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1、折射率椭球4.4 折射率椭球方程 第 1 页 用场能密度公式可推出折射率与电位移的关系式 由 分子分母同时乘以，则 令 而 (4.4.1) 此方程称为折射率椭球方程，其意义是： 方程是在主轴坐标系中表示的，x,y,z表示电位移Dx ,Dy ,Dz； nx,ny,nz是主轴x,y,z方向对应的折射率； 方程是一个椭球面，描述晶体中折射率的空间分布。 如果确定光波中心做，折射率不能从椭球直接求出，必须从椭球中心划出矢量，所以与，然后过只的垂面与椭球交线为椭圆。因为感应场电位移对应的光波能在交线上，但是在交线上也有无数个，可以证明，为了满足光波在晶体中传播的一般，所以有两个方向，即和对应规律只有椭圆
2、的长、短轴方向才是允许的电位移长轴和短轴方向，而长轴和短轴的长度对应和的折射率n1和n2，如图42。 图4-2 由折射率椭球确定光波任意有两个允许的的折射率并不直观，因此又提出折射率曲面的概念，因为对的原点，在方方向，对应两个折射率n1和n2，我们以O为波矢向画出长度于n1和n2的矢径，即 ，此处的n表示n1和n2 图4-3 当取空间所有方向，和的末端便在空间画出两个曲面双壳层曲面。此双壳层曲面称为折射率曲面。 由定义 由波面法线方程 代入 则有： (4.4.2) 此式为折射率曲面方程，它是一个双壳层曲面，在下一节中我们将证明，此双壳层曲面对单轴晶体来说一个是球面，另一个是椭球面。 过折射率椭
3、球中心能截出两个圆的晶体称为双轴晶体，因为双轴晶体中uxuyuz，所以解波面法线方程是比较复杂的。但是我们可以求特殊情况下的方程解 由波面法线方程 kykx2kz2+2+2=02222up-uxup-uyup-uz222222222222222kx(u2-u)(u-u)+k(u-u)(u-u)+k(u-u)(u-upypzypxpzzpxpy)=0vk一限定光波在zoy平面上，即如下图, 则有 kx=0 图4-7 于是方程有形式 2222222(u2p-ux)ky(up-uz)+kz(up-uy)=0(4.6.1) 22则(up-ux)=02222ky(up-uz2)+kz2(up-uy)=0
4、第一个解 up1=ux(k22)u22u222第二个解 y+kzp-kyz-kzuy=02 Qk2y+kz=1u22222p2=kyuz+kzuy根据折射率曲面定义 rv=nkvx=nkxy=nkyz=nkz式中n为n1和n2 由方程第一个解： ucc2p1=ux而n1=y+z2n=1nxn1=nx=y2+z2所以对应第一个解的折射率曲面方程为: y2+z2=n2x 由第二个解 c222n2-k2c2cy2-kz2=02nzny而 n22=y2+z21k2yk2于是有： y2+z2-n-z22=0znyQk2y2y=2,k2z=z2又 n2n22(4.6.2) (4.6.3) (4.6.4) 1y2z22-22-22=0y+z2n2nzn2ny即对应第二个解的折射率曲面方程为: y2z22+2=1nzny(4.6.5) 现在将两个折射率曲面划在一个图上，并设定 则 uxuyuznxnynz图4-8 即在YZ平面上，折射率曲面是一椭圆包围一个圆，此时0光折射率总是等于nx，而e光随方向而变。
