大学物理学习题五解答.docx

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1、大学物理学习题五解答习题五 5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同? 解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y=f(t)；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即y=f(x,t) (2)在谐振动方程y=f(t)中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规

2、律；平面谐波方程y=f(x,t)中有两个独立变量，即坐标位置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律 xy=Acosw(t-)u中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持当谐波方程续不断地振动又是产生波动的必要条件之一 (3)振动曲线y=f(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动曲线y=f(x,t)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y，横轴为x每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图 xxu)+j0中

3、的u表示什么?如果改写为y=Acos 5-2 波动方程y=Acosw(wxwxxwt-+j0t-uu)+j0的值，u又是什么意思?如果t和x均增加，但相应的w(t-不变，由此能从波动方程说明什么? wx解: 波动方程中的x/u表示了介质中坐标位置为x的质元的振动落后于原点的时间；u则表示x处质元比原点落后的振动位相；设t时刻的波动方程为 wxyt=Acos(wt-+f0)u 则t+Dt时刻的波动方程为 w(x+Dx)yt+Dt=Acosw(t+Dt)-+f0u wx(wt-)u中，其表示在时刻t，位置x处的振动状态，经过Dt后传播到x+uDt处所以在wx(wt-)u的值不会变化，而这正好说明了

4、经过时间Dt，波形即向前传当t，x均增加时，wxy=Acos(wt-+f0)Dx=uDtu播了的距离，说明描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程 5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点? 解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV内所有质元的能量波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定如果取波动方程为y=f(x,t)，则相对形变量(即应变量)为y/x.波动势能则是与y/x的平方成正比由波动曲线图(题5-3图)可知，在波峰，波

5、谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处y/x=0)，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值 题5-3图 对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化 5-4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处? t=0时刻是否一定是波源开始振动的时刻? 波动方程写成y=Acosw(方程才能

6、写成这种形式? 解: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，t=0的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程t-xu)时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动xy=Acosw(t-)u时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的因为在此处对于波源写成的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程 5-5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同? y=2Acos2p2p解: 取驻波方程为，则可知，

7、在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律lxcosapvt2Acos可表示为而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反 5-6 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别? 解: 波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题5-6图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(u/l)会增多，所以接收频率增高；lx而观察者向着波源运动时，波面形状

8、不变，但观察者测到的波速增大，即u=u+vB，因u而单位时间内通过观察者完整波的数目l也会增多，即接收频率也将增高简单地说，前者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率 题5-6 图多普勒效应 5-7 一平面简谐波沿x轴负向传播，波长l=1.0 m，原点处质点的振动频率为n=2. 0 Hz，振幅A0.1m，且在t=0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动，求此平面波的波动方程 py=0,v00，故知原点的振动初相为2,取解: 由题知t=0时原点处质点的振动状态为0txy=Acos2p(+)+f0Tl波动方程为则有 xpy=0.1cos2p(2

9、t+)+12 p=0.1cos(4pt+2px+)2m 5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(Bt-Cx)，其中A，B，C为正值恒量求： (1)波的振幅、波速、频率、周期与波长； (2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程； (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差 解: (1)已知平面简谐波的波动方程 y=Acos(Bt-Cx) (x0) 将上式与波动方程的标准形式 y=Acos(2put-2p比较，可知： 波振幅为A，频率xl )u=B2p， 2pBu=lu=C，波速C， 波长12pT=uB 波动周期(2)将x=l代入波动方程即可得到该点的振动

10、方程 y=Acos(Bt-Cl) l=(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为 将x2-x1=d，及 Df=2pl(x2-x1)l=2pC代入上式，即得 Df=Cd 5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10pt-4px)，式中x,y以米计，t以秒计求： (1)波的波速、频率和波长； (2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度； (3)求x=0.2m处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式 l -1相比，得振幅A=0.05m，频率u=5s，波长l=0.5m，波速

