关于行列式理论及应用.doc

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1、关于行列式理论及应用 商伟（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）摘要: 行列式是线性代数理论中极其重要的组成部分，它是线性代数的基础和核心。虽然行列式的产生和应用是在解线性方程组中，但是现在它作为一种重要的数学工具，不仅在解线性方程组、矩阵这些数学问题中有重要地位，而且在其他学科分支都有广泛的应用，可以说它是数学、物理学以及工科许多课程的重要学习工具。行列式也为解决实际问题带来了许多方便，如配料问题等。本文针对行列式这一数学工具，进行系统讨论，从不同的角度理解了行列式的定义，重点证明了行列式性质，介绍一些展开定理，总结了行列式的几种计算方法，如化三角形法，降阶法，换元法，递推法，辅

2、助函数法，公式法，数学归纳法等，并结合例题说明行列式计算的技巧性和灵活性，最后举例说明了行列式在部分数学问题和实际问题中的应用。关键词: 行列式，性质，证明，计算，应用。Determinant Theory and Application Shang Wei (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract: The determinant is the extremely important constituent in the linear algebra theory, i

3、t is the foundation and the core of the linear algebra. Although the production and the application of the determinant are in the solution system of linear equations, but now as one of the important mathematical instrument, not only in the solution system of linear equations, in the matrix these mat

4、hematics questions has the important status, moreover all has the widespread application in other discipline branches, we can say that it is an important study tool which in mathematics, the physics as well as the engineering course many curricula. The determinant also brought about convenient for t

5、he solution actual problem such as ingredient question . This article in view of the determinant this mathematical instrument, carries on the system discussion, had understood from the different angle to the determinant definition, had proven the nature of the determinant on emphasis,introduced some

6、 expansion theorem, summarized several computational methods of the determinant,such as the triangle law, the depression of order, the substitution of variables, the recursion law, the auxiliary function method, the formula law, the mathematical induction and so on, and union sample question showing

7、 determinant computation skill and the flexibility, finally have explained the application with examples of the determinant in the partial mathematics question and the actual problem.Key words: Determinant, Nature, Proof, Computation, Application.引言行列式是线性代数中重要的一部分，虽然相对整个线性代数领域来说，它只是一小部分，但是它的作用不可忽视，有

8、着重要的地位。因为在一些数学问题中，往往会涉及到行列式问题，而行列式的计算是解决问题的关键。行列式的计算方法较多，技巧性较强，要熟练掌握这些方法与技巧，首先必须熟练掌握行列式的定义、性质及展开定理。一、行列式的定义一般地，阶行列式的定义1为 称上式右端为阶行列式的展开式，其中，表示对这个数组成的所有排列取和，可称为通项。由于排列可经过若干次对换变成标准排列，所以适当交换通项中两因子，对应的行指标的排列、列指标的排列，都变换一次，所以它们的逆序之和的奇偶性不变，则有通项3 而为行列式展开式中项的符号。又有 根据上述理论可知，行列式还有下列表达式1.设是取定的某个级排列，则 2上面式中，取为标准排

9、列时，则为取为标准排列时有 由行列式的定义可知，行列式有两个特点：（1） 阶行列式是项代数和，其中每一项是取自不同行，不同列的个元素的乘积；（2） 代数和中每一项带有什么样的运算符号，是由这一项的列指标组成排列的奇偶性确定的，列指标的排列是奇数时，取负号；否则取正号（行指标取成标准排列）6。行列式的另一种定义和矩阵是密切相关的，也就是说，可以利用矩阵理解行列式。对于一个阶方阵用记号表示一个与矩阵相联系的一个数，称这种表达式为矩阵的行列式，记作，把这个数称为行列式的值。综上所述，可以简单通俗的理解行列式：行列式是的行列排列，它的值是一个数或者是一个多项式。当全都是数时，行列式就是一个数；当中含有

