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1、引言,静止（包括相对静止）是流体的一种特殊的存在形态，运动（或流动）才是流体更普遍的存在形态，也更能反映流体的本质特征。因此相对流体静力学而言，研究流体的运动规律及其特征具有更加深刻的意义。这也为流体动力学研究在外力作用下流体的运动规律，打下了理论的基础。,3l 流体运动的描述方法 把流体流动占据的空间称为流场。在流场中，每个质点均有确定的速度和压力，都是空间坐标和时间的连续函数。流场也可以理解为速度场和压力场的综合。表征流体运动的量，如速度、压力等统称为运动要素。一、拉格朗日法 拉格朗日法研究对象是单个流体质点，研究其运动要素（位置、速度）等的变化过程，显然是一种质点系法。拉格朗日法着眼于流
2、体各质点本身的运动情况，也就是要表示出每个流体质点自始自终的运动过程。把任一流体质点在初始时刻 t0 时的坐标（a，b，c）作为该质点的标志，则不同的（a，b，c）就表示流动空间的不同质点。这样，不同的（a，b，c）变数表示流场中的不同质点。,运动开始前，质点的起始坐标为（a，b，c），经过时间t，它运动到（x，y，z）。x、y、z表示任一流体质点经过时间t的位置，是（a，b，c）及t的函数，即,这种通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法，称为拉格朗日法。表达式中的自变量（a，b，c），称为拉格朗日变量。流体质点的速度为,流体质点的加速度,流体质点的压力p和密度也同样是（a，b，c）和的
3、函数,二、欧拉法 物理学中场定义为物理量在空间的分布，如速度场、压力场等。流体力学中，流场是指流体质点运动经过的全部空间。欧拉法以流场为研究对象，以空间点为着眼点，研究空间点上各质点的运动要素及其变化规律，来获得整个流场的运动特性。欧拉法不是跟踪个别质点，而是在同一时间研究流场中各质点的流速、压力的变化。质点的流速、压力和密度均是空间坐标（x，y，z）和时间 t 的函数，变量 x，y，z，t 统称为欧拉变量。即,加速度可用速度对时间的导数来表示，由全导数公式有,dx，dy，dz表示在无穷小一段时间内流体质点的位移分量，由位移分量对时间的导数得出速度分量表达式,则,式中，右边第一项表示流体质点在
4、某一点（x，y，z）的速度随时间的变化率，称为当地加速度（时变加速度）。后三项之和则表示流体质点在同一时间内，因坐标位置变化而形成的加速度，称为位变加速度（迁移加速度）。,同理可得：,用矢量表示,哈密尔顿算子(Hamiton),式中,对比拉格朗日法和欧拉法的不同变量，就可以看出两者的区别：前者以a、b、c为变量，是以一定质点为对象；后者以x、y、z为变量，是以固定空间点为对象。只要对流动的描述是以固定空间，固定断面，或固定点为对象，应采用欧拉法，而不是拉格朗日法。,32 流场的基本概念 恒定流与非恒定流 迹线和流线 一维、二维、三维流动 流管、流束及总流 过流断面、流量和平均流速 均匀流和非均
5、匀流,32 流场的基本概念 一、恒定流与非恒定流（定常流与非定常流）恒定流动是指流场中流动参数不随时间变化而改变的流动。它满足下列条件：,其速度和压强表示为：,若流场的流动参数的全部或其中之一与时间变化有关，即随时间变化而改变，则这类流场的流动称为非恒定流，其速度和压强的描述为,实际中，恒定流只是相对的，绝对的恒定流是不存在的。本课程主要研究恒定流动问题。,二、迹线和流线 1、迹线 迹线是流体质点在一段时间过程中运动的轨迹线。迹线的特点是：对于每一个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一族曲线。如图所示AB曲线是质点M的迹线，在这一迹线上取微元长度ds表示该质点M在dt时间内的微小位移，则其速度为
