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1、平面向量与解三角形第八单元 平面向量与解三角形 (120分钟 150分) 第卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.锐角ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若2csin B=b,则角C的大小为 A. B. C. D.解析:由正弦定理得2sin B=答案:A ,sin C=,C=. 2.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是 A.uv B.vw C.w=u-3v D.对任一向量,存在实数a,b,使=au+bv ,存在实数a,b,使=au+bv. 解析:因为uv=0
2、,所以uv,显然wv,因为u与v不共线,所以对任意向量答案:C 3.在ABC中,B=,三边长a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是 A. B. C. D.2222解析:因为2b=a+c,由余弦定理得b=a+c-2accos B=(a+c)-3ac,化简得b=答案:D . 4.在ABC中,AB=4,ABC=30,D是边BC上的一点,且A.4 解析:由=,则等于 B.0 C.4 D.8 =,得(-)=0,即,所以|=2,BAD=60,所以=42=4. 答案:C 5.在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为 A.B.C. D.- 高考学习
3、网中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识！ 解析:cos C=答案:C =,当且仅当a=b时等号成立. 6.设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若a与b满足的关系式为 A.5a-4b=3 解析:由与4a+3=8+3b,4a-3b=5. 答案:B 与在方向上的投影相同,则B.4a-3b=5 在C.4a+5b=14 D.5a+4b=14 =(a,1)(4,3)=(2,b)(4,3), 即 方向上的投影相同,可得7.在ABC内,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若bsin B+asin A=csin C,c2+b2-a2=A. B.22bc,则B等于 C
4、. D. 2解析:因为c+b-a=bc,所以cos A=222=,所以cos A=,A=, 因为bsin B+asin A=csin C,所以b+a=c,所以C=,B=. 答案:A 8. 已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x1,y0,若ab,则log2(x-1)+log2y等于 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:ab,则答案:C =,(x-1)y=8,log2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log28=3. 9.在ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin Acos B,则ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形
5、D.直角三角形 解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a+b-c=ab,cos C=以c=2a答案:B ,得a=b,所以ABC是等边三角形. 222=,所以C=,因为sin C=2sin Acos B,所10.如图,在矩形ABCD中,AB=值是 高考学习网中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识！ ,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若=,则的A.C. B. D.解析:如图所示建立直角坐标系,因为AB=设F(x,2),则=(-=(x,2),)+2=. =(,0),所以,BC=2,点E为BC的中点,所以B(=x=,所以x=,=(,0),D(0,2),C(,1),=(-
6、,2),E(,1),2),所以答案:D 11.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于 A. B. C.- D.- 解析:因为2S=(a+b)-c,所以absin C=a+b-c+2ab=2abcos C+2ab,所以sin C=2cos C+2,又因为sinC+cosC=1,所以sin C=,cos C=-,tan C=-. 答案:C 222222212.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量=a,=b,其中a=(3,1),b=(1,3),若=a+b,且01,C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是 解析:设点C的坐
7、标为(x,y),由题意知x=3+,y=+3,解得=y3x,yx,3y-x8. 答案:A ,=,代入01,解得第卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知向量|a|=1,|b|=2,a(a-b), 则向量a与b的夹角的大小是 . 高考学习网中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识！ 解析:因为a(a-b),所以aa-ab=0,cos=,=. 答案: 14.在ABC中,B=30,AB=2222,AC=2,则ABC的面积为 . 解析:AC=AB+BC-2ABBCcos B, 4=12+BC2-4BC2-6BC+8=0, BC, BC=2或BC=4.