10、变量时，行列式就是该变量的一个多项式。所以两个行列式的加法,如理解为两个数值相加关系，与行列式的行、列是否一致无关，而矩阵的运算则不可以不考虑行数和列数。故计算行列式就是把这个数或多项式求出来，至于如何通过行列式中的每个元素计算出行列式的值或解出多项式的具体形式，本文将在性质后进行讨论。二、行列式的性质及其证明行列式的性质十分重要，因为行列式从定义出发可解的毕竟只有少数的行列式，而对一般的阶行列式，计算量则大得惊人，如果利用行列式的性质就可以化简行列式的计算。因此，它有十分重要的理论意义和实用意义。 首先，引入转置行列式的概念2： 即是由的行列式位置互换后得到的，称为的转置行列式，所以有性质1

11、2 行列式转置后，其值不变，即。证 将记为即，将按行列式的表达式式展开有性质1说明了，在行列式中，行与列的地位相等，对行成立的性质，对列也成立。性质2 将行列式中任意两行（列）互换后，行列式的值仅改变符号。证 按行列式的第式展开行列式 得证。推论1 行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则这个行列式的值为零。证 设行列式的第行与第行相同，如果把的第行与第行互换，所得仍为，而又由性质2可知，则有。性质3 行列式某行（列）的公因子可以提到行列式外边来。或者说，用数乘以行列式某行（列）的所有元素，等于乘以行列式。例如 若的第行每个元素有公因子，则证 设的第行有公因子，则左端=右端推论2 如果行列式有

12、一行（列）的元素为零，则行列式的值为零。证 这是性质3中的一种特例，得证。 推论3 如果行列式的某一行（列）的元素对应成比例，则行列式的值为零。证 设第行与第行成比例，设,有=在行列式理论中有几个常用名词：在n阶行列式中，划去元素所在的第行，第列，由余下的元素按原来的次序所排列成的阶行列式称为元素的余子式，记为。把称为元素的代数余子式，把称为行列式的代数余子式之和，可以通俗的理解，代数余子式就是带了符号的余子式，当为数时，都是一个数。定理1 阶行列式的值等于它的第一行每个元素与其相应的代数余子式乘积的和，即：为阶行列式按第一行展开的展开式。性质42 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，

13、则可以把这个行列式化为两个行列式的和，这两个行列式的这一行（列）的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第一项、第二项，而其他位置的元素不变。简称分行（列）相加。即 证 由性质4，显然可以推广到某一行为多组数的和的情形，则有推论4。推论4 性质5 行列式的某一行（列）元素加上另一行（列）对应元素的倍，行列式不变，即时，证 原式左端=根据性质3，上式中的第二个行列式为零，即左端=右端，得证。性质6 阶行列式中，某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即 证 两边行列式按第行展开 同理可证 如果把余子式和代数余子式的定义扩展一下：在一个阶行列式中任意选定行列，位于这些

14、行和列交点上的个元素，按照原来的次序组成的级行列式称为行列式的一个级子式；在中划去这行列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式，称为级子式的余子式；设的级子式在中所在的行列指标分别是，则的余子式前面加上符号后称作的代数余子式。例如 从中取出第二、三行，第一、三列交叉处元素组成一个二阶子式，记为，的余子式记为，具体为： 的代数余子式为由级子式及其代数余子式的定义，有下面引理：行列式的任一个子式与它的代数余子式的乘积中的每一项都是行列式的展开式中的一项，而且符号也一致。定理2 （拉普拉斯定理7）设在行列式中任意取定了个行，由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式，这一定

15、理是计算行列式的一种方法。性质7 设，给行列式中每个元素加上一个，记为，则,其中是中的。证 对加边，有 性质8 设，则的代数余子式之和等于证由性质7得，取， 则 性质9 若行列式的所有元素都加上同一个数，则其代数余子式之和不变。证 ，把中每个元素同加，=性质10 若行列式某一行元素都等于1，则行列式等于其所有代数余子式之和。证 设，则，由，得三、行列式的计算行列式计算问题是行列式理论的重要部分，而行列式的计算方法灵活，技巧性高，计算复杂，但是计算行列式有基本的原则：（1） 利用行列式的性质将行列式化成比较简单的、方便计算的行列式；（2） 利用行列式理论中的展开定理等，将高阶行列式化成低阶行列式