6、,速度的分量为,(3-1),上式为迹线的微分方程，表示质点M的轨迹。,dx、dy、dz为ds在各坐标轴上的投影，由上式得,2、流线流线是在同一时刻流场中连续不同位置质点的流动方向线。流线的特点：流线上各质点的流速都与流线相切。流线不能相交，即某瞬时通过流场中固定点只能有一条流线。恒定流时，流线与迹线重合。流线是光滑曲线不能转折。,边界急剧变化处，液体质点受惯性作用会脱离固体边界，主流与边界之间产生旋涡区。而且随着边界的变化，流线有疏有密。流线密，表示流速大，流线疏，表示流速小。,流线微分方程 在流线上过任意点取微元有向线段，过该点的速度与该点切线重合，即。,则有,设 得,流线的微分方程表达式为
7、,迹线与流线的比较：流线由无穷多个质点组成的，它是表示这无穷多个流体质点在某一固定瞬间运动的曲线。迹线则表示在一段时间过程中同一流体质点运动的曲线。流线与迹线方程是不相同的，迹线方程式以时间t为自变量，由此决定其运动轨迹。流线方程式中，时间t是给定量，随时间t不同，流线方程式也不相同。在恒定流中，流线与迹线相重合。即流线和迹线是一致的，没有区别。,积分得,例：流体运动的速度函数为uxxt，uyyt，uz0求t0时过M(1，1)点的流线和迹线。解：流线的微分方程为,当t0时，x1，y1代入上式得：C1。当t0时，过M(1，1)点的流线是,即,(等边双曲线方程),则,那么,将(3)、(4)式代入(
8、1)式得,迹线的微分方程,(1)、(2)式为非齐次常系数的线性常微分方程。由(1)式得,(3),(4),(2),(1),(分部积分公式：),同理,得,用分部积分得,(5),将(5)式代入(3)式得,当t0时，x1，y1代入上式得AB0。当t0时，过M(1，1)质点的迹线为,消去t后得,(直线方程),由此可见，当流动与时间t有关时，流线和迹线是不相重合的。,三、一维、二维、三维流动 流体的运动要素是空间坐标和时间的函数。按照流体运动要素与空间坐标有关的个数（维数），可以把流体分为一维流、二维流、三维流。一维（一元）流动，若流场中的运动参数仅与一个空间自变量有关，这种流动称为一维流动。即,二维（二
9、元）流动，若流动参数与两个空间自变量有关，则称之为二维流动。在直角坐标系中，二维空间是个平面，因而二维流动又称平面流动。三维（三元）流动，运动参数与三个空间自变量有关，则称为三维流动（空间流动）。,四、流管、流束及总流 1、流管 在流场中取任意封闭曲线，通过这个闭合曲线上各点作流线，这些流线所围成的管，称为流管。2、流束 充满在流管内部的全部流体，称为流束。断面无穷小的流束，称为微小流束或元流。3、总流 在流动周界内全部微小流束（元流）的总和称为总流。,2、流量 单位时间内流经过流断面的流体量，称为流量。通常用体积流量Q，质量流量M和重力流量G表示，其相应的单位是m3/s，kg/s和N/s。,
10、1、过流断面（过水断面）垂直于所有流线的流体横断面称为过流断面。如果流线互相平行，这时过流断面为平面，否则过流断面为曲面。,五、过流断面、流量和平均流速,设微小流束过流断面积为dA，经过时间dt，微小流束以流速u相对于断面11的位移为udt，则该时段内通过微小流束断面11的流体体积。,将等式两边同除dt，可得微小流束的体积流量,总流的体积流量 Q 则应是微小流束流量 dQ 对总流过流断面面积A的积分，即,3、平均流速 平均流速是一种设想的速度，即假设总流同一过流断面上各点的速度都相等，大小均等于断面平均流速 v。那么，以断面平均流速通过的流量等于该过流断面上各点实际流速所通过的流量，即,则,把
