大学物理第四五六章习题参考答案.docx

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1、大学物理第四五六章习题参考答案修改5.18、5.23 6.18 第4章 机械振动 4.1基本要求 1掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系 2掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析 3掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义 4理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点 4.2基本概念 1简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数规律随时间变化的运动称为简谐振动。 简谐振动的运动方程 x=Acos(wt+j) 2

2、振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。 3周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。 4频率n 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即T=1n5圆频率w 作简谐振动的物体在2p秒内完成振动的次数，它与频率的关系为2pw=2pn T6相位和初相位 简谐振动的运动方程中wt+j项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位j 7简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。 11弹性势能Ep=kx2=kA2cos2(wt+j) 2212112mv=m-wAsin(wt+j)=mw2A2sin2(wt+j) 22211弹簧振子系统的机械能为E=Ek+

3、Ep=mw2A2=kA2 22动能Ek=8阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。 9受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。 10共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。 4.3基本规律 1一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的 物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。图4.1表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较，在下面画了x-t曲线，由图可以看出，动

4、能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。 E1E=kA22EkOEptxOt 图4.1 弹簧振子的动能和势能随时间的变化 2简谐振动的合成 若一个质点同时参与了两个同方向、同频率的简谐振动，即 x1=A1cos(wt+j1) x2=A2cos(wt+j2) 合振动仍是一个角频率为w的简谐振动。 合位移x=x1+x2=Acos(wt+j) 2+2A1A2cos(j2-j1) 合振动的振幅A=A12+A2合振动的初相tanj=A1sinj1+A2sinj2A1cosj1+A2cosj2振动加强：Dj=j2-j1=2k， (k=0 ， 1 ， 2,L) A=A1+A2 振动减弱：Dj=j2-j1

5、=(2k-1)， (k= 1, 2, 3L) A=A1-A2 当j2-j1取其他值时 A1+A2AA1-A2 若两个振动同方向，但不同频率，则合成振动不再是周期振动，而是振幅随时间周期性变化的振动。 若两振动的振动方向相互垂直，频率相同。一般情况下，合成振动轨迹为一椭圆。 若两个相互垂直的振动频率不相同，且为简单比关系，则其合成振动的轨迹为封闭的曲线，曲线的具体形状取决于两个振动的频率比。若两频率比为无理数，则合成运动轨迹永不封闭。 4.4学习指导 1重点解析 简谐振动的运动学问题是本章的重点内容之一，主要有以下两种类型： 已知简谐振动表达式求有关物理量 已知运动情况或振动曲线建立简谐振动表达

6、式 对于类型主要采用比较法，就是把已知的振动表达式与简谐振动的一般表达式x=Acos(wt+j)加以比较，结合有关公式求得各物理量。 对于类型的解题方法，一般是根据题给的条件，求出描述简谐振动的三个特征量A、j、w,然后将这些量代入简谐振动的一般式，就得到要求的运动表达式。 其中角频率w由系统的性质决定,w2=km. 振幅A可由初始条件求出，A=x0+2v02w；或从振动曲线上直接看出。 初相j有两种解法，一是解析法，即从初始条件得到tanj=-v0,这里j有两个wx0值，必须根据条件去掉一个不合理的值；另一是旋转矢量法，正确画出振幅矢量图，这是求初相最简便且直观的方法。 例 如图4-2所示为

7、某质点作简谐振动的曲线。求该质点的振动方程。 分析：若要求质点的振动方程，必须求出三个特征量A、j、w。利用振动曲线可以看出A=410-2m，t=0时刻，质点位移x0=-用这些信息可以确定j、w。 解：方法1 解析法 t=0时，x0=-2A，于是有 22A 22A，t=0.5s时，x=0。利2x0=Acosj=-图4-2 3解得：j=p 4由t=0时刻对应的曲线斜率v0=-Awsinj0 dx0可知，所以质点速度v00，即： dt3所以j=-p 4为求w，先写出质点振动方程 3x=410-2cos(wt-p)m 4将t=0.5s，x=0代入上式得 cos(w3同样结合该点的速度方-p)=0，2

