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1、小结与复习,第21章 二次函数与反比例函数,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,要点梳理,一般地，形如(a，b，c是常数，_)的函数，叫做二次函数,yax2bxc,a,注意(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b0，c0时，yax2是特殊的二次函数,1.二次函数的概念,2.二次函数的图象与性质：,a0 开口向上,a 0 开口向下,x=h,(h,k),y最小=k,y最大=k,在对称轴左边,x y;在对称轴右边,x y,在对称轴左边,x y;在对称轴右边,x y,y最小=,y最大=,3.二次函数图像的平移,yax2,左、右平移 左加右减,上、下平移 上加下减,y-ax2
2、,写成一般形式,沿x轴翻折,4.二次函数表达式的求法,1一般式法：yax2bxc(a 0),2顶点法：ya(xh)2k(a0),3交点法：ya(xx1)(xx2)(a0),5.二次函数与一元二次方程的关系,二次函数yax2bxc的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次函数yax2bxc的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2bxc=0的根.,有两个交点,有两个相异的实数根,b2-4ac 0,有两个重合的交点,有两个相等的实数根,b2-4ac=0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,6.二次函数的应用,1二次函数的应
3、用包括以下两个方面(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解,2一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义,7.反比例函数的概念,定义：形如_(k为常数，k0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数三种表达式方法：或 xykx 或ykx1(k0)防错提醒：(1)k0；(2)自变量x0；(3)函数y0.,8.反比例函数的图象和性质,(1)反比例
4、函数的图象：反比例函数(k0)的 图象是，它既是轴对称图形又是中心 对称图形.反比例函数的两条对称轴为直线 和；对称中心是：.,双曲线,原点,y=x,y=x,(2)反比例函数的性质,(3)反比例函数比例系数 k 的几何意义,k 的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积(xyk)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数,9.反比例函数的应用,利用待定系数法确定反比例函数：,根据两变量之间的反比例关系，设；代入图象上一个点的坐标
5、，即 x、y 的一对 对应值，求出 k 的值；写出解析式.,反比例函数与一次函数的图象的交点的求法,求直线 yk1xb(k10)和双曲线(k20)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组.,利用反比例函数相关知识解决实际问题,过程：分析实际情境建立函数模型明确 数学问题注意：实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值.,考点讲练,例1 抛物线yx22x3的顶点坐标为_,【解析】方法一：配方，得yx22x3(x1)22，则顶点坐标为(1,2)方法二代入公式，则顶点坐标为(1,2),(1,2),解决此类题目可以先把二次函数yax2bxc配方为顶点式ya(xh)2k的形式，得到：对称轴是直线xh，
6、最值为yk，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.,1对于y2(x3)22的图像下列叙述正确的是()A顶点坐标为(3,2)B对称轴为y3C当x3时，y随x的增大而增大 D当x3时，y随x的增大而减小,C,例2 二次函数yx2bxc的图像如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且x1y2,【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是x1，当x1时，y随x的增大而增大x1x21，y1y2.故选B.,B,2.下列函数中，当x0时，y值随x值增大而减小的是（）A.y=B.y=x-1 C.D.y=-3x2,D,例3 已知二次函数yax2bxc的图像如图所示，下列结论：ab
7、c0；2ab0；4a2bc0；(ac)2b2.其中正确的个数是()A1B2C3D4,D,解析：由图像开口向下可得a0，由对称轴在y轴左侧可得b0，由图像与y轴交于正半轴可得 c0，则abc0，故正确；由对称轴x1可得2ab0，故正确；由图像上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；由图像上横坐标为x1的点在第四象限得出abc0，由图像上横坐标为x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0，即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确故选D.,1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b0对称轴是y轴；a、b同号对称轴在y轴左侧；a、b异号对称轴在y轴右侧.这个规律可简记
8、为“左同右异”.,2.当x1时，函数yabc.当图像上横坐标x1的点在x轴上方时，abc0；当图像上横坐标x1的点在x轴上时，abc0；当图像上横坐标x1的点在x轴下方时，abc0.同理，可由图像上横坐标x1的点判断abc的符号.,3.已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）Ab1 Bb1 Cb1 Db1,解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴，即b1，故选择D.,例4 将抛
9、物线yx26x5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是()Ay(x4)26 By(x4)22Cy(x2)22 Dy(x1)23,【解析】因为yx26x5(x3)24，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的解析式为y(x31)242，即y(x4)22.故选B.,4.若抛物线 y=7(x+4)21平移得到 y=7x2，则可能（）A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位,B,例5 已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为
10、10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.,待定系数法,解：设所求的二次函数为yax2+bxc,由题意得：,解得,a=2,b=3,c=5.,所求的二次函数为y2x23x5.,5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.,解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状 相同 a=1或1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为(1,5)或(1,5)所以其表达式为:(1)y=(x1)2+5(2)y=(x1)25(3)y=(x1)2+5
