考研数学理工类精选试题及解析：线性代数.doc

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1、第一章 行列式一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a12和a21的项为_.解. a12a21a33a44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“”, 所以答案为a12a21a33a44.2. 排列i1i2in可经_次对换后变为排列inin1i2i1.解. 排列i1i2in可经过1 + 2 + + (n1) = n(n1)/2 次对换后变成排列inin1i2i1.3. 在五阶行列式中=_.解. 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“”.4. 在函数 中, x3的系数是_.解. x3的系数只要考察. 所以x3前的系数为

2、2.5. 设a, b为实数, 则当a = _, 且b = _时, .解. . 所以a = b = 0.6. 在n阶行列式D = |aij|中, 当i r1 (B) r r1 (C) r = r1 (D) r与r1的关系依C而定解. , 所以 又因为 , 于是 所以 . (C)是答案.9. 设A、B都是n阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A和B的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n, 一个等于n (D) 都等于n解. 若, 矛盾. 所以 . 同理. (B)是答案.三. 计算证明题1. 设, . 求: i. ABBA ii. A2B2 iii. BTAT解. , 2. 求

3、下列矩阵的逆矩阵i. ii. iii. iv. 解. i., ii. . 由矩阵分块求逆公式:得到: iii. . 由矩阵分块求逆公式: 所以 iv. 由矩阵分块求逆公式:得到: 3. 已知三阶矩阵A满足. 其中, , . 试求矩阵A.解. 由本题的条件知: 4. k取什么值时, 可逆, 并求其逆.解. 所以 5. 设A是n阶方阵, 且有自然数m, 使(E + A)m = 0, 则A可逆.解. 因为 所以 . 所以A可逆.6. 设B为可逆矩阵, A是与B同阶方阵, 且满足A2 + AB + B2 = 0, 证明A和A + B都是可逆矩阵.解. 因为, 所以. 因为B可逆, 所以所以 . 所以都

4、可逆.7. 若A, B都是n阶方阵, 且E + AB可逆, 则E + BA也可逆, 且 解. = =所以 .8. 设A, B都是n阶方阵, 已知|B| 0, AE可逆, 且(AE)1 = (BE)T, 求证A可逆.解. 因为(AE)1 = (BE)T, 所以(AE)(BE)T = E所以 , 由 |B| 0 知存在. 所以 . 所以A可逆.9. 设A, B, A + B为n阶正交矩阵, 试证: (A + B)1 = A1 + B1.解. 因为A, B, A + B为正交矩阵, 所以所以 10. 设A, B都是n阶方阵, 试证明: .解. 因为 所以 因为 , 所以 11. 设A为主对角线元素均

5、为零的四阶实对称可逆矩阵, E为四阶单位矩阵 i. 试计算|E +AB|, 并指出A中元素满足什么条件时, E + AB可逆;ii. 当E + AB可逆时, 试证明(E + AB)1A为对称矩阵.解. i. , , 所以当 时, E + AB可逆.ii. 因为A, B为实对称矩阵, 所以为实对称矩阵, 所以(E + AB)1A为对称矩阵.12. 设, 求An.解. 使用数学归纳法. 假设 =则 = =所以 =13. A是n阶方阵, 满足Am = E, 其中m是正整数, E为n阶单位矩阵. 今将A中n2个元素aij用其代数余子式Aij代替, 得到的矩阵记为A0. 证明.解. 因为Am = E,

6、所以, 所以A可逆. 所以 14. 设矩阵i. 证明: n 3时, (E为三阶单位矩阵)ii. 求A100.解. i. 所以 假设 则 =所以 ii. 15. 当时, A6 = E. 求A11.解. , 所以 因为 16. 已知A, B是n阶方阵, 且满足A2 = A, B2 = B, 与(AB)2 = A + B, 试证: AB = BA = 0.解. 因为(AB)2 = A + B, 所以 于是 , 所以 因为 A2 = A, B2 = B, 所以 2AB = 0, 所以.第三章 向量一. 填空题1. 设, 则k = _时, a1, a2, a3, a4线性相关.解. 考察行列式 = 13