11、 v 定义为断面平均流速。总流的流量等于断面平均流速 v 与过流断面面积 A 的乘积。即 Q v A,六、均匀流和非均匀流 均匀流流线是平行直线的流动，即则 也就是说均匀流中位变加速度（迁移加速度）为零。均匀流中各过流断面上的流速分布图沿程不变，过流断面是平面，沿程各过流断面的形状和大小都保持一样。例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流都是均匀流。,非均匀流流线不是平行直线的流动，即非均匀流中流场中相应点的流速大小或方向或同时二者沿程改变，即沿流程方向速度分布不均。,渐变流（缓变流）：流速沿流程变化缓慢，流线 间的夹角很小，近似为相互平行的直线。急变流：流速沿程变化急剧
12、，流线间的夹角很大,非均匀流,3-3流体微团的运动 微团运动的分解 微团运动的组成分析 无旋流动和有旋流动,流体质点是可以忽略线性尺度效应的最小单元。流体微团则是由大量流体质点所组成的具有线性尺度效应的微小流体团。,一、微团运动的分解 从理论力学知道，刚体的运动可以分解为平移和绕某瞬时轴的转动之和。流体微团基本运动形式除了平移和转动之外，还有变形运动。刚体运动平移转动 流体微团运动平移转动变形 怎样把平移、转动和变形这三种基本运动显示出来？自19世纪40年代，英国数学家斯托克斯（Stokes,1845），德国力学家亥姆霍兹（Helmhotz,H.1858）先后提出速度分解定理，从理论上解决了这
13、个问题。,在流场中取一微团，设其上一点P的流体的速度分量为ux(x,y,z)、uy(x,y,z)、uz(x,y,z)，在同一瞬间，微团上另一点Q的速度分量为,、,、,三元函数的泰勒级数为,一元函数的泰勒级数为,Q点速度按泰勒级数展开，并略去二阶向量以上的各项，在此,则,（1）,由上式可见，Q点的速度可以用P点的速度及九个速度分量的偏导数来表示。,用上列类似的配项方法，其余二式得：,上式的第一式右方加减,及,并重新加以组合得：,，,为了简化起见，引用下列符号：,代入前式，则,(2),上式即为流体微团的速度分解公式，亦称亥姆霍兹(Helmhotz)速度分解定理。,二、微团运动的组成分析从形式上看，
14、速度分解定理把比较简单的式（1）变为结果反而更复杂的式（2），但这不是没有原因的。为了便于讨论，仅以二维流动为例来分析矩形微团ABCD的运动，设微团的边长为dx及dy，A点的速度（ux，uy），按二元泰勒级数,展开（忽略二阶以上微量）得微团ABCD各点的速度分量：A点坐标(0,0)速度（ux，uy）,x方向f(x0,y0)ux速度,y方向f(x0,y0)uy速度,C点坐标（dx,0）即hdx，k0 x方向f(x0,y0)ux 速度,y方向f(x0,y0)uy 速度,B点坐标（0，dy）即h0，kdy,D点坐标（dx,dy）即hdx，kdy x方向f(x0,y0)ux 速度,y方向f(x0,y0
15、)uy 速度,设流体微团从初始位置ABCD，经过dt时间后，矩形平面ABCD将变成A1BDC的形状和位置。,各点各方向速度分量,整个变化过程可以看作是由以下几种基本运动形成所组成。,1、平移运动A点的速度分量ux，uy是矩形微团其它各点相应速度分量的组成部分。若不考虑B、C、D各点的速度与A点相差部分，则经过dt时间后，微团平移到新的位置A1B1D1C1，其形状及大小没有改变。由此可知ux、uy是微团在x、y方向的平移速度。同理，对于空间流场，ux、uy、uz为平移速度。,在x方向上C点速度分量要比A点大(ux/x)dx；D点比B点大(ux/x)dx。故边长AC和BD在x方向要拉长（或缩短）(
