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1、年级数学 第十一章全等三角形综合复习 人教新课初二数学第十一章全等三角形综合复习人教新课标版 一、学习目标: 1. 复习全等形与全等三角形的概念、全等三角形的判定定理,以及角平分线的作图方法和角平分线的性质等知识,建立知识系统; 2. 使学生总结寻找全等三角形及其全等条件的方法、归纳常见辅助线的作法,使学生掌握分析问题的方法,提升解题能力。 二、重点、难点: 重点:将所学知识科学地组织起来,将其纳入已有的知识结构中。 难点:提升分析问题、解决问题的能力。 三、考点分析: 全等三角形是初中几何的重要内容,也是数学中最基础的知识,是研究平面几何的重要工具。近几年的中考数学试题中,经常将全等与其他知
2、识结合在一起,考查学生综合运用数学知识解决问题的能力,形式多种多样,为全等这一传统的话题增添了新颖的味道。 1. 全等三角形的概念及性质; 2. 三角形全等的判定; 3. 角平分线的性质及判定。 知识点一:证明三角形全等的思路 通过对问题的分析,将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后,采用哪个全等判定定理加以证明,可以按下图思路进行分析: 专心 爱心 用心 找夹角SAS已知两边找第三边SSS找直角HL边为角的对边找任一角AAS找夹角的另一边SAS已知一边一角 边为角的邻边找夹边的另一角ASA找边的对角AAS找夹边ASA已知两角找任一对边AAS切记:“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的
3、对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图,A,F,E,B四点共线,ACCE,BDDF,AE=BF,AC=BD。求证:DACFDBDE。 思路分析:从结论DACFDBDE入手,全等条件只有AC=BD;由AE=BF两边同时减去EF得到AF=BE,又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件,可以是CF=DE,也可以是A=B。 由条件ACCE,BDDF可得ACE=BDF=90,再加上AE=BF,AC=BD,可以证明DACEDBDF,从而得到A=B。 解答过程:ACCE,BDDF ACE=BDF=90 在RtDACE与RtDBDF中 AE=BF AC=BDRtDACERtDBDF(HL) A=B
4、 AE=BF AE-EF=BF-EF,即AF=BE 在DACF与DBDE中 AF=BEA=B AC=BDDACFDBDE(SAS) 解题后的思考:本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法:一方面从问题或结论入手,看还需要什么条件;另一方面从条件入手,看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系,从而得出解题思路。 专心 爱心 用心 小结:本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件,而且告诉我们如何去分析一个题目,得出解题思路。 知识点二:构造全等三角形 例2. 如图,在DABC中,BE是ABC的平分线,ADBE,垂足为D。求证:2=1+C。 思路分析
5、:直接证明2=1+C比较困难,我们可以间接证明,即找到a,证明2=a且a=1+C。也可以看成将2“转移”到a。 那么a在哪里呢?角的对称性提示我们将AD延长交BC于F,则构造了FBD,可以通过证明三角形全等来证明2=DFB,可以由三角形外角定理得DFB=1+C。 解答过程:延长AD交BC于F 在DABD与DFBD中 ABD=FBD BD=BDADB=FDB=90DABDDFBD(ASA) 2=DFB 又DFB=1+C 2=1+C。 解题后的思考:由于角是轴对称图形,所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。 例3. 如图,在DABC中,AB=BC,ABC=90。F为AB延长线上一点,点E在B
6、C上,BE=BF,连接AE,EF和CF。求证:AE=CF。 思路分析:可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的DABE绕点B顺时针旋转90到DCBF的位置,而线段CF正好是DCBF的边,故只要证明它们全等即可。 专心 爱心 用心 解答过程:ABC=90,F为AB延长线上一点 ABC=CBF=90 在DABE与DCBF中 AB=BCABC=CBF BE=BFDABEDCBF(SAS) AE=CF。 解题后的思考:利用旋转的观点,不但有利于寻找全等三角形,而且有利于找对应边和对应角。 小结:利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法,但有时不容易找到需证明
7、的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。 知识点三:常见辅助线的作法 1. 连接四边形的对角线 例4. 如图,AB/CD,AD/BC,求证:AB=CD。 思路分析:关于四边形我们知之甚少,通过连接四边形的对角线,可以把原问题转化为全等三角形的问题。 解答过程:连接AC AB/CD,AD/BC 1=2,3=4 在DABC与DCDA中 1=2AC=CA 4=3DABCDCDA(ASA) AB=CD。 解题后的思考:连接四边形的对角线,是构造全等三角形的常用方法。 2. 作垂线,利用角平分线的知识 例5. 如图,AP,CP分别是DABC外
8、角MAC和NCA的平分线,它们交于点P。求证:BP为MBN的平分线。 专心 爱心 用心 思路分析:要证明“BP为MBN的平分线”,可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明,故应过点P向BM,BN作垂线;另一方面,为了利用已知条件“AP,CP分别是MAC和NCA的平分线”,也需要作出点P到两外角两边的距离。 解答过程:过P作PDBM于D,PEAC于E,PFBN于F AP平分MAC,PDBM于D,PEAC于E PD=PE CP平分NCA,PEAC于E,PFBN于F PE=PF PD=PE,PE=PF PD=PF PD=PF,且PDBM于D,PFBN于F BP为MBN的平分线。 解题后的思考:题目已
