大学高等数学知识点.docx

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1、大学高等数学知识点大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *an=f(n); *an+1=f(an) (2)初等函数: f1(x)xx0f(x)xx0 (3)分段函数: *F(x)=; *F(x)=;* ,x=xxxaf(x)002 (4)复合(含f)函数: y=f(u),u=j(x) (5)隐式(方程): F(x,y)=0 x=x(t) (6)参式(数一,二): y=y(t) (7)变限积分函数: F(x)=xaf(x,t)dt (8)级数和函数(数一,三): S(x)= 2. 特征(几何): ax,xW nnn=0 (1)单调性与有

2、界性(判别); (f(x)单调x0,(x-x0)(f(x)-f(x0)定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: y=f(x)x=f二. 极限性质: 1. 类型: *liman; *limf(x)(含x); *limf(x)(含xx0) nx-1(y)y=f-1(x) xx0 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 0,1,-,0,00,0 0 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: an n1, a(a0)1, (a+b+c)maxa(b, c, ) (a0)0 n!nn1n1n1nn 1 1xnlnnxxx=1, limx=0

3、=0, (x0), lim, limx+x+x0+xexxxlnx=0 lim, ex0+n0x- ,+x+四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当u(x)0时, ux(:)ux(; ) tanu(x):u(x); 1-cosu(x): sin12u(x); 2 eu(x)-1:u(x); ln(1+u(x):u(x); (1+u(x)a-1:au(x); unx(:)ux; ( arctanu(x):u(x) arcsi 2. 泰勒公式: 12x+o(x2); 2!122 (2)ln(1+x)=x-x+o(x); 2134 (3)sinx=x-x+o(x); 3!12145 (4)cosx=

4、1-x+x+o(x); 2!4!a(a-1)2ax+o(x2). (5)(1+x)=1+ax+2! (1)e=1+x+x五. 常规方法: 前提: (1)准确判断, 1. 抓大弃小(01,1,aM(其它如:-,0,00,0); (2)变量代换(如:=t) 0x), 2. 无穷小与有界量乘积 (aM) (注:sin11,x) x 3. 1处理(其它如:0,) 4. 左右极限(包括x): 11x (1)(x0); (2)e(x); ex(x0); (3)分段函数: x, x, maxf(x) x00 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则

5、(0xlnxxlnx最后方法); (注意对比: lim与lim) x1x001-x1-x2 11111- (2)幂指型处理: u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)(如: ex+1-ex=ex(ex+1x-1) (3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: f(x)=limnF(x,n)(分段函数) 六. 非常手段 1. 收敛准则: (1)an=f(n)xlim+f(x) (2)双边夹: *bnancn?, *bn,cna? (3)单边挤: an+1=f(an) *a2a1? *anM? *f(x)0? 2. 导数定义(洛必达

6、?): lim:f:x0:x=fx0( ) 3. 积分和: l111nimnfn(+)f2n(+L)+fnn(=)0fxd(, x) 4. 中值定理: xlim+f(x+a)-f(x)=axlim+f(x) 5. 级数和(数一三): (1)alima2nn!n收敛n=0, (如limn) (2)lim(a1+a2+L+an)=n=1nnnnan, n=1 (3)an与(an-an-1)同敛散 n=1七. 常见应用: 1. 无穷小比较(等价,阶): *f(x):kxn,(x0)? (1)f(0)=f(0)=L=f(n-1)(0)=0,f(n)(0)=af(x)=an!xn+a(xn):an!xn

7、 (2)x0f(t)dt:x0ktndt 2. 渐近线(含斜): (1)a=f(x)xlimx,b=limxf(x)-axf(x):ax+b+a (2)f(x)=ax+b+a,(1x0) 3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, f(x)连续性) 八. a,b上连续函数性质 3 1. 连通性: f(a,b)=m,M (注:0l1, “平均”值:lf(a)+(1-l)f(b)=f(x0) 2. 介值定理: (附: 达布定理) (1)零点存在定理: f(a)f(b)0f(x0)=0(根的个数); (2)f(x)=0(xaf(x)dx)=0. 第二讲:导数及应

8、用(一元)(含中值定理) 一. 基本概念: 1. 差商与导数: f(x)=lim:x0f(x+:x)-f(x)f(x)-f(x0); f(x0)=lim xx0:xx-x0 (1)f(0)=limx0f(x)-f(0)f(x)=A(f连续)f(0)=0,f(0)=A) (注:limx0xx (2)左右导: f-(x0),f+(x0); (3)可导与连续; (在x=0处, x连续不可导; xx可导) 2. 微分与导数: :f=f(x+:x)-f(x)=f(x):x+o(:x)df=f(x)dx (1)可微可导; (2)比较Df,df与0的大小比较(图示); 二. 求导准备: 1. 基本初等函数求

