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1、如何判断矩阵的等价,相似,合同？如何矩阵的等价,相似,合同？ (1)A与B等价:A可以经一系列初等变换得BPAQ=Br(A)=r(B) (A,B同型,P,Q可逆.)判断等价只需同型且秩相等. (2)A与B相似:P-1AP=B,P可逆. 相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式相同,行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果A,B相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知A,B相似. (3)A与B合同(仅限于对称矩阵):CAC=B(C可逆)A与B的正负惯性指数相同. T判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可
2、. 注:A,B合同A,B等价 1011A,B相似A,B等价,例A=,B=等价但不相似 0101在A,B实对称的前提下,A,B相似A,B合同. 判定下列矩阵哪些等价，哪些相似, 哪些合同? 111110100000A=000,B=001,C=000,D=011. 000000000011先看等价：r(A)=1,r(B)=2,r(C)=1,r(D)=1，故A,C,D等价. 再看相似：r(A)=r(C)=r(D)=1,r(B)=2,排除B，考虑A,C,D，A,C的特征值为1,0,0，D的特征值为2,0,0，从而排除D仅仅考虑A,C，A的特征值为1,0,0，且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量，100A相似于对角阵C=000，从而A,C相似. 000最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑C,D，C的特征值为1,0,0，D的特征值为2,0,0，C的正惯性指数为1,负惯性指数为0，D的正惯性指数也为1,负惯性指数为0，C,D合同. 111300 判断A=111,B=000是否等价，相似,合同,? 111000r(A)=r(B)=1，二者等价； 300A为对称阵一定相似于对角阵B=000；从而A一定合同于对角阵B. 000