16、来计算。总之就是把比较繁杂的行列式转化为比较简单的行列式来计算，从而可以比较容易地得到行列式的值。在长期的学习和运用行列式的过程中，归纳总结了计算行列式的方法，并分别举例分析说明计算行列式的思想策略。如下1定义法 运用行列式定义及表达式，结合所求行列式的特点，分析求解的方法，称为定义法。例1 在一个阶行列式中，等于零的元素如果多于个，那么这个阶行列式必为零。证 因为所以由阶行列式的定义知行列式的值为项代数和，而其中每一项都是个元素的乘积，这个元素又需要取自不同行不同列，又因为阶行列式中一共有个元素，如果等于零的元素比还多，那么其中不等于零的元素一定比还少，也就是说中最多有个元素不为零，所以的项

17、中每一项的各元素中必有零元素出现，即项的每一项都为零，故。例2 用行列式定义证明 证 展开式中的一般乘积项，其中分别取自第行，它们又不能取自相同的列，所以这个数中最多有个分别取自第列，而至少有个数为零，所以原式。可见，定义法虽然在计算中应用较少，但并不是没有用处，有些行列式运用定义法才能快捷的得出答案。2化三角形法 利用行列式的性质，将行列式化成上（下）三角形行列式，然后再计算行列式的值的方法称为化三角形法。例3 计算阶行列式 解 显然第一个等号由提取每列公因子得到的，第二个等号，由后边各列的（-1）倍加到第一列得到的，所以，一般地对于箭形行列式 如果，则将第列的倍加至第一列就将行列式化成了上

18、三角行列式，如果有某则利用降阶法可将行列式化成对角行列式。3降阶法 利用行列式的性质将行列式的阶数降低，然后再计算行列式的值的方法，称为降阶法。例4 计算阶行列式，解（一）（降阶法）将按第一行展开，得右端两个阶行列式再按第行展开得对用相似的方法推导下去，则解（二）（化三角形法）将的第列加到第行，第列加到第列，依次类推，将第列加到第列，再从前列中都提出，得第行减第行，第行减第行，直到第行减第行，得 可见，一个行列式可以有多种解法，并不是只有一种方法适用，上题的降阶法，也可以说是递推法，它们是相辅相承的，无明显界线。4递推法 利用行列式的性质，把某一行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的关系式称

19、为递推关系式，根据所得递推关系式及低阶某初始行列式的值，便可递推求得所需的结果。有时要用数学归纳法证明其正确性，这种计算行列式值的方法称为递推法。例5 计算阶行列式解 把第行都加到第行，得按第一行展开，得到递推关系式，可推出=5换元法 将行列式的元素进行变换，然后再计算行列式的值的方法称为换元法。例6 计算行列式 解（一）（换元法）将中所有元素减去,得由性质7得，所以 。解（二）（化三角形法）从第行开始，各行减去第行，得依次从第列，第列，直到第列中提出，得，将所有各列加于第列，将写成，得 6数学归纳法 利用数学归纳法的步骤，处理行列式的方法，称为数学归纳法。一般用于证明行列式的正确性。例7 证

20、明行列式证 当时，结论成立。假设对于时，结论成立，当时，从第行开始，逐行减去上面相邻行的倍得按第一行展开得提取各列公因子得到的阶行列式，由数学归纳的假设知其值为于是称上述行列式为范德蒙行列式。在计算行列式中，如果有行列式可以化成范德蒙行列式则可以直接利用范德蒙行列式的计算结果，会使计算简便。7公式法 把一些典型行列式已有的性质和定义的结果称为公式。在计算行列式时，直接利用公式，或适当变形后，再利用公式，计算行列式的值的方法，称为公式法。例8 计算阶行列式（其中） 解 如果，则为一个阶范德蒙行列式。一般情况下，并不是范德蒙行列式，为了把化成范德蒙行列式，从中的第列提取因子得利用范德蒙行列式的结果