16、ux/x)dxdt（拉长为正，缩短为负），即A1C1拉长到A1C2，B1D1拉长到B1D2。同理，边长AB和CD在y方向拉长（缩短）均为(uy/y)dydt。,2、变形运动（1）线变形线变形是直线线段单位长度单位时间的线变形。由于矩形微团ABCD各角点在x方向的速度分量的不相同。,线变形(线变形速率)为,(3),同理,这里称xx为微团在x方向的线变形或线变率，yy为y方向的线变形，zz为z方向的线变形。由于线变形使微团ABCD变成A1B2D2C2。,（2）角变形如图，因C点在y方向的速度分量比A点在y方向的速度分量有增量(uy/x)dx，使AC边，即A1C2边逆时针偏转d角。同理B点在x方向比
17、A点在x方向有速度增量(ux/y)dy，使AB边，即A1B2边顺时针偏转d角。考虑到d和d是很小的角，所以：,分母中第二项与第一项比是高阶微量，可略去不计，于是：,因此，A1C2边和A1B2边的旋转角速度分别为,通常把微团的旋转角速度之和的一半称为角变形(角变形速率)。角变形,同理,xy表示微团在xoy平面上的角变形，或称为绕z轴的剪切角速度。,绕x轴的剪切角速度,绕y轴的剪切角速度,上式说明角变形是流体微团中某一直角减少速度的一半。,3、旋转运动在一般情况下，dd，流体微团在xoy平面上除了产生剪切变形外，还有绕z轴的旋转。对角线A1D1经过dt时间转到A1D，旋转的角度为d。BA1C的等分
18、角线A1D。,由此可见，z代表流体微团绕z轴的旋转角速度。,绕x轴的旋转角速度,绕y轴的旋转角速度,结论：流场中任何微团的运动一般都可以认为由平移、变形及转动所组成。,同理,此运动称为无旋流动或有势流动。,三、无旋流动和有旋流动流体运动根据流体微团有无旋转角速度而划分为有旋（有涡）流动和无旋（无涡）运动两种。1、无旋（无涡）流动在流动空间中，流体微团仅有平移和变形运动，而没有旋转运动，即在流动空间中有,2、有旋（有涡）流动在流场中，流体微团存在旋转运动，即x、y、z三者中，至少有一个不为零，则称为有旋流动。一般来讲，无旋流存在于无粘性的理想流体中，有旋流存在于有粘性的实际流体中。但实际流体运动
19、在某些情况下也可以是无旋流，如实际流体的层状渗流便是。流动究竟是有旋还是无旋，要根据流体微团本身是否绕自身轴旋转来决定，而不是根据流体微团的轨迹形状来决定。,判断流体是否有旋与判断刚体运动是否转动是完全不同的。刚体只要质点作圆周运动，那么处处有旋；如果作直线运动，那么就处处无旋。而且对于刚体，圆心一点有旋，则点点有旋。而流体则不同，圆心一点有旋，其它点不一定有旋，一点不能代表全体，必须逐点检验。,如图所示的运动中微团运动轨迹是一条直线，但微团本身却发生了转动，这种运动是有旋流动。,如图所示的流动中，微团的轨迹是一个圆，但微团本身并没有旋转，因此这种流动是无旋流动。,例：判别下列流动是有旋流动还
20、是无旋流动。（1）已知速度场uxay，uyuz0，其中a为常数，流线是平行于x轴的直线。（2）已知速度场ur0，ub/r，其中b是常数，流线是以原点为中心的同心圆。,是无旋流动。,解：（1）本题为平面流动，只需判别z是否为零。,是有旋流动。（2）取直线坐标，任意点P(x,y)的速度分量,则称为涡量。与速度场u对应，也构成一个场，称之为涡量场。上式中为哈密尔顿（Hamilton）算子，其定义为,3、涡量定义设有速度场u，令,在直角坐标系中，根据定义式可写出涡量分量式为,或,则此流场为无旋流动。,涡量是表明流体旋转运动的一个物理量。若流体流动中0，即x、y、z三个分量中只要有一个不为零，则称该流场