7、k +5 = 0. 2. 设, 则t = _时, a1, a2, a3, a4线性相关.解. 考察行列式 . 所以对任何t, a1, a2, a3, a4线性相关. 3. 当k = _时, 向量b = (1, k, 5)能由向量 线性表示.解. 考察行列式 得k =8. 当k =8时, 三个向量的行列式为0, 于是线性相关. 显然线性无关, 所以可用线性表示.4. 已知, 则秩(a1, a2, a3, a4) = _.解. 将a1, a2, a3, a4表示成矩阵 . 所以 r (a1, a2, a3, a4) = 35. 设, 则秩(A) = _.解. 所以 r (A) = 3.6. 已知矩

8、阵A = ab, 则秩(A) = _.解. A = ab = 所以 r (A) = 1. 7. 已知向量, 且秩(a1, a2, a3, a4) = 2, 则t = _.解. A = (a1, a2, a3, a4) 所以当t = 7时, r (A) = 2.二. 单项选择题1. 设向量组a1, a2, a3线性无关, 则下列向量组线性相关的是(A) a1 + a2, a2 + a3, a3 + a1 (B) a1, a1 + a2, a1+ a2 + a3(C) a1a2, a2a3, a3a1 (D) a1 + a2, 2a2 + a3, 3a3 + a1解. 由 得 因为向量组a1, a

9、2, a3线性无关, 所以得关于的方程组 的系数行列式为 . 所以有非零解, 所以a1a2, a2a3, a3a1线性相关. (C)是答案.2. 设矩阵Amn的秩为R(A) = m n, Em为m阶单位矩阵, 下列结论正确的是(A) A的任意m个列向量必线性无关 (B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 若矩阵B满足BA = 0, 则B = 0 (D) A通过行初等变换, 必可以化为(Em, 0)的形式解. (A), (B)都错在“任意”; (D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A变成(Em, 0)的形式; (C)是正确答案. 理由如下:因为 BA = 0, 所以 0. 所以= 0.

10、于是B = 0.3. 设向量组 (I): ;设向量组 (II): , 则(A) (I)相关(II)相关 (B) (I)无关(II)无关(C) (II)无关(I)无关 (B) (I)无关 (II)无关解. 由定理: 若原向量组线性无关, 则由原向量组加长后的向量组也线性无关. 所以(B)是答案.4. 设b, a1, a2线性相关, b, a2, a3线性无关, 则(A) a1, a2, a3线性相关 (B) a1, a2, a3线性无关(C) a1可用b, a2, a3线性表示 (D) b可用a1, a2 线性表示解. 因为b, a1, a2线性相关, 所以b, a1, a2, a3线性相关.

11、又因为b, a2, a3线性无关, 所以a1可用b, a2, a3线性表示. (C)是答案. 5. 设A, B是n阶方阵, 且秩(A) = 秩(B), 则(A) 秩(AB) = 0 (B) 秩(A + B) = 2秩(A) (C) 秩(AB) = 2秩(A) (D) 秩(A + B) 秩(A) + 秩(B)解. (A) 取且|A| 0, |B| 0则AB 0, 则r(AB) 0. 排除(A);(B) 取A =B 0, 则秩(A + B) 2秩(A); (C) 取A = B 0, 则秩(AB) 2秩(A). 有如下定理: 秩(A + B) 秩(A) + 秩(B). 所以(D)是答案.三. 计算证

12、明题1. 设有三维向量, , 问k取何值时i. b可由a1, a2, a3线性表示, 且表达式唯一; ii. b可由a1, a2, a3线性表示, 但表达式不唯一;iii. b不能由a1, a2, a3线性表示.解. i. 时, a1, a2, a3线性无关, 四个三维向量一定线性相关, 所以b可由a1, a2, a3线性表示, 由克莱姆法则知表达式唯一;ii. 当k = 1 时. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以所以b可由a1, a2, a3线性表示, 但表示不惟一;iii. 当时 .系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以所以b不能由a1, a2, a3线性表示.2. 设向量