8、4图4-3 向可以得到w=p2，所以质点的振动方程是 p3x=410-2cos(t-p)m 24方法2：旋转矢量法 由振动曲线可知，t=0时刻，质点位移x0=-3转矢量如图4-3所示，由图可知j=-p。 42A，质点速度v00，对应的旋2t=0.5s时，x=0，v0。此运动状态对应矢量OP，即旋转矢量由t=0时的OM经0.5s转至OP，共转了质点的振动方程是 pp，w=4rads-1=rads-1 40.52pp3x=410-2cos(t-p)m 242难点释疑 疑难点1 旋转矢量 自Ox轴的原点O作一矢量A，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量A在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其

9、角速度与振动的角频率w相等，这个矢量就叫做旋转矢量。如图4-4所示。旋转矢量A的矢端在Ox轴上的投影点的运动，可表示物体在Ox轴上的简谐振动。旋转矢量A与简谐振动的物理量之间的对应关系如表4-1所示。 图4-4 表4-1 旋转矢量A与简谐振动的物理量之间的对应关系 旋转矢量是研究简谐振动的一种比较直观的方法，可以使运动的各个物理量表现得直观，运动过程显示得清晰，有助于简化简谐振动讨论中的数学处理。但必须指出，旋转矢量本身并不在作简谐振动，而是旋转矢量端点的投影点在作简谐振动。 问题：简谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为所需的时间是T吗？走过该距离的一半4TT吗？振子从平衡位置出发经历时运

10、动的位移是多少？ 88p解析 从平衡位置运动到最远点对应旋转矢量图4-5中的角度变化是，所需的2pT时间Dt= 2w4振子的速度v=-wAsin(wt+j)不是常数，振子做变速直线运动，所以走过该距TA。振子从平衡位置运动到处时，振幅82ppT矢量转过了的角度，即Dt= 66w12ATTA即振子从平衡位置运动到所用的时间是，而不是。振子从运动到平衡21282pT位置所用的时间是Dt=。 3w6T振子从平衡位置出发经历时运动的位移是 8离的一半所需的时间不是x=Acos(wTpp2-)=Acos(-)=A 8242图4-5 疑难点2 当一个弹簧振子的振幅加倍时，则振动周期、最大速度、质点受力最大

11、值和振动能量如何变化？ 解析 弹簧振子的振幅一般由初始条件确定。振幅加倍时，振动周期不变，因为对于给定的弹簧振子系统其周期是一定的，即T=2pm；最大速度的表达式是kwA，所以振幅加倍时最大速度也加倍，质点受力最大值为f=kA，所以振幅加倍1时受力最大值也加倍；简谐振动系统中机械能守恒为E=kA2，所以振幅加倍2时振动能量变为原来4倍 4.5习题解答 4.1 两根轻弹簧和一质量为m的物体组成一振动系统,弹簧的劲度系数为k1和k2,串联后与物体相接,则此系统的固有频率为n等于 (A) (k1+k2)/m/(2p) k1 k2 m 习题4.1图 (B) k1k2/(k1+k2)m(2p) (C)

12、m/(k1+k2)(2p) (D) (k1+k2)/(k1k2m)/(2p) 解析：正确答案 两弹簧k1和k2串联后可等效为劲度系数k的弹簧，设k1和k2的形变量分别为x1和x2，k的形变量为 x，则有xx1+x2，亦即 111=+ kk1k2k=k1k2 k1+k2据此可确定系统的固有频率为 n=12pk=k1k2/(k1+k2)mm(2p) 4.2 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度q，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) (B)/2 (C) 0 (D) 解析：正确答案 由已知条件可知其初始时刻的

13、位移正向最大。利用旋转矢量图可知，初相相位是0。选 4.3 用余弦函数描述一简谐振动。已知振幅为A，周期为T，初相j=-动曲线为 p3，则振习题4.3图 解析：正确答案 pA由已知条件可知：初始时刻振动的位移是y=Acos(-)=，速度是32v=-wAsin(wt+j)=3wA，方向是向y轴正方向，则振动曲线上t=0时刻的斜2率是正值。 4.4 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： 22x=2cos(pt+p)cm 3322x=2cos(pt-p)cm 3342x=2cos(pt-p)cm 3342x=2cos(pt+p)cm 33习题4