9、知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时,常过角平分线上的一点向角的两边作垂线,利用角平分线的性质或判定来解答问题。 3. 倍长中线 在三角形中,常采用延长中线为原来的2倍,构造全等三角形来解题。 例6. 如图,D是DABC的边BC上的点,且CD=AB,ADB=BAD,AE是DABD的中线。求证:AC=2AE。 思路分析:要证明“AC=2AE”,不妨构造出一条等于2AE的线段,然后证其等于AC。因此,延长AE至F,使EF=AE。 解答过程:延长AE至点F,使EF=AE,连接DF 在DABE与DFDE中 专心 爱心 用心 AE=FEAEB=FED BE=DEDABEDFDE(SAS)
10、B=EDF ADF=ADB+EDF,ADC=BAD+B 又ADB=BAD ADF=ADC AB=DF,AB=CD DF=DC 在DADF与DADC中 AD=ADADF=ADC DF=DCDADFDADC(SAS) AF=AC 又AF=2AE AC=2AE。 解题后的思考:三角形中倍长中线,可以构造全等三角形,继而得出一些线段和角相等,甚至可以证明两条直线平行。 4. “截长补短”构造全等三角形 例7. 如图,在DABC中,ABAC,1=2,P为AD上任意一点。求证:。 AB-ACPB-PC思路分析:欲证AB-ACPB-PC,不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差,故用两边之差
11、小于第三边来证明,从而想到构造线段AB-AC。而构造AB-AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。 解答过程:法一: 专心 爱心 用心 在AB上截取AN=AC,连接PN 在DAPN与DAPC中 AN=AC1=2 AP=APDAPNDAPC(SAS) PN=PC 在DBPN中,PB-PNBN PB-PCPBPC。 法二: 延长AC至M,使AM=AB,连接PM 在DABP与DAMP中 AB=AM1=2 AP=APDABPDAMP(SAS) PB=PM 在DPCM中,CMPM-PC AB-ACPB-PC。 解题后的思考:当已知或求证中涉及线段的和或差时,一般采用“截长补短”法。具体作法是:在较长的线
12、段上截取一条线段等于一条较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段,称为“截长”;或者将一条较短线段延长,使其等于另外的较短线段,然后证明这两条线段之和等于较长线段,称为“补短”。 小结:本题组总结了本章中常用辅助线的作法,以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法,还要知道辅助线为什么要这样作,这样作有什么用处。 当给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件时,需要我们认真观察、分析,根据专心 爱心 用心 图形的结构特点,挖掘潜在因素,通过添加适当的辅助线,巧妙构造全等三角形,借助全等三角形的有关性质,就可迅速找到证题的途径。 一、预习新知 无论是随风起舞的风筝
13、,凌空翱翔的飞机,还是中外各式风格的典型建筑;无论是艺术家的创造,还是日常生活中图案的设计,甚至是照镜子都和对称密不可分。在下一讲我们将认识某些平面图形的对称美,并探索一些最简单的轴对称图形的性质。 二、预习点拨 怎样的两个图形才成轴对称呢?什么样的图形是轴对称图形呢? 探索一:下列哪些图形是轴对称图形?它们的对称轴在哪里? 探索二:下图是轴对称图形,但是其对称轴另一侧的部分被遮挡住了,该怎样将它补充完整呢? 探索三:如图,存在一个三角形与已知三角形关于已知直线对称,该怎样画出这个三角形呢? 专心 爱心 用心 一、选择题: 1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 C
14、. 两锐角对应相等 B. 一锐角对应相等 D. 斜边相等 B. AB=4,BC=3,A=30 D. C=90,AB=6 2. 根据下列条件,能画出唯一DABC的是( ) A. AB=3,BC=4,CA=8 C. C=60,B=45,AB=4 3. 如图,已知1=2,AC=AD,增加下列条件:AB=AE;BC=ED;C=D;B=E。其中能使DABCDAED的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 如图,1=2,C=D,AC,BD交于E点,下列不正确的是( ) A. DAE=CBE C. DDEA不全等于DCBE B. CE=DE D. DEAB是等腰三角形 5. 如图
15、,已知AB=CD,BC=AD,B=23,则D等于( ) A. 67 B. 46 C. 23 D. 无法确定 二、填空题: 6. 如图,在DABC中,C=90,ABC的平分线BD交AC于点D,且,AC=10cm,则点D到AB的距离等于_cm; CD:AD=2:37. 如图,已知AB=DC,AD=BC,E,F是BD上的两点,且BE=DF,若AEB=100,ADB=30,则BCF=_; 专心 爱心 用心 8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠,BC,BD为折痕,则CBD的大小为_; 9. 如图,在等腰RtDABC中,C=90,AC=BC,AD平分BAC交BC于D,DEAB于E,若AB=10,则DBD
16、E的周长等于_; 10. 如图,点D,E,F,B在同一条直线上,AB/CD,AE/CF,且AE=CF,若BD=10,BF=2,则EF=_; 三、解答题: 11. 如图,点M,N分别在BC,AC上,且BM=CN,AM与BNDABC为等边三角形,交于Q点。求AQN的度数。 12. 如图,ACB=90,AC=BC,D为AB上一点,AECD,BFCD,交CD延长线于F点。求证:BF=CE。 专心 爱心 用心 专心 爱心 用心 一、选择题: 1. A 2. C 3. B 4. C 5. C 二、填空题: 6. 4 7. 70 8. 90 9. 10 10. 6 三、解答题: 11. 解:DABC为等边三角形 AB=BC,ABC=C=60 在DABM与DBCN中 AB=BCABC=C BM=CNDABMDBCN(SAS) NBC=BAM AQN=ABQ+BAM=ABQ+NBC=60。 12. 证明:AECD,BFCD F=AEC=90 ACE+CAE=90 ACB=90 ACE+BCF=90 CAE=BCF 在DACE与DCBF中 F=AECCAE=BCF AC=BCDACEDCBF(AAS) BF=CE。 专心 爱心 用心