13、组a1, a2, a3线性相关, 向量组a2, a3, a4线性无关, 问i. a1能否由a2, a3线性表出? 证明你的结论;ii. a4能否由a1, a2, a3线性表出? 证明你的结论解. i. a1不一定能由a2, a3线性表出. 反例: , , . 向量组a1, a2, a3线性相关, 但a1不能由a2, a3线性表出;ii. a4不一定能由a1, a2, a3线性表出. 反例: , , , . a1, a2, a3线性相关, a2, a3, a4线性无关, a4不能由a1, a2, a3线性表出.3. 已知m个向量a1, a2, am线性相关, 但其中任意m1个都线性无关, 证明:

14、i. 如果存在等式 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0则这些系数k1, k2, km或者全为零, 或者全不为零;ii. 如果存在两个等式 k1a1 + k2a2 + + kmam = 0 l1a1 + l2a2 + + lmam = 0其中l1 0, 则.解. i. 假设k1a1 + k2a2 + + kmam = 0, 如果某个ki = 0. 则 k1a1 + ki1ai1 + ki+1ai+1 + kmam = 0因为任意m1个都线性无关, 所以k1, k2, ki1, ki+1, , km都等于0, 即这些系数k1, k2, km或者全为零, 或者全不为零;ii. 因为l1

15、 0, 所以l1, l2, lm全不为零. 所以 .代入第一式得: 即 所以 , , 即 4. 设向量组a1, a2, a3线性无关, 问常数a, b, c满足什么条件aa1a2, ba2a3, ca3a1线性相关.解. 假设 得 因为 a1, a2, a3线性无关, 得方程组 当行列式 时, 有非零解. 所以 时, aa1a2, ba2a3, ca3a1线性相关.5. 设A是n阶矩阵, 若存在正整数k, 使线性方程组Akx = 0有解向量a, 且Ak1a 0, 证明: 向量组a, Aa, , Ak1a是线性无关的.解. 假设 . 二边乘以 得 , 由 . 二边乘以 得 , 最后可得 , 所以

16、向量组a, Aa, , Ak1a是线性无关.6. 求下列向量组的一个极大线性无关组, 并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i. .ii. 解. 解. i. 所以 是极大线性无关组. 由 得方程组 解得 , 所以 ii. 所以 是极大线性无关组. 由 得方程组 解得 , , 所以 由 得方程组 解得 , , 所以 7. 已知三阶矩阵, 讨论秩(A)的情形.解. i. , ii. , iii. , iv. , iv. 所以, 当 时, ; 当时, 8. 设三阶矩阵A满足A2 = E(E为单位矩阵), 但A E, 试证明: (秩(AE)1)(秩(A + E)1) = 0解. 由第十一题知 又因为

17、A E, 所以 , 所以 , 中有一个为1所以 (秩(AE)1)(秩(A + E)1) = 09. 设A为n阶方阵, 且A2 = A, 证明: 若A的秩为r, 则AE的秩为nr, 其中E是n阶单位矩阵.解. 因为 A2 = A, 所以 所以 所以 又因为 所以 . 所以 10. 设A为n阶方阵, 证明: 如果A2 = E, 则秩(A + E) + 秩(AE) = n.解. 因为 A2 = E, 所以 所以 所以 又因为 所以 .第四章 线性方程组一. 填空题1. 在齐次线性方程组Amnx = 0中, 若秩(A) = k且h1, h2, , hr是它的一个基础解系, 则r = _; 当k = _

18、时, 此方程组只有零解.解. , 当时, 方程组只有零解.2. 若n元线性方程组有解, 且其系数矩阵的秩为r, 则当_时, 方程组有唯一解; 当_时, 方程组有无穷多解.解. 假设该方程组为Amnx = b, 矩阵的秩. 当, 方程组有惟一解; 当, 方程组有无穷多解.3. 齐次线性方程组 只有零解, 则k应满足的条件是_.解. , 时, 方程组只有零解.4. 设A为四阶方阵, 且秩(A) = 2, 则齐次线性方程组A*x = 0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为_.解. 因为矩阵A的秩, 所以, A*x = 0的基础解系所含解向量的个数为40 = 4.5. 设, 则Ax