21、中流体流动为有旋流动，又称为旋涡运动。若流场中处处有0，则该流场中流体流动称为无旋流动。即流场满足下列方程,34 连续性方程 三维流动的连续性方程 微小流束的连续性方程 总流连续性方程,一、三维流动的连续性方程(continuity equation)在流场中任取一点C（x，y，z）为中心的微小六面体，其边长为dx，dy，dz。六面体中心点C的流速为u，u=ux，uy，uz，流体密度为。由于流体的连续性，在dt时间内：六面体的质量差值流入量 流出量 在 x 方向质量差值 用泰勒级数展开得：12面 速度,密度,密度,34面 速度,密度,流出34面的质量为,在 dt 时间内，流入12面的质量为,六
22、面体 x 方向流体质量的差值为,同理，y方向,z方向,在 dt 时间内，流体流入六面体与流出六面体质量之差总值为,流体密度随时间的变化也影响六面体中的质量。设在t时刻流体密度为，在 t+d t时刻密度为，在 dt 时间内由于密度变化而使六面体中增加的流体质量为,根据质量守恒定律，dt 时间内流入与流出六面体的流体质量之差必等于六面体在该时间内流体质量的增量，即,则得：,上式为可压缩流体非恒定流的连续性方程。,可压缩流体恒定流（）的连续性方程为,不可压缩流体（=常数）恒定流或非恒定流的连续性方程为,例1：已知空气流动速度场为 ux=6(x+y2),uy=2y+z3,uz=x+y+4z试分析这种流
23、动状况是否连续？解：根据连续性方程,所以,说明空气的流动是不连续的。,例2：下面的平面流场，流动是否连续？ux=x3siny,uy=3x2cosy解：因为,所以,这个流动是连续的。,二、微小流束的连续性方程在总流中，任取一流段1，2的微小流束，其过流断面面积分别为 dA1 和 dA2，相应的流速为 u1 和 u2，密度分别为1和2。经过dt时间，从11断面流入的流体质量为,从22断面流出的流体质量为,流入和流出微小流束的质量差值为,设在t时刻微小流束内的流体密度为，t+dt时刻，密度为，在 dt 时间由于密度变化而使微小流束增加的流体质量为,根据质量守恒定律，dt 时间内流入与流出微小流束的流
24、体质量之差必等于微小流束在该时间内流体质量的增量。即,得,式中dV微小流束的体积。上式为可压缩非恒定流微小流束流体的连续性方程。,（1）,对恒定流，由式（1）得：,即流入微小流束的质量等于流出微小流束的质量。,对不可压缩，1 2,从式（2）得,故,对不可压缩流体流入微小流束的流量等于流出的流量。,（2）,三、总流连续性方程 1、可压缩非恒定流,2、可压缩恒定流,即,（质量流量）,式中 总流断面1，2上流体的平均密度；v1，v2总流断面1，2上流体的平均流速。,3、不可压缩（恒定和非恒定流）,得：,即 Q1=Q2=Q,上式表明，总流各过流断面上所通过的流量相等，而且断面平均流速与面积成反比。,4
25、、有合入和分出的连续性方程 有分流时，其连续性方程为 Q1=Q2+Q3 有合流时，其连续性方程为 Q1+Q2=Q3,例：断面为（5050）cm2的送风管，通过a，b，c，d四个（4040）cm2的送风口向室内输送空气。送风口气流平均速度均为5m/s，求通过送风管11，22，33各断面的流速和流量。解：每一送风口流量Q=0.40.45=0.8 m3/s 由连续性方程有：Q1=3Q=30.8=2.4 m3/s Q2=2Q=20.8=1.6 m3/s Q3=Q=0.8 m3/s,断面流速,本章教学要求 1、了解描述流体运动的拉格朗日法和欧拉法的内容和特点。2、掌握流体运动的基本概念，包括流线和迹线，微小流束和总流，过流断面、流量和断面平均流速，一维、二维和三维流动等 3、掌握流体运动的分类和特征，即恒定流和非恒定流，均匀流和非均匀流，渐变流和急变流。4、掌握流体微团运动的形式、亥姆霍兹速度分解定理中各项的物理意义、有无旋流动的概念和判别；涡量的定义和涡量方程。5、掌握应用三维流动、微小流束和恒定总流连续性方程。,
