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1、年级数学竞赛讲座分式方程附答案第三十四讲 分式方程 本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用 分母里含有未知数的方程叫做分式方程解分式方程组的基本思想是：化为整式方程通常有两种做法：一是去分母；二是换元 解分式方程一定要验根 解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等 列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化设未知数而不求解是常见的技巧之一 例题求解 一、分式方程(组)的解法举例 1拆项重组解分式方程 解方程x-5x-2x-3x-4 +=+x-7x-4x-5x-6解析 直接去分母太繁琐，
2、左右两边分别通分仍有很复杂的分子考虑将每一项分拆：如11x-52，这样可降低计算难度经检验x=为原方程的解 =1+2x-7x-7注 本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x这样大大降低了运算量本讲趣题引路中的问题也属于这种思路 2用换元法解分式方程 解方程1x+11x-82+1x+2x-82+1x-13x-82=0 解析 若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法 解 令x+2x8=y，原方程可化为2111+=0 y+9xyy-15x解这个关于y的分式方程得y=9x或y=5x 故当y=9x时，x+2x8=9x，解得x
3、1=8，x2=1 当y=5x时，x+2x8=5x，解得x3=8，x4=1 经检验，上述四解均为原方程的解 注 当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化 3形如x+ 形如x+11=a+结构的分式方程的解法 xa22111=a+的分式方程的解是：x1=a，x2= xaa1 x2+5x+110+2=解方程 x+1x+53解析 方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解 x1=1 ，x2=2均为原方程的解 4运用整体代换解分式方程组 4x2=y21+4x4y2=z 解方程组21+4y4x2=x21+4x解析 若用常规思路设法消元，难度极大注意到每一方程左边分子均为单项式
4、，为什么不试一试倒过来考虑呢? 解 显然x=y=z=0是该方程组的一组解 若x、y、z均不为0，取倒数相加得x=y=z= 故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z=二、含字母系数分式方程根的讨论 a2+2xa2-2x2(1-a4)-=解关于x的方程 2x+11-2x1-4x21 21 2 解析 去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论 讨论：当a10时 1+a2当a0时，原方程解为x=； 22 当a=0时，此时x=21是增根 21的任意数； 2 (2) 当a10时即a=1，此时方程的解为x1+a2 综上，当a1且a0时，原方程解为x=；当a=0时，原方程无解，；当a=1 时，原方2程的解
5、为x1的任意数 2三、列分式方程解应用题 某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部 扶梯露在外面的部分有多少级? (2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到2 扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶? 解析 题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯
6、走了S27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S18级的时间 解 (1)设女孩上梯速度为x级分，自动扶梯的速度为y级分，扶梯露在外面的部分有S级，27S-27=2xy则男孩上梯的速度为2x级分，且有 18S-18=yx解得 S=54 所以扶梯露在外面的部分有54级 (2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn遍，走过楼梯n遍，则女孩走过自动扶梯(m1)遍、走过楼梯(n1)遍 由于两人所走的时间相等，所以有54m54n54(m-1)54(n-1)+=+ y+2x2xy+xx 由(1)中可求得y=2x,代人上面方程 化简得6n+m=16 无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m、n中都
7、一定有一个是正整数，且0mn1 1 试验知只有m=3，n=2符合要求 61 所以男孩第一次追上女孩时走的级数为327+254=198(级) 6注 本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题 (江苏省初中数学竞赛C卷)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加11，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加问原来在篮子A中有多少个弹珠? 44解析 本题涉及A中原有弹珠，A、B中号码数的平均数，故引入三个未知数 解 设原来篮子A中有弹珠x
8、个，则篮子B中有弹珠(25x)个又记原来A中弹珠号码数的平均数为a，B中弹珠号码数的平均数为b则由题意得 ax+(25-x)b=1+2+L+25=325ax-151 ， -a=x-14b(25-x)+151-b=26-x43 解得x=9，即原来篮子A中有9个弹珠 学力训练 1解分式方程1111 +=x+22x+33x-46x+12若关于x的方程1x-x2x+xx-11112+L+= 3解分式方程x+10(x+1)(x+2)(x+9)(x+10)51x-1+=1x+1y-24解方程组 3x-31-=10x+12y-4+k-52=k-12有增根x=1，求k的值 5丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池
9、；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池如果四管齐开，需要多少时间可以注满全池？ 1关于x的方程b-xd=有唯一的解，字母已知数应具备的条件是( ) x-acA ab Bcd Cc+d0 Dbc+ad0 2某队伍长6km，以每小时5km的速度行进，通信员骑马从队头到队尾送信，到队尾后退返回队头，共用了0.5 h，则通信员骑马的速度为每小时 km 3某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k倍，则4m为何值时，关于x、y的方程组： mnk= +m+1n+1k+1(m+1)x+my=m+1112的解，满
10、足x，y？ 4x-y=21535(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做4 10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的队共5500元 (1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天? 2，厂家需付甲、丙两3(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由 6甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价不同)，甲每次购买粮食100kg，乙每次购买粮食用去100元设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x元kg，第二次单价为y元kg (1)用含x、y的代数式表示甲两次购买粮食共需付款 元，乙两次共购买 kg粮食若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Ql元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元则Q1= ；Q2= (2)若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由 分式方程分式34 方程5 6 7