19、= 0的通解为_.解. , 基础解系所含解向量个数为32=1. , 取. 基础解系为(1, 1, 1)T. Ax = 0的通解为k(1, 1, 1)T, k为任意常数.6. 设a1, a2, as是非齐次线性方程组Ax = b的解, 若C1a1 + C2a2 + + Csas也是Ax = b的一个解, 则C1 + C2 + + Cs = _.解. 因为(C1a1 + C2a2 + + Csas) = b, 所以, . 7. 方程组Ax = 0以为其基础解系,则该方程的系数矩阵为_.解. 方程组Ax = 0的基础解系为, 所以, 即, = 1. 所以 , 假设. 由 , 得 由 , 得取 . 所

20、以, (其中为任意常数).8. 设Ax = b, 其中, 则使方程组有解的所有b是_.解. , , 所以= 3.因为 Ax = b有解, 所以所以 , 其中为任意常数.9. 设A, B为三阶方阵, 其中, , 且已知存在三阶方阵X, 使得, 则k = _.解. 由题设 , 又因为, 所以, 即, .二. 单项选择题1. 要使x1 = (1, 0, 1)T, x2 = (2, 0, 1)T都是线性方程组的解, 只要系数矩阵A为(A) (B) (C) (D) 解. 因为的对应分量不成比例, 所以线性无关. 所以方程组的基础解系所含解向量个数大于2.(A) , . 因为A是三阶矩阵, 所以只有零解,

21、 排除(A);(B) . 所以方程组的基础解系所含解向量个数: 3. 排除(B);(C) , .所以方程组的基础解系所含解向量个数: 3. 排除(C);(D) , .所以方程组的基础解系所含解向量个数: 3, (D)是答案.2. 设的基础解系, 则该方程组的基础解系还可以表成(A) 的一个等阶向量组 (B) 的一个等秩向量组(C) (C) 解. 由 , 得 . 因为的基础解系, 所以线性无关. 于是, 所以, 则线性无关. 它也可以是方程组的基础解系. (C)是答案.(A) 不是答案. 例如和等价, 但不是基础解系.3. n阶矩阵A可逆的充分必要条件是(A) 任一行向量都是非零向量 (B) 任

22、一列向量都是非零向量(C) 有解 (D) 当时, , 其中解. 对(A), (B): 反例 , 不可逆;对于(C) 假设A为nn矩阵, 为A的增广矩阵. 当时, 有无穷多解, 但A不可逆;(D) 是答案, 证明如下: 当时, , 说明只有零解. 所以存在.4. 设n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r, 则有非零解的充分必要条件是( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. ( C )为答案.5. 设矩阵, 矩阵, 则线性方程组( A ) 当时仅有零解. ( B ) 当时必有非零解.( C ) 当时仅有零解. ( D ) 当时必有非零解.解. 因为矩阵为方阵, 所以未知数个数为m个.

23、又因为, 所以,当时, , 即系数矩阵的秩小于未知数个数, 所以方程组有非零解. ( D )为答案.6. 设n阶矩阵A的伴随矩阵, 若是非齐次线性方程组的互不相等的解, 则对应的齐次线性方程组的基础解系( A ) 不存在 ( B ) 仅含一个非零解向量( C ) 含有二个线性无关解向量 ( D ) 含有三个线性无关解向量解. 因为 因为 , 所以 ; 又因为是非齐次线性方程组的互不相等的解, 所以 的解不唯一, 所以 , 所以 . 于是: 基础解系所含解向量个数( B )为答案.三. 计算证明题1. 求方程组 的通解, 并求满足方程组及条件 的全部解.解. 将条件方程与原方程组构成矩阵i. 条