11、u=lu=2.5ms -1y=Acos(2put-2px)(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为 (3)x=0.2m处的振动比原点落后的时间为 vmax=wA=10p0.05=0.5pms-1 amax=w2A=(10p)20.05=5p2ms-2 x0.2=0.08u2.5s t=1-0.08=0.92s时的位相， 故x=0.2m,t=1s时的位相就是原点(x=0)，在0即 f=9.2 设这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达x点，则 x=x1+u(t-t1)=0.2+2.5(1.25-1.0)=0.825m 5-10 如题5-10图是沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形曲线(

12、1)若波沿x轴正向传播，该时刻O，A，B，C各点的振动位相是多少?(2)若波沿x轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少? 解: (1)波沿x轴正向传播，则在t时刻，有 题5-10图 对于O点：yO=0,vO0，2 3pfC=-y=0,vC0，yO2 A=+A,vA=0，fA=0 对于A点：ypfB=2 B=0,vB0y=0,vC2 对于C点：C， (此处取正值表示A、B、C点位相超前于O点的位相) -15-11 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5ms，波长为2m，原点处质点的振动曲线对于O点：如题5-11图所示 (1)写出波动方程； (2)作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振

13、动曲线 =-fOpy=0,v00，解: (1)由题5-11(a)图知，A=0.1m，且t=0时，0又f0=3p2， u=ul=5=2.52Hz，则w=2pu=5p 题5-11图(a) xy=Acosw(t-)+f0u取 ， 则波动方程为 y=0.1cos5p(t-(2) t=0时的波形如题5-11(b)图 x3p+)52m 题5-11图(b) 题5-11图(c) 将x=0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为 y=0.1cos(5pt-如题5-11(c)图所示 5p0.53p+)=0.1cos(5pt+p)0.52m 5-12 如题5-12图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为

14、图中曲线(a)和(b) ，波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程； (2)P点的振动方程 t=0时，y0=0,v00，解: (1)由题5-12图可知，A=0.1m，l=4m，又，而故波动方程为 f0=p2，u=Dx1u2=2u=0.5-1ms，Dt0.5l4Hz，w=2pu=p xpy=0.1cosp(t-)+22m (2)将xP=1m代入上式，即得P点振动方程为 y=0.1cos(pt-p2+p2)=0.1cospt m 题5-12图 -15-13 一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如题5-13图所示，已知波速为10 ms ，波长为2m，求： (1)波动方程； (2

15、) P点的振动方程及振动曲线； (3) P点的坐标； (4) P点回到平衡位置所需的最短时间 解: 由题5-13图可知A=0.1m，t=0时，y0=Ap,v00f0=23，由题知l=2m， 10=5u=10ms-1，则l2Hz w=2pu=10p u=u=(1)波动方程为 y=01.cos10p(t-xp)+103m 题5-13图 (2)由图知，t=0时，负值) yP=-A-4p,vP0， 2,再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x轴负向传播， txy=Acos2p(+)+f0Tl且l=4m，若取 f0=-p题5-16图 则波动方程为 txpy=0.2cos2p(+)-242 5

16、-17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.010Jms，-1频率为300 Hz，波速为300ms，求 ： (1)波的平均能量密度和最大能量密度? -3-2-1(2)两个相邻同相面之间有多少波的能量? 解: (1) I=wu I10-3w=18.0=610-5Jm-3 u300 wmax=2w=1.210-4 Jm-3 11uW=wV=wpd2l=wpd244n (2) 1300=610-5p(0.14)2=9.2410-7J 4300l5-18 如题5-18图所示，S1和S2为两相干波源，振幅均为A1，相距4，S1较S2位相超p前2，求： (1) S1外侧各点的合振

17、幅和强度； (2) S2外侧各点的合振幅和强度 解：在S1外侧，距离S1为r1的点，S1S2传到该P点引起的位相差为 2plr-(r+)=p112l4 2A=A1-A1=0,I=A=0 在S2外侧.距离S2为r1的点，S1S2传到该点引起的位相差. Df=-2l4 22A=A1+A1=2A1,I=A=4A1 5-19 如题5-19图所示，设B点发出的平面横波沿BP方向传播，它在B点的振动方程为Df=pp-2p(r2+l-r2)=0y1=210-3cos2pt;C点发出的平面横波沿CP方向传播，它在C点的振动方程为速u=0.2ms，求： (1)两波传到P点时的位相差； (2)当这两列波的振动方向