9、导公式; (注: (f(x) 2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数三. 各类求导(方法步骤): dx1= dyyf(x+h)-f(x-h)h 1. 定义导: (1)f(a)与f(x)x=a; (2)分段函数左右导; (3)limh0F(x)xx0 (注: f(x)=, 求:f(x0),f(x)及f(x)的连续性) ,x=xa0 2. 初等导(公式加法则): (1)u=fg(x), 求:u(x0)(图形题); (2)F(x)= (3)y=xaf(t)dt, 求:F(x) (注: (f(x,t)dt),(f(x,t)dt),(f(t)dt) aaaxbbf1(x)x0零点

10、唯一; f(x)0驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点: (1)表格(f(x)变号); (由limxx0f(x)f(x)f(x)0,lim0,lim20x=0的特点) xx0xx0xxx (2)二阶导(f(x0)=0) 注(1)f与f,f的匹配(f图形中包含的信息); 5 (2)实例: 由f(x)+l(x)f(x)=g(x)确定点“x=x0”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(f(x)0) (1)区别: *单变量与双变量? *xa,b与xa,+),x(-,+)? (2)类型: *f0,f(a)0; *f0,f(b)0 *f0,f(a

11、),f(b)0; *f(x)0,f(x0)=0,f(x0)0 (3)注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如: f(x)Mfmax(x)=M) 4. 函数的零点个数: 单调介值 六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. y表格; (f(x0)=0) 2. 应用: (1)泰勒估计; (2)f单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: F(b)=F(a)F(x)=f(x)=0 2. 辅助函数构造实例: (1)f(x)F(x)=xaf(t)dt (2)f(x)g(x)+f(x)g(x)=0F(x)=f(x)g(x) (3)f(x)g(x)-f(x)g(x)=0

12、F(x)= (4)f(x)+l(x)f(x)=0F(x)=e 3. f(n)f(x) g(x)f(x); l(x)dx(x)=0f(x)有n+1个零点f(n-1)(x)有2个零点 (n) 4. 特例: 证明f(x)=a的常规方法:令F(x)=f(x)-Pn(x)有n+1个零点(Pn(x)待定) 5. 注: 含x1,x2时,分家!(柯西定理) 6. 附(达布定理): f(x)在a,b可导,cf(a),f(b),$xa,b,使:f(x)=c 八. 拉格朗日中值定理 1. 结论: f(b)-f(a)=f(x)(b-a); (j(a)0) 6 2. 估计: :f=f(x):x 九. 泰勒公式(连接f,

13、f,f之间的桥梁) 11 1. 结论: f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+2!f(x0)(x-x0)2+3!f(x)(x-x30); 2. 应用: 在已知f(a)或f(b)值时进行积分估计 十. 积分中值定理(附:广义): 注:有定积分(不含变限)条件时使用 第三讲: 一元积分学 一. 基本概念: 1. 原函数F(x): (1)F(x)=f(x); (2)f(x)dx=dF(x); (3)f(x)dx=F(x)+c 注(1)F(x)=xaf(t)dt(连续不一定可导); (2)xt)f(t)dtxa(x-af(t)dtf(x) (f(x)连续) 2. 不定积分性质: (1)(f(x

14、)dx)=f(x); d(f(x)dx)=f(x)dx (2)f(x)dx=f(x)+c; df(x)=f(x+) c二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式 2. 基本方法: 拆(线性性) (k1f(x)+k2g(x)d=x1k(f)x+d2xk( g)xdx 3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(1=sin2x+cos2x) 如: dx=1d(ax+b),xdx=1dx2,dx=ddxa2xlnx,x=2dx x1+x2dx=d1+x2,(1+lnx)dx=d(xlnx) 4. 变量代换: (1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): x=sint,ax+b=t,1x=t,ex+1=

15、t (2)作用与引伸(化简): x21-x=t 7 5. 分部积分(巧用): (1)含需求导的被积函数(如lnx,arctanx, (2)“反对幂三指”: (3)特别: xaf(t)dt); xenaxdx,xnlnxdx, xf(x)dx (*已知f(x)的原函数为F(x); *已知f(x)=F(x) 6. 特例: (1)a1sinx+b1cosxv(x)kxp(x)edx,p(x)sinaxdxdx; (2)快速法; (3)asinx+bcosxun(x)dx 三. 定积分: 1. 概念性质: (1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,

16、积分中值) * (3)附: aa0ax-x2dx(a0)=p8a2; *(x-aba+b)dx=0 2bf(x)dxM(b-a), baf(x)g(x)dxMg(x)dx) ab (4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重 2: 变限积分F(x)=xaf(t)dt的处理(重点) (1)f可积F连续, f连续F可导 (2)(xaf(t)dt)=f(x); (x-t)f(t)dt)=f(t)dt; aaxxxaf(x)dt=(x-a)f(x) (3)由函数F(x)= 3. N-L公式: xaf(t)dt参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题 baf(x)dx=F(b)-F(a)(F