24、件方程与原方程组兼容, 即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;ii. , 方程组有解. 齐次方程组的基础解系含解向量的个数为;iii. 齐次方程的基础解系: 令令基础解系为: iv. 非齐次方程的通解: 令所以全部解为: 2. 设有线性方程组, 问m, k为何值时, 方程组有惟一解? 有无穷多组解? 有无穷多组解时, 求出一般解.解. i. 当, 方程组有惟一解;ii. 当, 方程组无解;iii. 当, 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为齐次方程组: , 所以. 令 . 基础解系解向量为: . 非齐次方程组: , 所以. 令 . 非齐次方程特解为: .通解为: 3. 问l为何

25、值时, 线性方程组有解, 并求出解的一般形式.解. iii. 当, 方程组有无穷多解. 此时基础解系含解向量个数为齐次方程组: , 令 . 基础解系解向量为: . 非齐次方程组: , 令 . 非齐次方程特解为: .通解为: 4. 已知, , 及.i. a, b 为何值时, b不能表示成的线性组合.ii. a, b 为何值时, b有的惟一线性表示, 并写出该表示式.解. 假设 , 求解方程组, 求. i. 时, , 方程组无解, 即b不能表示成的线性组合; 时, , 方程组有无穷多解, 即b有无穷多种方法可表示成的线性组合.ii. 时, , 方程组有惟一解, 即b能表示成的线性组合, 且表示法惟

26、一. 此时得方程组, 解得: , 表示式为: .5. 知方程组与 同解, 试确定a, b, c.解. 在第二个方程组中求一组特解. 令. 将该组特解代入第一个方程组中得: . 6. 已知下列非齐次线性方程组( I )、( II )( I ) ( II ) i. 求解方程组( I ), 用其导出组的基础解系表示通解;ii. 当方程组( II )中的参数m, n, t为何值时, 方程组( I )与( II )同解.解. i. 由第一个方程组:, 齐次方程基础解系所含解向量个数为: .齐次方程组: . 令.基础解系为: .非齐次方程组: . 令.所以第一个方程组的通解为: ii. 将代入第二个方程组

27、:.7. 设A是mn矩阵, R是mn矩阵, x = , B是mm矩阵, 求证: 若B可逆且BA的行向量都是方程组的解, 则A的每个行向量也都是该方程组的解.解. 假设, , 其中为A的行向量.=因为BA的行向量都是方程组的解, 所以: .所以: , 即.因为B可逆, 所以. 即A的每个行向量为R x = 0的解.8. A是n阶矩阵, 且A 0. 证明:存在一个n阶非零矩阵B, 使AB = 0的充分必要条件是.解. 必要性:(反证法) 反设, 则存在. 所以当AB = 0时, 二边右乘得, 和存在一个n阶非零矩阵B, 使AB = 0矛盾. 所以;充分性:设 , 则方程组Ax = 0有非零解 .

28、构造矩阵 则B 0, 且AB = 0.9. 假设A是mn阶矩阵,若对任意n维向量x, 都有, 则A = 0.解. 假设 , 为A的列向量. 取, 只有第i个分量为1, 其余都为0. 则 , 所以 A = 0.10. 假设. 如果h是方程组的一个解, 试求的通解.解. 将代入, 得到. i. 于是 , 基础解系所含解向量个数为: . 齐次方程: , 令 , 解向量为: 令 , 解向量为: 所以通解为: i. 于是 , 基础解系所含解向量个数为: . 齐次方程: , 令 , 解向量为: 所以通解为: 11. 假设. 如果矩阵方程有解, 但解不惟一, 试确定参数a.解. 当 时, 对于B的任一列向量