14、.4图 t=0j=2p3解析：正确答案 由振动图像可知，初始时刻质点的位移是-A，且向24pDj=3x/cm2y轴负方向运动，下图是其对应的旋转矢量图，由图可知，其初相位是p，振3A2动曲线上给出了质点从-到A的时间是1s，其对应的相位从p变化到2p，232p2p-3rads-1=4prads-1。 所以它的角速度w=1342简谐振动的振动方程为x=2cos(pt+p) 334.5 质点作简谐振动，已知振动周期为T，则其振动动能变化的周期是 (A) T/4 (B) T/2 (C) T (D) 2T 解析：正确答案 质点作简谐振动的动能表达式是Ek=简谐振动周期的1。 21可见其变化的周期是mw

15、2A2sin2(wt+j)，24.6 设某人一条腿的质量为m，长为l，当他以一定频率行走时最舒适，试用一种简单的模型估算出该人行走最舒适的频率应为 12pg1l2p2g13l2pg12l2p3g 2l解析：正确答案 可以将人行走时腿的摆动当作复摆模型，这样人行走时最舒适的频率应是复摆的简谐振动频率。此人的一条腿可看成是一个质量为m，长为l的细长杆，它绕端J1l点的转动惯量J=ml2,根据复摆的周期公式T=2p，这里h=。故频率mgh23n=12p3g 2l4.7 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 3p 2p 1p 20 解析：正确答案 习题4

16、.7图 由振动曲线可知，这是两个同振动方向，同频率简谐振动，它们的相位差是p，Acos(wt)和x2=Acos(wt+p)，它们的振幅不同，对于这样2A两个简谐振动，可用旋转矢量法，很方便求得合运动方程是x2=cos(wt+p)。 2运动方程分别是x1=4.8 质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置向x轴负方向运动时，从所需要的时间为 TTTT 46812A处到-A处这段路程2p3解析：正确答案 A处221对应的相位是p，位移是-A处对应的相位是p，所以这段路程的相位差是p，33已知条件结合对应的旋转矢量图，它由平衡位置向x轴负方向运动时在对应的时间是p3TT= 2p64.9 弹簧振子作简谐振

17、动，已知此振子势能的最大值为100J，当振子处于最大位移的一半时其动能为 25J 50J 75J 100J 解析：正确答案 物体做简谐振动时，振子势能的表达式是Ep=12kx，其动能和势能都随时间做2周期性变化，物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值；位移最大时，12kA，动能为零，但其总机械能却保持不变。当振子处于21A1最大位移的一半时其势能为Ep=k2=kA2，所以此时的动能是22811133Ek=kA2-kA2=kA2J=100J=75J。 28244势能达到最大值Ep=4.10一质点作简谐振动，速度最大值vm=0.05ms-1，振幅A=2cm。若令速度具有正最大值的那一时刻为t

18、=0,则振动表达式为 。 解析：y=0.02cos(2.5t)m 速度的最大值vm=Aw=0.05ms-1，A=0.02m，所以 w=vm0.05=2.5rads-1。 A0.02振动的一般表达式x=Acos(wt+j)，现在只有初相位没确定，速度具有正最大值的时位于原点处，由旋转矢量法可知：j=0，振动表达式为y=0.02cos(2.5t)m 4.11已知一个谐振子的振动曲线如图所示，求：a、b、c、d、e各状态的相位分别为 。 dA2cba-A2e习题4.11图 pp2p4p、 3332结合旋转矢量图，振动曲线上的a、b、c、d、e对应旋转矢量图上的a、b、解析：0、pp2p4p、 333

19、24.12 一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm，则该简谐振动的初c、d、e,所以其相位分别是0、相为 ，振动方程为 。 解析：pp，x=0.02cos(pt+) 44振动方程的一般表达式是x=Acos(wt+j)，j是指t=0时对应的相位，也是初相位。由图可知t=0时的角度pppt，所以该简谐振动的初相为。角速度是=p。习题4.12图 t44p代入振动方程可得x=0.02cos(pt+)。 44.13 一单摆的悬线长l=1.5m,在顶端固定点的竖直下方0.45m处有一小钉，如是图所示。设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比的近似值为 。 解析：0.84 左右摆动能量应相同，应有11