8、 当BC=2时,S=ABBCsin B=2当BC=4时,S=ABBCsin B=2答案:或22=4=2, . 15.在ABC中,已知内角A,B,C依次成等差数列,AB=8,BC=5,则ABC外接圆的面积为 . 解析:记ABC的外接圆半径为R,依题意得2B=A+C,因此有B=, 所以AC=故ABC的外接圆的面积是R=答案:2=7,又2R=. =,即R=, 16.如图所示圆O的半径为2,A、B是圆上两点且AOB=,MN是一条直径,点C在圆内且满足=+(1-)(01),则=(+(1-)-)(的最小值为 . 解析:因为因为(01),所以C在线段AB上, -)=-(+)+=-4, 所以当OCAB时取得最
9、小值,(答案:-3 )min=1-4=-3. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.(本小题满分10分) 高考学习网中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识！ 已知向量a,b满足:|a|=4,|b|=3,且(2a+3b)(2a-b)=61. (1)求ab的值; (2)求向量a与b的夹角. 解析:(1)由(2a+3b)(2a-b)=61, 得4a+4ab-3b=61. 22又|a|=4,|b|=3,可得ab=6. 6分 (2)设向量a与b的夹角为, 则cos =, 可知向量a与b的夹角为60. 10分 18.(本小题满分12分) 已知向量
10、a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数,x=a+(t2+1)b,y=-a+b. (1)若xy,求k的最大值; (2)是否存在k,t,使xy?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由. 解析:x=(1,2)+(t+1)(-2,1)=(-2t-1,t+3),y=(-,-+). 222(1)若xy,则xy=0,即(-2t-1)(-)+(t+3)(-+)=0, 22整理得,k=,当且仅当t=,即t=1时取等号,kmax=. 226分 (2)假设存在正实数k,t,使xy,则(-2t-1)(-+)-(t+3)(-)=0, 化简得+=0,即t+t+k=0. 12分 3因为k,t是正实数,故满
11、足上式的k,t不存在,所以不存在k,t,使xy. 19.(本小题满分12分) 在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b-c=acos C. (1)求角A的大小; (2)若ABC的面积为2,且2abcos C-bc=a2+c2,求a. 解析:(1)根据正弦定理可知,b-c=acos C可化为sin B-sin C=sin Acos C, 因为sin B=sin(A+C),所以sin(A+C)-sin C=sin Acos C, 整理可得cos Asin C=sin C,即cos A=,因为0A,所以A=. 6分 高考学习网中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识！ (2)因为2a
12、bcos C-bc=a+c,所以2ab得b-2c-bc=0,b=2c,因为SABC=22222222-bc=a+c,即a+b-c-bc=a+c, 2222222=bcsin A=bc,得bc=8,所以解得 . 12分 b=4,c=2,所以a=b+c-2bccos A=16+4-242=12,所以a=220.(本小题满分12分) 在ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1+(1)求角A; (2)若m=(0,-1),n=(cos B,2cos2),试求|m+n|的最小值. 解析:(1)1+所以=2=. 1+=,即=, ,cos A=.因为0A,所以A=. 6分 -1)=(cos B,co
13、s C), 222(2)m+n=(cos B,2cos22所以|m+n|=cosB+cosC=cosB+cos(因为A=,所以B+C=,B(0,2-B)=1-sin(2B-). . . 12分 ).从而-2B-当sin(2B-)=1,即B=时,|m+n|取得最小值.所以,|m+n|min=21.(本小题满分12分) 在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足(1)求角B的大小; (2)若-=, 求ABC面积的最大值. a-c)cos B=bcos C,根据正弦定理得(sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, sin Acos B=sin A,cos B=222a-
14、c)=c. 解析:由题意(所以(2)因为sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),即-=,所以2,所以B=. 6分 |=2,即b=6,根据余弦定理b=6=a+c-ac2ac-ac,即ac3(2+2ac, acsin 有基本不等式可知6=a+c-B=),所以SABC的最大值为. 12分 ,即当a=c时,ABC的面积的最大值为高考学习网中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识！ 22.(本小题满分12分) 在某海域,以点E为中心的7海里以内海域是危险区域,点E正北55海里处有一个雷达观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相
15、距40经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+(其中cos =10海里的位置C. 海里的位置B,090),且与点A相距(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入危险水域,并说明理由. 解析:(1)由题知AB=4022,AC=102,BAC=,090,cos =)+(102, 10=500, 由余弦定理得BC=AB+AC-2ABACcos =(40)-2402所以BC=10,所以船的行驶速度为=15(海里/小时). 6分 (2)如图所示,设直线AE与BC的延长线相交于Q,在ABC中, , 由余弦定理得cos B=从而sin B=,在ABQ中,由正弦定理得=, 所以AQ=40AE=55,且QE=AE-AQ=15,过点E作EPBC于点P, =37, 在RtQPE中,PE=QEsinPQE=QEsinAQC=QEsin(45-B)=15所以船会进入危险区域. 12分 高考学习网中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识！ 高考学习网中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识！