29、, 都有 , 所以矩阵方程有解, 但解不惟一.第五章 特征值和特征向量一. 填空题1. 设A是n阶方阵, 为A的伴随矩阵, |A| = 5, 则方阵的特征值是_, 特征向量是_.解. 因为 , 所以对于任意n维向量. 所以|A| = 5是的特征值, 任意n维向量a 为对应的特征向量.2. 三阶方阵A的特征值为1, 1, 2, 则的特征值为_.解. 的特征值为: 3. 设且A的特征值为2和1(二重), 那么B的特征值为_.解. 具有相同的特征值., 所以B和A具有相同的特征值. B的特征值为: 2和1(二重).4. 已知矩阵相似, 则x = _, y = _.解. 因为A, B相似, 所以.相似

30、矩阵的迹相等: . 于是.5. 设A, B为n阶方阵, 且, 则AB与BA相似, 这是因为存在可逆矩阵P = _, 使得.解. 因为, 所以A可逆. 令, 则. 即AB与BA相似. 二. 单项选择题1. 零为矩阵A的特征值是A为不可逆的(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充要条件 (D) 非充分、非必要条件解. 假设为A的所有特征值, 则. 所以: 0为A的特征值A可逆(C)为答案.2. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特征向量, 则(A) 对任意, 都是A的特征向量.(B) 存在常数, 是A的特征向量.(C) 当时, 不可能是A的特征向量.(D) 存在惟一的一组常数,

31、使是A的特征向量.解. 为A的二个相异的特征值, 所以存在非零向量, 满足. 而且线性无关. 假设存在 l 满足: 所以 , 即 因为 线性无关, 所以 = 0, ; = 0, . 和矛盾. 所以(C)为答案.3. 设是n阶矩阵A的特征值, 且齐次线性方程组的基础解系为, 则A的属于的全部特征向量是(A) (B) (C) (为任意常数) (D) (为不全为零的任意常数)解. 因为齐次线性方程组的基础解系为, 所以方程组的全部解为(为任意常数). 但特征向量不能为零, 则A的属于的全部特征向量是: (为不全为零的任意常数), (D)为答案.4. 设是矩阵A的两个不同的特征值, 是A的分别属于的特

32、征向量, 则有是(A) 线性相关 (B) 线性无关 (C) 对应分量成比例 (D) 可能有零向量解. (B)是答案.5. 与n阶单位矩阵E相似的矩阵是(A) 数量矩阵 (B) 对角矩阵D (主对角元素不为1)(C) 单位矩阵E (D) 任意n阶矩阵A解. 令. 所以. 所以(C)是答案.6. 是n阶方阵, 且, 则(A) 的特征矩阵相同 (B) 的特征方程相同(C) 相似于同一个对角阵 (D) 存在正交矩阵T, 使得解. , 则存在可逆方阵P, 使得. 所以 所以的有相同的特征方程, (B)是答案.三. 计算证明题1. 设是矩阵的特征值, 求: i. t的值; ii. 对应于的所有特征向量.解

33、. 当 时, . 所以t为任意实数.i. 时 所以 . 方程组基础解系所含解向量个数为 相应的方程组为. 取. 所以解向量为, 对应于的全部特征向量为;ii. 时 所以 . 方程组基础解系所含解向量个数为 相应的方程组为. 取. 所以解向量为, 对应于的全部特征向量为.2. 求n阶矩阵的特征值与特征向量.解. , 所以方程组 的基础解系所含解向量个数为 .相应的方程组为 , 令, 得解向量于是对应于 的全部特征向量为 ().3. 假定n阶矩阵A的任意一行中, n个元素的和都是a, 试证是A的特征值, 且(1, 1, , 1)T是对应于的特征向量, 又问此时的每行元素之和为多少?解. 假设, 且所以 为A的特征值, 对应的特征向量为(1, 1, , 1)T.因为A可逆, 所以为的特征值, 对应的特征向量也是(1, 1, , 1)T.即 . 所以的每行和为.4. 设均是n阶方阵, 且, 证明有公共的特征向量.解. 考察方程组. . 所以方程组有非零解 a则解向量a为A, B的公共特征向量, 对应的特征值为.5. 设三阶矩阵A满足, 其中列向量, , 试求矩阵A.解. 矩阵所以 , 所以 =