20、mw12A12=mw22A22，所22以A1w2l1.05=1=0.84 A2w1l21.54.14 质点按如下规律沿ox轴作简谐振动：x=0.1cos(8pt+2p)m，求此振动的周期、振幅、3习题4.13图 初相、速度最大值和加速度最大值。 解析：本题属于由运动方程求解简谐振动各特征量的问题，可采用比较法求解。即将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x=Acos(wt+j)作比较，即可求得各特征量，而速度和加速度的计算与质点运动学中由运动方程求解速度和加速度的计算方法相同。 将该简谐振动的表达式与简谐运动方程的一般形式x=Acos(wt+j)作比较后可得：周期是0.25s, 振幅是0

21、.1m, 初相位是加速度最大值am=Aw2=63.17ms-2 2p，速度最大值vm=Aw=2.51ms-1，34.15 质点的振动曲线如图所示。试求： 振动表达式 点P对应的相位 到达点P对应位置所需时间。 解析：根据振动曲线对应的旋转振幅矢量可知，初相j0=-为Dj=p3习题4.15图 ，从t=0到t=1s时间内相位差p5pDj5p，所以角频率为w= -(-)=236Dt65p可得振动表达式为y=0.06cos(pt-)m 63(2)P点相对应的相位为0。 p0-(-)Dj3=0.4s (3)到达P点所需时间为Dt=5pw64.16 沿x轴作简谐振动的小球，振幅A=0.04m，速度的最大值

22、vm=0.06ms-1。若取速度为正的最大值时t=0。试求： 振动频率； 加速度的最大值； 振动的表达式。 解析：速度的最大值vm=Aw=0.06ms-1，A=0.04m pw=vm0.06=1.5rads-1， A0.04w3n=Hz。 2p4p加速度的最大值am=Aw2=0.09ms-2。 速度为正的最大值时t=0，由旋转矢量法可知： 23py=0.04cos(t-)m 22j=-p4.17 物体沿x轴作简谐振动,振幅为6.0cm，周期为2.0s，在 t=0时物体位于 3.0cm处且向负x方向运动求：初相位；t1.0s时，物体的位置、速度和加速度 分析:初相位的确定可采用两种方法：旋转矢量

23、法和解析法。 解析； 取平衡位置为坐标原点，质点的运动方程可写为x=Acos(wt+j),现在用旋转矢量法求解初相位。根据初始条件，初始时刻旋转矢量 A 的矢端应在图中的M位置，所以j=p3. 2p=padrsT-1(2)依题意，A=0.06m，T=2.0s，则w=. M 质点的运动方程可写为x=0.06cos(pt+), 3t=1.0s代入上式，可得：x=0.06cos(p+)m=-0.03m=-3.0cm 3dxpv=-0.06psin(pt+) dt3d2xa=2=-w2Acos(wt+j)=-w2x dtpp把已知量代入上式可得：v=9.4210-2ms-1、a=0.296ms-2 4

24、.18 在一平板上放一质量为m=2kg的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为T=0.5s，振幅A=4cm，求：物体对平板的压力的表达式；平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？ 解析：设平衡位置为坐标原点，向上为正方向，t=0时刻，振动的相位为零，2p=4prads-1 Tw=则平板的运动方程是 y=0.04cos(4pt)m N 物体的运动和平板相同。分析物体受力可知： N-mg=ma G d2xa=2=-w2Acos(wt+j) dt 所以N=-mg+mw2Acos(4pt) 根据牛顿第三定律可知物体对平板的压力与平板对物体的支持力是一对作用力与反作用力。所以物体对平板的压力N=

25、-mg+mw2Acos(4pt) 当平板振动的最大加速度大于g时，物体能离开平板 g=w2A A=0.062m 4.19一弹簧振子由弹性系数为k的轻弹簧和质量为M的物块组成，将弹簧的一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为m、速度为v0的子弹由下而上射入物块，且留在物块中。求子弹留在物块中系统的振幅与周期，并求出系统的总振动能量。 解析：子弹击中物块后系统的角频率为w=2pk，所以周期M+m习题4.19图 为T=w=2pM+m。设子弹击中物块后系统获得速率为v，k由动量守恒定律可得v=mv0. M+m子弹进入物块后，振子的平衡位置改变了，以新的平衡位置为坐标原点，竖直向下为x轴正方向。以子弹