11、(4)y=(x1)25,例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）Ax1=0，x2=6Bx1=1，x2=7Cx1=1，x2=7Dx1=1，x2=7,解析：二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，=3，解得m=6，关于x的方程x2+mx=7可化为x26x7=0，即(x+1)(x7)=0，解得x1=1，x2=7 故选D,例7某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数ykxb，且x65时，y55；x75时，y45.(1)求一次函数的表达式；(2)若
12、该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？,考点七 二次函数的应用,解：(1)根据题意，得,解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.,(2)W=(x-60)(-x+120)=-x2+180 x-7200=-(x-90)2+900,抛物线的开口向下，当x90时，W随x的增大而增大，而60 x60（1+45%），即60 x87,当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.,例8如图，梯形ABCD中，ABDC，ABC90，A45，AB30，BCx，其中15x30.作DE
13、AB于点E，将ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.(1)用含有x的代数式表示BF的长；(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值,解：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.BF=2x-30.,（2）F=A=45，CBF-=ABC=90，BGF=F=45，BG=BF=2x-30.所以SDEF-SGBF=DE2-BF2=x2-(2x-30)2=x2+60 x-450.,（3）S=x2+60 x-450=(x-20)2+150.a=0,152030，当x=20时，S有最大值，最大值为150.,1.下列函
14、数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?,y=3x1,y=2x2,y=3x,2.已知点 P(1，3)在反比例函数 的图象上，则 k 的值是()A.3B.3 C.D.,B,3.若 是反比例函数，则 a 的值为()A.1 B.1 C.1 D.任意实数,A,例9 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在反比例函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A.y3y1y2 B.y1y2y3C.y2y1y3 D.y3y2y1,解析：方法分别把各点代入反比例函数求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可方法：根据反比例函数的图象和性质比较,D,方法总结：比较反比例函数值的大小，在同
15、一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定,已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10 x2)都在反比例函数(k0)的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系(从大到小)为.,y1 0y2,例10 如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA x 轴于点A，交C2于点B，则POB的面积为.,1,如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线 l y 轴，且直线 l 分别与反比例函数(x0)和(x0)的图象交于P，Q两点，若 SPOQ=14，则 k 的值为.
16、,20,例11 如图，已知 A(4，)，B(1，2)是一次函数y=kx+b 与反比例函数(m0)图象的两个交点，ACx 轴于点 C，BDy 轴于点 D(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值 时，一次函数的值大于反比例函数的值；,解：当4 x 1时，一 次函数的值大于反比例 函数的值.,(2)求一次函数解析式及 m 的值；,解：把A(4，)，B(1，2)代入 y=kx+b中，得,4k+b=，,k+b=2，,所以一次函数的解析式为 y=x+.,把 B(1，2)代入 中，得 m=12=2.,(3)P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若PCA 和 PDB 面积相等，求点 P 坐
17、标.,P,PCA面积和PDB面积相等，ACt(4)=BD2 2(t+)，,解得：t=.点 P 的坐标为(，),解：设点 P 的坐标为(t，t+)，P点到直线 AC 的 距离为 t(4)，P 点到直线 BD 的距离为2(t+),方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路.在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度.,如图，设反比例函数的解析式为(k0)(1)若该反比例函数与正比例函数 y=2x 的图象有一个 交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值；,解：由题意知点 P 在正比例函数 y=2x
18、上，把 P 的纵坐标 2 带入该解析 式，得P(1，2)，把 P(1，2)代入，得到,P,2,(2)若该反比例函数与过点 M(2，0)的直线 l：y=kx+b 的图象交于 A，B 两点，如图所示，当 ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式；,解：把 M(2，0)代入 y=kx+b，得 b=2k，y=kx+2k，,解得 x=3 或 1.,ykx+2k，,B(3，k)，A(1，3k).,ABO的面积为,23k+2k=,解得,直线 l 的解析式为y=x+,(3)在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？,解：当 x 3或 0 x1 时，一次函数的值小于反 比例函数
19、的值.,例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克.已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y(单位：毫克)与时间 x(单位：小时)成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例(如图).根据以上信息解答下列问题：(1)求当 0 x 2 时，y 与 x 的函数解析式；,解：当 0 x 2 时，y 与 x 成正比 例函数关系 设 y kx，由于点(2，4)在 线段上，所以 42k，k2，即 y2x.,(2)求当 x 2 时，y 与 x 的函数解析式；,解：当 x 2时，y 与 x 成反比例函数关系，设,解得 k 8.,由于点(2，4)在反
20、比例函数的图象上，所以,即,(3)若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？,解：当 0 x2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x2，解得x1，1x2；当 x2 时，含药量不低于 2 毫克，,即 2，解得 x 4.2 x 4.,所以服药一次，治疗疾病的有效时间是 123(小时),二次函数,二次函数的概念,二次函数与一元二次方程的联系,二次函数的图象与性质,课堂小结,不共线三点确定二次函数的表达式,二次函数的应用,课堂小结,反比例函数,定义,图象,性质,x，y 的取值范围,增减性,对称性,k 的几何意义,应用,在实际生活中的应用,在物理学科中的应用,
