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1、平面向量经典习题提高篇平面向量： 1. 已知向量a(1,2)，b(2,0)，若向量ab与向量c(1，2)共线，则实数等于( ) A2 C1 答案 C 解析 ab(，2)(2,0)(2，2)， ab与c共线， 2(2)20，1. 2. (文)已知向量a(3，1)，b(0,1)，c(k，3)，若a2b与c垂直，则k( ) A1 C3 答案 C 解析 a2b(3，1)(0,2)(3，3)， a2b与c垂直，(a2b)c3k330， k3. (理)已知a(1,2)，b(3，1)，且ab与ab互相垂直，则实数的值为( ) 6A11 6C.11 答案 C 解析 ab(4,1)，ab(13，2)， 第 1
2、页 共 12 页 1B3 2D3 B3 D1 11B6 11D.6 ab与ab垂直， 6(ab)(ab)4(13)1(2)6110，11. 3. 设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则向量a、b间的夹角为( ) A150 B120 C60 D30 答案 B 解析 如图，在ABCD中， |a|b|c|，cab，ABD为正三角形， BAD60，a，b120，故选B. (理)向量a，b满足|a|1，|ab|32，a与b的夹角为60，则|b|( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案 A 解析 |ab|332，|a|2|b|22ab4， 第 2 页 共 12 页 |a|1，a，b
3、60， 31设|b|x，则1xx4，x0，x2. 2AB20，则ABC必定是( ) 4. 若ABBCA锐角三角形 C钝角三角形 答案 B AB2ABAB)AB0，ABAC， 解析 ABBC(BCACABAC，ABC为直角三角形 5. (文)若向量a(1,1)，b(1，1)，c(2,4)，则用a，b表示c为( ) Aa3b C3ab 答案 B 解析 设cab，则(2,4)(，)， 21，ca3b，故选B. 43B直角三角形 D等腰直角三角形 Ba3b D3ab (理)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的a，b，等于( ) 中点，AE的延长线与CD交于点F，若ACBD则AF11
4、A.4a2b 11C.2a4b 答案 B 3ED， 解析 E为OD的中点，BE21B.3a3b 12D.3a3b 第 3 页 共 12 页 |AB|EB|DFAB，|DF|DE|， 122|DF|3|AB|，|CF|3|AB|3|CD|， 22AFACCFAC3CDa3(ODOC) 21121a3(2b2a)3a3b. 的值6. 若ABC的三边长分别为AB7，BC5，CA6，则ABBC为( ) A19 C18 答案 D 72526219|AB|BC解析 据已知得cosB35，故ABBC27519|(cosB)753519. B14 D19 7. 若向量a(x1,2)，b(4，y)相互垂直，则9
5、x3y的最小值为( ) A12 C32 答案 D 解析 ab4(x1)2y0，2xy2，9x3y32xB23 D6 第 4 页 共 12 页 323y2xy16，等号在x2，y1时成立 8. 若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数xOBBC0，实数x为( ) x使得x2OAA1 15C. 2答案 A xOBOCOB0，x2OA(x1)OBOC解析 x2OA0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1xx21，x00，与条件矛盾，x1. 或1，当x0时，BC9. (文)已知P是边长为2的正ABC边BC上的动点，则AP(AB)( ) ACA最大值为8 C是定值6 答案 C 解
6、析 以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标AC(1，3)(1，系，则B(1,0)，C(1,0)，A(0，3)，AB3)(0，23)， (x，3)， 设P(x,0)，1x1，则APAC)(x，3)AP(AB(0，23)6，故选C. B最小值为2 D与P的位置有关 B0 15D.2 第 5 页 共 12 页 1，(理)在ABC中，D为BC边中点，若A120，ABAC|的最小值是( ) 则|AD1A.2 C.2 答案 D 1， 解析 A120，ABAC|AB|ACcos1201， |2， |AB|AC|2|AC|22|AB|4， |AB|AC1(ABAC)，|AD|21(|AB|2|ACD
7、为BC边的中点，AD24)1(|AB|2|AC|22)1(42)1， |22ABAC4422|AD|2. 10. 如图所示，点P是函数y2sin(x)(xR，0)的图象的最高3B.2 2D.2 第 6 页 共 12 页 0，点，M，N是该图象与x轴的交点，若PMPN则的值为( ) A.8 C4 答案 B 0，PMPN，又P为函数图象的最高点，解析 PMPNM、N是该图象与x轴的交点，PMPN，yP2，MN4，T28，4. 11. 如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、11，F两点，且交其对角线于K，其中AE3AB，AF2AD，AKAC则的值为( ) B.4 D8 1A
8、.5 1C.3 答案 A 第 7 页 共 12 页 1B.4 1D.2 解析 如图，取CD的三等分点M、N，BC的中点Q，则EF11DGBMNQ，易知AK5AC，5. 12. 已知向量a(2,3)，b(1,2)，若ma4b与a2b共线，则m的值为( ) 1A.2 C2 答案 C 解析 ma4b(2m4,3m8)，a2b(4，1)， 由条件知(2m4)(1)(3m8)40， m2，故选C. 2MA，则13. 在ABC中，C90，且CACB3，点M满足BM等于( ) CMCBA2 C4 答案 B B3 D6 B2 1D2 第 8 页 共 12 页 解析 CMCBAM) (CACB1(CA3AB)C
9、B 1CACB3ABCB 13|AB|CB|cos45 12332323. 14. 在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB3，BD1，则ABAD_. 15答案 2 |AC|BC|3，解析 由条件知，|ABABAC60，AB2CB60，CD3CB， 22ABADAB(ACCD)ABACAB33CB33cos601533cos602. 第 9 页 共 12 页 15. 已知向量a(3,4)，b(2,1)，则a在b方向上的投影等于_ 25答案 5 ab225解析 a在b方向上的投影为5. |b|5216. 已知向量a与b的夹角为3，且|a|1，|b|4，若(2ab)a，则实数_. 答案 1 2解析
10、 a，b3，|a|1，|b|4，ab|a|b|cosa，2b14cos32，(2ab)a，a(2ab)2|a|2ab220，1. |1，|OB|3，OA0，点C在AOB内，且17. 已知：|OAOBmOAnOB(m，nR)，则m_. AOC30，设OCn答案 3 OF，nOBOE，则OCOFOE， 解析 设mOA第 10 页 共 12 页 |m|OA|m， AOC30，|OCcos30|OF|n|OB|3n， |OCsin30|OE|cos30m|OC1m两式相除得：3，n3. |sin30tan303n|OC18. (文)设i、j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴、y轴2ij，OB
11、4i3j，则正方向相同的两个单位向量，且OAOAB的面积等于_ 答案 5 (2ij)解析 由条件知，i21，j21，ij0，OAOB(4i|OA|，OB55cos3j)835，又OAOB|OBcosOA，OBOA， 525cosOA，OB5，sinOA，OB5， 1125SOAB2|OA|OB|sinOA，OB25555. 19. 已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x) (1)若ab，求x的值 (2)若ab，求|ab|. 第 11 页 共 12 页 解析 (1)若ab， 则ab(1，x)(2x3，x)1(2x3)x(x)0， 整理得x22x30，解得x1或x3. (2)若ab，则有1(x)x(2x3)0， 则x(2x4)0，解得x0或x2， 当x0时，a(1,0)，b(3,0)， |ab|(1,0)(3,0)|(2,0)| (2)2022， 当x2时，a(1，2)，b(1,2)， |ab|(1，2)(1,2)|(2，4)| 22(4)225. 第 12 页 共 12 页
