)，试求出在x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz 范围内找到粒子的概率的表达式。 解在题意所述范围内找到粒子的概率为 . 15-4如果粒子的波函数为y(r, q, j)，试求： (1)在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率； (2)在(q, j )方向上、在dW = sinqdq dj立体角内找到粒子的概率。 解 (1)在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率 =(2)在(q, j )方向上、在dW = sinqdq dj立体角内找到粒子的概率为 . . . 15-5试写出下面两种情况下粒子的定态薛定谔方程： (1)自
2、由粒子； (2)在有心力场中运动的粒子。 解 (1)自由粒子的动能为 ，写成算符为 . 因为在这种情况下，粒子的动能就是粒子的总能量E，所以定态薛定谔方程为 , 即 , 或 . (2)当粒子在有心力场中运动时，粒子的能量应为 , 哈密顿量应写为 . 式中A是与有心力场有关的常量。将上式代入定态哈密顿方程的一般形式 中，得 , 整理得 . 15-6如果可以将氢原子看作无限深势阱，电子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氢原子的线度为10-10 m，试求电子处于基态和第一激发态的能量。 解根据无限深势阱的能量表达式(15-49)，可以将电子的能级写为 , 将有关数据代入上式，得 . 基态 ; 第一激发态
3、 . 15-7如果可以将氘核看作无限深势阱，质子和中子就被幽禁在这样的势阱中。现已知氘核的线度为10-14 m，试求质子和中子处于基态的能量。 解将质子和中子的质量(深势阱的能量表达式(15-49)，可以得到： 、)以及有关数据代入无限质子基态的能量为 , 中子基态的能量为 . 15-8在宽度为a的一维无限深势阱中，当粒子分别处于状态 y1和 y2时，发现粒子的概率最大的位置在何处？ 解处于无限深势阱中粒子的本征波函数可以表示为 , 当粒子处于状态 时，发现粒子的概率密度为 . 对上式求极值 , 即 ,(1) 由此解得 , (2) 在势阱范围内、并使式(1)得到满足的m值只能是0、1、2。因为
4、当m为0和1时，x = 0和a，波函数及其概率密度都等于零，对应于概率密度极小值。所以能满足概率密度极大值的只能是m = 1，此时。 当粒子处于状态 时，发现粒子的概率密度为 . 对上式求极值 , 即 ， 故得 . 在势阱范围内、符合概率密度极大值条件的m是1和3，即 和 . 15-10求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位置。 解一维线性谐振子波函数的一般形式为 , 式中An是常量，可用归一化条件确定，在此与我们的题目无关。变量x由下式表示 , m是谐振子的质量。 在第一激发态，波函数为 . 对概率密度取极值 . 得到符合极大值条件的解为 , 即 . 15-11试求处于基态的氢原子的平均半径，并与玻尔半径作比较。 解处于基态的氢原子波函数为 , 式中a就是玻尔半径a0。半径r的平均值可以表示为 . 这表示，基态氢原子的平均半径等于玻尔半径的3/2倍，这是由于电子概率的径向分布的极大值正好处于玻尔半径a0处，并且在峰值两侧分布情况是不对称的，如教材中图15-8左上角第一幅图所表示的那样。 15-12试证明处于基态的氢原子的平均势能等于其基态能量的2倍。 解处于基态的氢原子的势能可以表示为 , 求其平均值 . 其中 氢原子基态能量。所以，基态的氢原子的平均势能等于其基态能量的2倍。