26、进入物块的瞬间为计时零点，则t=0时刻，振子的初Mg=kx1;x2为位移为x0=-(x2-x1)，其中x1为子弹未进入物块时弹簧的伸长量，子弹进入物块后弹簧的伸长量，(M+m)g=kx2，因此 x0=-(M+mMm-)g=-g kkk方法一：根据已知条件可得振子的振幅为： m2)kv02vmg2mg2m+M A=x0+2=(-)+=1+kwk(m+M)g2M+m2(系统的总振动能量 kv02v02121m2g212g2E=kA=(1+)=m(+) 22k(m+M)g22km+M方法2：子弹射入物块后，系统的机械能守恒，所以系统的总振动能量即为初始v0212112g22时刻的振动能量，E=kx0

27、+(m+M)v=m(+) 222km+M4.20 一物体质量为0.25 kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25 Nm1，如果起始振动时具有势能0.06J和动能0.02J，求 (1) 振幅； (2) 动能恰等于势能时的位移； (3) 经过平衡位置时物体的速度。 解析：物体做简谐振动时，振子势能的表达式是Ep=Ek=12kx，动能表达式是212mv。其动能和势能都随时间做周期性变化，物体通过平衡位置时，势能21为零，动能达到最大值；位移最大时，势能达到最大值Ep=kA2，动能为零，21但其总机械能却保持不变为E=kA2。 21 由于振动过程总机械能却保持不变，0.06+0.02

28、=25A2，A=0.08m。 2 动能恰等于势能时，也就是此时势能是总机械能的一半，Ep=212112A=0.057m kx=kA，x=2222通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，此时 10.06+0.02=mv2， v=0.8ms-1. 24.21一作简谐振动的振动系统，振子质量为2kg，系统振动频率为1000Hz，振幅为0.5cm，则其振动能量是多少？ 1解析：简谐振动系统的能量E=mw2A2，把已知量代入上式可得： 211E=mw2A2=m(2pn)2A2=986.96J 224.22一质点作简谐振动，其振动方程为x=6.010-2cos(t-)(SI)。求： 34当x值为多大时，

29、系统的势能为总能量的一半？ 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？ 解析： x=26.010-2m=4.2410-2m 2ppt=T6=s=0.75s 884.23 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为 x1=510-2cos(4t+)(SI) 3px2=310-2sin(4t-)(SI) 6p画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。 ppp2p解析：x2=310-2sin(4t-)=310-2cos(4t-)=310-2cos(4t-) 6623作两振动的旋转矢量图，如图所示。 由图得合振动的振幅和初相分别为 A(5-3)cm=2cm，j=p3合振动方程为x=

30、210-2cos(4t+)(m) 3 4.24 质量为m的质点同时参与互相垂直的两个振动，其振动方程分别为 x=4.010-2cos(2ppt+)(SI) 332ppy=3.010-2cos(t-)(SI) 36p试求：质点的运动轨迹方程；质点在任一位置时所受的作用力。 解析：由题意：x=4.010-2cos(2ppt+)， 332pp2ppp2ppy=3.010-2cos(t-)=3.010-2cos(t+-)=3.010-2sin(t+) 3633233以上两式化简后得： x2y2+=1 0.0420.032t时刻质点的位矢为r=xi+yj=4.010-2cos(d2r2pa=2=-2r

31、dt32pp2ppt+)i+3.010-2cos(t-)j，所以加速度为 3336因此质点在任一位置所受的作用力F=-m(2p2)r 方向始终指向原点 34.25 火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接缝处即受到一次振动，从而使装在弹簧上面的车厢上下振动。设每段铁轨长12.5，弹簧平均负重5.410N，而弹簧每受9.8103N的力将压缩1.6mm。试问火车速度多大时，振动特别强? 9.8103解析：由题意可得弹簧劲度系数k=Nm-1=6.125106Nm-1 -31.610k6.125106=rads-1=33.34rads-1 系统的振动角频率w=4m5.410火车的固有周期T=2pw=23.14s