18、相同时，P处合振动的振幅； *(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P处合振动的振幅 -1y2=210-3cos(2pt+p)，本题中y以m计，t以s计设BP0.4m，CP0.5 m，波 解: (1) Df=(f2-j1)-=p-2pl(CP-BP)wu 2p=p-(0.5-0.4)=00.2 (CP-BP)题5-19图 (2)P点是相长干涉，且振动方向相同，所以 AP=A1+A2=410-3m (3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过，象限的直线，所以合振幅为 2A12+A2=2A1=2210-3=2.8310-3m 5-20 一平面简谐波沿x轴正向传播，如题5-2

19、0图所示已知振幅为A，频率为n波速为u (1)若t=0时，原点O处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程； A=(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置 y=0,v00， 解: (1)t=0时，0xpy=Acos2pv(t-)-u2m f0=-p2故波动方程为 题5-20图 x=2p(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将波疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为 32p3pl-l-4代入)l42，再考虑到波由3pl-+p=-pl42 若仍以O点为原点，则反射波在O点处

20、的位相为 2pl-5p-l-p=p-342，因只考虑2p以内的位相角，反射波在O点的位相为2，故-反射波的波动方程为 xpy反=Acos2pu(t+)-u2 此时驻波方程为 xpxpy=Acos2pu(t-)-+Acos2pu(t+)-u2u2 2puxp=2Acoscos(2put-)u2 故波节位置为 2pux2pp=x=(2k+1)l2 u4 (k=0,1,2,) 13x=l,l44 根据题意，k只能取0,1，即5-20 一驻波方程为y=0.02cos20xcos750t(SI)，求： 故 x=(2k+1)l(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速； (2)相邻两波节间距离 解: (1)取

21、驻波方程为 故知 y=2Acos2puxcos2putu A=0.02=0.012m 7502pu=202pu=750，则2p， u 2pu2p750/2pu=37.5ms-1 2020 u2pu/20l=0.1p=0.314uum所以相邻两波节间距离 (2)u=Dx=l2=0.157m 5-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为y1=0.1cos(13t+0.0079x) (SI) 试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x=0处为波 节 解: 为使合成驻波在x=0处形成波节，则要反射波在x=0处与入射波有p的位相差，故反射波的波动方程为 13t-0.0079x-

22、p) y2=0.1cos(5-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为 y1=0.06cos(px-4pt)(SI), y2=0.06cos(px+4pt)(SI) (1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置； (2)波腹处的振幅多大?x=1.2m处振幅多大? 解: (1)它们的合成波为 y=0.06cos(px-4p)+0.06cos(px+4pt) =0.12cospxcos4pt 出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动 令px=kp，则x=k，k=0,1，2此即波腹的位置； 12,则2，k=0,1,2,，此即波节的位置 令(2)波腹处振幅最大，即

23、为0.12m；x=1.2m处的振幅由下式决定，即 px=(2k+1)px=(2k+1)5-24 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz变到了1000 Hz，设空气-1中声速为330ms，求汽车的速率 解: 设汽车的速度为A驻=0.12cos(p1.2)=0.097mvs，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为 uu0u-vs uu2=u0u+vs汽车驶离车站时，车站收到的频率为 u1=联立以上两式，得 u1=u5-25 两列火车分别以72kmh和54 kmh的速度相向而行，第一列火车发出一个600 Hz-1的汽笛声，若声速为340 ms，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少? -1-1解: 设鸣笛火车的车速为v1=20ms，接收鸣笛的火车车速为v2=15ms，则两者相遇前收到的频率为 u1-u21200-1000=300=30u1+u21200+100ms-1 -1-1u1=u+v2340+15u0=600=665u-v1340-20 Hz 两车相遇之后收到的频率为 uu-v21=u+vu340-150=600=5411340+20