21、即得 例9 计算5阶行列式 解 （利用拉普拉斯展开定理）的前行有较多的元素为零，所以把按前两行展开，前两行共有个二阶子式，但其中不为的只有个，即，且第三个子式的余子式为。所以，拉普拉斯定理得8辅助函数法 将行列式与某一函数联系起来，然后借助这个函数求出行列式的值的方法叫做辅助函数法。例10 计算行列式4 解 将添加一行一列，加边后，得阶范德蒙行列式，令从上式的左端看，多项式的的系数为，但从上式右端看，的系数为 二者应该相等。故例11 计算行列式解 将看成是关于的函数，即令，由行列式定义知，为关于的次多项式且的系数为，由行列式元素特点知，当时，因此含有因式，又将的第列均加到第一列后，提出因子，得

22、所以也是的因式，得除上述方法外，一些典型的行列式在计算应用中有一些技巧性的解决方法（如加边法，范德蒙行列式法），虽然没有统一的规范的定式，但其思路，技巧值得掌握。例12 计算阶行列式 解 （加边法，升降法）在的第一行前加一行，又在所得的行列式前加一列，且使所得的阶行列式是值与原来行列式的值相等， 可见，行列式的计算方法千变万化，有些行列式解法十分灵活，可以用多种方法分别解决，有些比较复杂的行列式要用多种方法综合运用才能解决，这些无规律又似有规律的方法，只有在长期的研究运用中才能容易上手，比较容易缕清思路。四、行列式的应用（一）利用行列式解线性方程组克莱姆法则1 设含有个未知量和个方程组若系数行

23、列式则方程组有唯一解 其中，例1 解线性方程组解 系数行列式 所以方程组的解为（二）利用行列式证明恒等式例2 已知 ， 证明 证 由已知得 所以 （三）应用行列式解分式方程例3 解方程解 方程为 (四) 应用行列式分解因式例4 分解因式解 （五）求通过定点的曲线曲面方程例5 求通过平面上两点的直线方程。解 设所求的直线方程为 ，且不全为，由于点在直线上，所以它满足所给直线方程，有 这是一个以，为未知量的齐次线性方程组，且，不全为零，该齐次线性方程组一定有非零解，所以有这就是通过两点的直线方程。通过平面上三点的圆的方程为例6 通过三点的圆的方程为按第一行展开有即为所求通过的圆的方程。（六）配料问

24、题例7 有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮克，磷克，钾克；乙种化肥每千克含氮克，磷克，钾克；丙种化肥每千克含氮克，磷克，钾克，若把这三种化肥混合，要求总重量千克，且含磷克，钾克，问这三种化肥各需多少千克5？解 设甲、乙、丙三种化肥各需千克，依题意有 有即甲、乙、丙三种化肥依次需要千克，千克，千克。 结论本文从不同的角度理解了行列式的定义，重点证明了行列式性质，介绍一些展开定理，归纳了定义法，化三角形法，降阶法，换元法，递推法，辅助函数法，公式法，数学归纳法等多种行列式的计算方法，举例说明了行列式在部分数学问题和实际问题中的应用。行列式的计算方法很多，技巧性很强，需要经过长期的学习，才能运用的得心应手。参考文献： 1 北京大学数学系几何与代数教研社代数小组编：高等代数，北京，高等教育出版社， 1998。 2 汪雷、宋向东编：线性代数及其应用，北京，高等教育出版社，2001。 3 陈维新编：线性代数，北京，科学出版社，2002。 4 曹勇林、徐绥、游宏编：线性代数释疑解难，天津，天津大学出版社，2002。 5 王新民、范培华编：经济数学基础（二）线性代数，北京，世界图书出版公司北京公司，1998。 6 魏战线编：线性代数辅导与典型题解析，西安，西安交通大学出版社，2001。 7 杨永根、王艮远编：线性代数方法与应用，科学出版社，2001。