32、=0.18s 33.34因此，当火车在接轨处受到振动周期等于固有周期时，振动将最强，于是 v=L12.5=ms-1=69.4ms-1时，振动将特别强烈。 T0.184.26 阻尼振动起始振幅为3.0cm，经过10s后振幅变为1.0cm，经过多长时间振幅将变为 0.30cm? 解析：阻尼振动的振幅表达式是：A=A0e-dt，代入数据可得： 1.0=3.0e-10d 0.3=3.0e-dt 解得： t=20.96s 4 开放性习题 6.27 请以“共振”为关键词，通过互联网了解物理学、社会学、管理学等领域里共振效应。(略) 第5章 机械波 5.1基本要求 1理解描述简谐波的各物理量的意义及相互间的

33、关系. 2理解机械波产生的条件掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法理解波函数的物理意义理解波的能量传播特征及能流、能流密度概念 3了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件. 4理解驻波及其形成。 5了解机械波的多普勒效应及其产生的原因. 5.2基本概念 1机械波 机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，机械波产生的条件首先要有作机械振动的物体，即波源；其次要有能够传播这种机械振动的弹性介质。它可以分为横波和纵波。 2.波线与波面 沿波的传播方向画一些带有箭头的线，叫波线。介质中振动相位相同的各点所连成的面，

34、叫波面或波阵面。在某一时刻，最前方的波面叫波前。 3波长l 在波传播方向上，相位差为2p的两个邻点之间的距离称为波长，它是波的空间周期性的反映。 4周期T与频率n 一定的振动相位向前传播一个波长的距离所需的时间称为波的周期，它反映了波的时间周期性，波的周期与传播介质各质点的振动周期相同。周期的倒数称为频率，波的频率也就是波源的振动频率。 5波速u 单位时间里振动状态在介质中传播的距离。它与波动的特性无关，仅取决于传播介质的性质。 6平面简谐波的波动方程 在无吸收的均匀介质中沿x轴传播的平面简谐波的波函数为 y=Acos(wtm2plx+j) x或y=Acosw(tm)+j u其中，“-”表示波

35、沿x轴正方向传播；“+”表示波沿x轴负方向传播。 波函数是x和t的函数。给定x，表示x处质点的振动，即给出x处质点任意时刻离开自己平衡位置的位移；给定t，表示t时刻的波形，即给出t时刻质点离开自己平衡位置的位移。 7波的能量 波动中的动能与势能之和，其特点是同体积元中的动能和势能相112p等。任意体积元的dWP=dWk=dW=rdVA2w2sin2(wt-x+j) 22l8平均能量密度、能流密度 一周期内垂直通过某一面积能量的平均值是平均能量密度，用w表示。单位时间内，通过垂直于波传播方向单位面积的平均能量，叫做波的能流密度，用I表示。 其中w=wuTS11T12222，I=wu=rAwu w

36、dt=rwA0TS2T29波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变，并能绕过障碍物而继续向前传播，这种现象称为波的衍射。 10波的干涉 几列波叠加时产生强度稳定分布的现象称为波的干涉现象。产生波的相干条件是：频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波的叠加。加强和减弱的条件，取决于两波在相干点的相位差Dj=j2-j1-2r2-r1l， Dj=2k(k=0,1,2,.) 时，合振幅达到极大Amax=A1+A2，称为干涉相长 (k=1,2,3.)振幅为极小，A=2A1-A2，称为干涉相消。 Dj=(2k-1)11驻波 它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成。 驻

37、波方程：y=2Acoslxcoswt。 12半波损失 波由波疏介质行进到波密介质，在分界面反射时会形成波节，相当于反射波在反射点损失了半个波长的过程。 13多普勒效应 因波源或观察者相对于介质运动，而使观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同的现象。 5.3基本规律 1惠更斯原理 介质中波动传到的各点均可看做能够发射子波的新波源，此后的任一时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波前。据此，只要知道了某一时刻的波面，就可用几何作图的方法决定下一时刻的波面。因而惠更斯原理在很广泛的范围内解决了波的传播问题。下面通过球面波的传播来说明惠更斯原理的应用。如图5-1所示，t时刻的波面是半径为R1的球面 S1