17、(x)在a,b上必须连续!) 注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含baf(t)dt的方程. 4. 变量代换: (1)baf(x)dx=a0baf(ut)u( t)dta0af(x)dx=f(a-x)dx(x=a-t), f(x)dx=f(-x)dx(x=-t)=f(x)+f(-x)dx (如:4p-a0aa (2)-a1dx) -1+sinx4pp (3)In=20sinnxdx=n-1In-2, n8 pp (4)220f(sinx)dx=0f(cosx)dx; pp0f(sinx)dx=220f(sinx)dx, (5)pp0xf(si

18、nx)dx=p20f(sinx)dx, 5. 分部积分 (1)准备时“凑常数” (2)已知f(x)或f(x)=xa时, 求baf(x)dx 6. 附: 三角函数系的正交性: 2p0sinnxdx=2p0cosnxd=x2p0sinnxcosm=x d x0 2p2p0sinnxsinmxdx=0cosnxcosmxdx(nm)=0 2psin2nxdx=2p00cos2nxdx=p 四. 反常积分: 1. 类型: (1)+aaf(x)dx,-f(x)dx,+-f(x)dx (f(x)连续) (2)baf(x)dx: (f(x)在x=a,x=b,x=c(ac0) 1. “审”前考察: (1)an

19、0? (2)an0?; (3)绝对(条件)收敛? 14 注: 若liman+1=r1,则un发散 nan 2. 标准级数: (1)(-1)n+111n+11n+1(-1); (2)(-1); (3) ppnnlnn 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提: an发散; (2)条件: an:,an0; (3)结论: (-1)n+1an条件收敛. 4. 补充方法: (1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)s2ns,an0s2n+1ssns. 5. 注意事项: 对比 四. 幂级数: 1. 常见形式: (1)an; (-1)annn; an; a2n之间的敛散关系 axnn, (2)a(x-

20、x)n0, (3)a(x-x)n02n 2. 阿贝尔定理: * (1)结论: x=x敛Rx-x0; x=x散Rx-x0 * (2)注: 当x=x条件收敛时R=x-x 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1) (2)nanxn,annx与anxn同收敛半径 n2nn0axnn与a(x-x)之间的转换 4. 幂级数展开法: (1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) e=1+x+ 1213x+x+L,W=R 2!3!1x-x11(e+e)=1+x2+x4+L,W=R 22!4!1x-x11(e-e)=x+x3+x5+L,W=R 23!5!1111sinx=x-x3+x5-L,W=R c

21、osx=1-x2+x4+L,W=R; 3!5!2!4!11=1+x+x2L+,x(-1,; 1 ) =1-x+x2-L,x(-1,1) 1-x1+x11ln(1+x)=x-x2+x3-L,x(-1,1 2311ln(1-x)=-x-x2-x3-L,x-1,1) 23x 15 arctanx=x-13153x+5x-L,x-1,1 (2)分解: f(x)=g(x)+h(x)(注:中心移动) (特别: 1ax2+bx+c,x=x0) (3)考察导函数: g(x):f(x)f(x)=x0g(x)dx+f(0) (4)考察原函数: g(x):x0f(x)dxf(x)=g(x) 5. 幂级数求和法(注:

22、 *先求收敛域, *变量替换): (1)S(x)=+, (2)S(x)=L,(注意首项变化) (3)S(x)=(), (4)S(x)S(x)的微分方程 (5)应用:anannx=S(x)an=S(1). 6. 方程的幂级数解法 7. 经济应用(数三): (1)复利: A(1+p)n; (2)现值: A(1+p)-n五. 傅里叶级数(数一): (T=2p) 1. 傅氏级数(三角级数): S(x)=a02+ancosnx+bnsinnx n=1 2. Dirichlet充分条件(收敛定理): (1)由f(x)S(x)(和函数) (2)S(x)=12f(x-)+f(x+) a=1p 3. 系数公式:

23、 ap0=1p-p)dx,nf(x)cosnxdxf(xp-p,n=1,2,3,L b1pn=p-pf(x)sinnxdx 4. 题型: (注: f(x)=S(x),x?) (1)T=2p且f(x)=L,x(-p,p(分段表示) 16 (2)x(-p,p或x0,2p (3)x0,p正弦或余弦 *(4)x0,p(T=p) *5. T=2l a0 6. 附产品: f(x)S(x)=+ancosnx+bnsinnx 2n=11a0 S(x0)=+ancosnx0+bnsinnx0=f(x0-)+f(x0+) 22n=1 第七讲: 一. 向量基本运算 向量,偏导应用与方向导(数一) rrvv 1. k1a+k2b;