38、，按惠更斯原理，S1上的每一点都可以看成发射子波的点波源。以 S1面上各点为中心，以r=uDt为半径作半球面，这些半球面就是这些新的子波的波前，它们的包络面S2就是时刻的波面。 2多普勒效应 当观察者和波源之间有相对运动时，观察者所测到的频率nR和波源的频率nS不相同的现象称为多普勒效应。 当波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为nR=u：机械波在介质中的传播速度 vS：波源相对于介质的速度 vR：观察者相对于介质的速度为 图5-1 uvRnS。 umvS观察者接近波源时，vR前取“+”号，远离时，则取“-”号；波源朝向观察者运动时，vS前取“-”号，远离时，则取“+”号。 5.4学习指导

39、 1重点解析 下面将讨论本章的习题分类及解题方法： 已知波动表达式求有关的物理量，如振幅、周期、波长、质元间的相位差等. 通常采用比较法，即将已知的波动表达式与标准的波动表达式进行比较，从而找出相应的物理量；也可以根据各物理量的关系，通过运算得到结果。 已知波动的有关物理量，建立波动表达式 基本步骤如下：由题给条件写出波源或传播方向上某一点的振动表达式。(b)在波线上建立坐标后，任取一点P，距原点为x，计算出p点的振动比已知点的振动在时间上超前或落后。设超前或落后的时间为t，将原振动表达式中加上或减去t，即得该波的表达式。也可计算出P点振动相位比已知点超前或落后，设超前或落后相位为2p2pll

40、注意：超前为加，落后为减。为方便起见，有时常把波线上的已知点选为坐标原点。 已知波形曲线，建立波动表达式 则将原振动表达式中的相位加上或减去x，x。从波形曲线上确定有关的物理量。如波长、振幅等，特别要注意从曲线上确定某点的振动相位，这可用旋转矢量法或解析法确定，然后写出该点的振动表达式，再根据传播方向写出波动表达式。 例1 已知一平面波在t=0s时的波形曲线如图5-2所示，波沿x轴正向传播，已知波的周期T=3s. 求该波的波函数；点P处质元的振动方程。 分析：首先要选一个参考点，如坐标原点，求出该点处质元的振动方程，因此必须求出振动的特征量A、j、w。然后由图中信息求出波长或波速，再根据波的传

41、播方向，写出波函数。将P点x坐标值代入波函数即可求P处质元的振动方程。 解：选坐标原点为参考点，由图可知振幅A=410-2m，T=3s图5-2 ，则圆频率w=2p2p=rads-1 T3波沿x轴正向传播，显然v00，利用旋转矢量法，画出t=0时刻对应的旋转矢量图如图5-3所示，则j=-p3，于是原点处质元的振动方程为 y=410-2cos(2ppt-)m 332p2ppt-x-)m 3l3为求波函数，要求出波长l或波速u。 先设波函数为y=410-2cos(由波形曲线可知t=0时刻，x=0.4m处，y=-410-2m,代入波函数 -410-2=410-2cos(-2p0.4-) l32p5pp

42、t-x-)m 3332ppt+)m 33p得l=1.2m 所以波函数为y=410-2cos(P点 x=0.8m代入波函数即可求P处质元的振动方程是 y=410-2cos(波的干涉和驻波 波的干涉问题主要是计算相干波在空间各处相遇是增强还是减弱，这可通过二者相位差或波程差来确定。驻波问题中，波腹和波节的位置是计算问题的重点，而写出反射波是关键。 例2 两波在一根很长的弦线上传播，其波动方程分别为 4px-8pt) 34py1=4.0010-2cos(x+8pt) 3y1=4.0010-2cos(求(1)两波的频率、波长、波速 (2)两波节叠加后的节点位置 (3)叠加后振幅最大的那些点的位置 解：与标准的波动方程y=Acos(wtm2plx+j)比较可得： 频率n=4Hz、波长l=1.50m、波速u=ln=6.00ms-1。 4ppx=(kp+) 3231则有：x=(k+)(k=0,1,2,3L) 424p波腹位置：x=kp 3节点位置3则有：x=k4(k=0,1,2,3L) 多普勒效应 求解多普勒效应问题时，首先要分析波源和观察者的运动情况，以便应用不同公式进行处理。应特别注意公式中符号规则。对于有反射面的情况，反射面相当于一个“观察者”，分析反射波时相当于一个“波源”。 2难点释疑 疑难点1. 如何理解驻波，“半波损失”。 两列振幅相同、振动方向相同、频率相同的相干波沿相反方